2P = x + x + x + x + 2x  18 = 6x x = 3

1. x x M A B x x D C O paralelogramo ABCD da figura tem 18cm de perímetro e os segmentos CM e DM estão contidos nas bissetrizes dos ângulos Ĉ e Ď. A medida de AD é a) 3cm b) 3,2cm c) 3,4cm d) 3,6cm 2x 2P = x + x + x + x + 2x  18 = 6x x = 3

2. 60º 60º 8 2,5 cos 60º = x 1 2,5 = 2 x Num trapézio isósceles, as bases medem 8cm e 3cm e os ângulos da base medem 60º. Seu perímetro é a) 20cm b) 21cm c) 22cm d) 24cm 3 x x 3 x = 5 2,5 2,5 2P = x + x + 8 + 3 2P = 10 + 11 2P = 21

3. 8 As bases de um trapézio medem 4cm e 12cm. As diagonais desse trapézio dividem sua base média em três segmentos adjacentes proporcionais a a) 1, 2 e 1. b) 2, 3 e 2. c) 1, 2 e 3. d) 1, 3 e 1. 4 2 4 2 12

4. As diagonais de um quadrilátero convexo medem 8m e 12m. Os pontos médios dos lados desse quadrilátero são vértices de um outro quadrilátero. Ele é um a) paralelogramo de 20m de perímetro. b) paralelogramo de 24m de perímetro. c) quadrilátero, não necessariamente paralelogramo, de 20m de perímetro. d) quadrilátero, não necessariamente paralelogramo, de 24m de perímetro. 4 6 8 12 6 4

5. Em um triângulo, o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ponto de encontro das alturas, o ponto de encontro das medianas e o ponto de encontro das mediatrizes dos lados denominam-se, respectivamente, a) circuncentro, ortocentro, baricentro e incentro. b) incentro, ortocentro, baricentro e circuncentro. c) incentro, baricentro, ortocentro e circuncentro. d) circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro.

6. A M N P B C Na figura, M e N são os pontos médios dos lados AB e AC do triângulo ABC. Assinale a afirmativa FALSA. a) MN // BC b) MN = BC 2 c) BP = 2.PN d) MC = AC + BC 2

7. A37. Dois círculos de raios 3cm e 4cm são tangentes externamente. Cada um deles tangencia, internamente, um terceiro círculo de raio 12cm. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são os centros dos três círculos. 12 – 4 3 + 4 12 – 3 2P = 12 – 4 + 3 + 4 + 12 – 3 = 24

8. r A   P B C s Na figura, AC é um diâmetro do círculo e as retas r e s são tangentes ao círculo em A e B. Podemos afirmar que: a)  = 2 b)  +  = 90º c)  = 3 d)  + 2 = 90º 90 –  90 –  –2 + 180º +  = 180º  = 2

9. A Q P C R B Os segmentos PA, PB e QR são tangentes ao círculo da figura em A, B e C, respectivamente. Se PA = 8, calcule o perímetro do triângulo PQR. x 8 – x x 8 – y y y 2P = 8 – y + y + 8 – x + x = 16

10. A N M B C P Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Os lados AB = 5cm, AC = 8cm e BC = 9cm tangenciam um círculo em M, N e P, respectivamente. Calcule AM. x + y = 5 x + z = 8 y + z = 9 x x x + y = 5 x + z = 8 –y – z = –9 y z y z 2x = 4 x = 2

11. 58º  32º (UFES) Na figura, a medida de , em graus, é a) 52 b) 54 c) 56 d) 58 2 2 = 58º  2  = 58º

12. B A O 20º 100º – 40º x = E 2 D C x M (Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então, a medida de AMB é igual a a) 50º b) 45º c) 60º d) 30º 100º 110º x = 30º 50º 70º 40º

13. 90º A B C diâmetro (VUNESP) Sejam A, B e C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo a) é acutângulo b) é retângulo c) é obtusângulo d) pode ser eqüilátero 180º

14. A   t 90º 64º B C Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro. A reta t é tangente ao círculo em A;  e  são os ângulos que t forma com AB e AC, respectivamente, e  –  = 38º. O ângulo Ĉ do triângulo ABC mede a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º 128º  –  = 38º  +  = 90º 2 = 128º  = 64º

15. r A 65º P 50º x 65º B s As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B. Então a medida x do ângulo assinalado é: a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º 2x 2x = 130º x = 65º

16. Q x sen 30º = P 8 1  8 = x 2 60º 30º A B Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ. O perímetro do triângulo ABQ é a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 4 x = 4 4 x O triângulo é eqüilátero 2P = 8  3 = 24 8

17. 5 9 As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 5 e 9. Calcule a medida de cada um dos lados não-paralelos. x x 2x = 5  x = 2,5 x x 2y = 9  y = 4,5 x + y = 2,5 + 4,5 = 7 y y y y

18. 8 6 A52. Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 30cm. 6 – a 2 + a a + b + 2 + a + b + 8 + 6 = 30 2a + 2b = 14 a + b = 7 2 + a 6 – a l1 = a + b = 7 l2 = a + 2 + b = 7 + 2 = 9 b a b a

19. 85º 113º 67º 95º A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo. Dois de seus ângulos internos medem 85º e 113º. A diferença das medidas dos outros dois ângulos internos é a) 23º b) 25º c) 28º d) 32º Dois ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares 85º + x = 180º x = 95º 113º + y = 180º y = 67º 95º – 67º = 28º

20. Teorema de Tales

21. Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. a b c d

22. A 12 B 4 x r y 12 D 24 C 16 20 = 12 y A3. O trapézio retângulo ABCD da figura é circunscritível em um círculo. Sendo r paralela às bases do trapézio, o valor de y é: a) 13,2 b) 13,8 c) 14,5 d) 15 12 + 24 = 4 + 12 + x + y  36 = 16 + x + y  20 = x + y  y = 15

23. 60º r 6 4 B s 6 60º t A C 6 4 = x 6 A4. Na figura, as retas r, s e t são paralelas cortadas por duas transversais. Se AC = AB, o perímetro do triângulo ABC é: a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 O triângulo é eqüilátero 4x = 36 2P = 27 x = 9

24. B x M 4 A C 6 x 6 = x – 4 4 A5. O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é: a) 13 b) 12 c) 10 d) 9 x – 4 4x = 6x – 24 2x = 24 x = 12

25. A 3 x 4 y 2 B 6 C 3 x = 1,5 2 3 + y 6 = 3 4 3 y = 2 A7. Na figura, os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro do triângulo ABC é: a) 15 b) 15,5 c) 16 d) 16,5 2P = 3 + y + x + 2 + 6 12 + 4y = 18 x = 4 2P = 11 + 1,5 + 4 4y = 6 2P = 16,5

26. B C M P a 2a A D A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é: a) 8,5 b) 9 c) 10 d) 10,5 3a 3a + a + 2a = 15 a = 2,5 PB = 7,5 + 2,5 PB = 10

27. 4 6 5 8 2 x 4 + 8 x = 6 5 A9. Na figura, o valor de x é: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 caso L.L.L. 6x = 60 x = 10

28. Bissetriz

29. AB AD = BC DC Teorema da Bissetriz Interna B D C A

30. Semelhança de Triângulos

31. A’ A C B B’ C’ Se dois ângulos de um triângulo são, respectivamente, congruentes a dois ângulos de um outro triângulo, então eles são semelhantes (caso AA). Â = Â’ e Ĉ e Ĉ’  ABC ~ A’B’C’

32. A’ A C B B’ C’ Ĉ = Ĉ’ AC CB = A’C’ C’B’ Se um ângulo de um triângulo é congruente a um ângulo de outro e os lados que formam esses ângulos são proporcionais, então os triângulos são semelhantes (caso LAL).  ABC ~ A’B’C’

33. A’ A C B B’ C’ AC CB BA = = A’C’ C’B’ B’A’ Se os lados de um triângulo são proporcionais aos lados de outro, então eles são semelhantes (caso LLL).  ABC ~ A’B’C’

34. Relações Métricas no Triângulo Retângulo

35. a a c = b H c b m n m H = = = a a H c n b b c H m n 1 a2 = b2 + c2 2 a · H = b · c 3 H2 = m · n 4 b2 = a · m 5 c2 = a · n

36. Áreas

37. l h l b 3 cm 3 cm 3 cm 5 cm Quadrado Retângulo SQuadrado = l2 SRetângulo = b × h S = 3 × 3 = 9 cm2 S = 5 × 3 = 15 cm2

38. b B h h b B b (B + b) · h STrapézio = 2 h b Paralelogramo Trapézio SParalelogramo = b × h

39. D × d SLosango = 2 Losango

40. semi-perímetro n · l · ap SPolígono = 2 Polígono Regular Pode Ser Decomposto em Triângulos ap SPolígono = P · ap

41. r R  r r r  · r2 SSetor = ·  360º Disco Coroa Circular Setor Circular 2pCírculo = 2r SCoroa = (R2 – r2) SDisco =  · r · r SDisco = r2 Segmento Circular SSegmento = SSetor – STriângulo

42. c b h a a · h STriângulo = l2 3 b · c 2 STriângulo Retângulo = STriângulo Eqüilátero = 4 2 l l STriângulo = p(p – a)(p – b)(p – c) l Triângulo

43. a c r r r b c · r b · r a · r STriângulo Circunscrito = + + 2 2 2 a + b + c STriângulo Circunscrito = r · 2 Triângulo Circunscrito STriângulo Circunscrito = P · r

44. a h b c 0 c · h STriângulo Inscrito = a h a · b 2 =  h = 2R b 2R a · b · c STriângulo Inscrito = 4R Triângulo Inscrito

45. b H  a a · H STriângulo = 2 H sen  = b a · b · sen  STriângulo = 2 Triângulo Dado apenas um Ângulo e os Lados Correspondentes  b · sen  = H

46. a 4 b 7 (Faap) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66m, sua área, em m2, é: • 250 • 300 • 252 • 246 a = 4/7 b 2a + 2b = 66 a + b = 33 4/7b + b = 33 b = 21 a + 21 = 33 a = 12 S = a . b = 252

47. (Faap) Um out-door retangular tem área A. Se sua base aumenta 50% e sua altura diminui 50%, então sua área: • não se altera. • diminui 25%. • aumenta 25%. • aumenta 50%. S = x . y (x + x/2) . (y – y/2) 3x/2 . y/2 = (3x . y)/4 Diminuiu exatamente ¼ que representa 25%.

48. x y z 3 4 5 k 54 = 6k(6k – 3k)(6k – 4k)(6k – 5k) Os lados de um triângulo são proporcionais a 3, 4 e 5 e sua área é 45 cm2. Calcular a medida da menor de suas alturas. x = 3k; y = 4k; z = 5k P = (3k + 4k + 5k)/2 = 6k 54 = 6k2 k = 3 A menor altura é relativa ao maior lado. z = 15 54 = h . 15/2 h = 7/2

49. A B C F E D (OEMRJ) O triângulo mostrado na figura possui comprimento AC = 32, largura AE = 20 e B e F são pontos médios de AC e AE, respectivamente. A área do quadrilátero ABDF é: 16 • 320. • 325. • 330. • 335. 20 10 32 S = 32 . 20 – [(32 . 10)/2 + (20 . 16)/2] S = 640 – (160 + 160) S = 640 – 320 = 320

50. 2 10 3 10 10 d = 2 10 D = 6 10 x 10 10 A área de um losango é 60 e uma de suas diagonais é o triplo da outra. A distância entre dois lados opostos do losango é: • 6. • 8. • 9. • 12. (D . d)/2 = 60 Aplicando Pitágoras: l2 = 90 + 10 (3d . d)/2 = 60 l = 10 30 = (x . 10)/2 x = 6