Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala

1. Geogebra segédfájlok: http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/ 1. Feladat: Az alábbi a) ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? támadó támadó b) ábra a) ábra Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala Hraskó András http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

2. Lesen van-e a támadó? (a) 1. Feladat Az alábbi ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? Nincs lesen a támadó. támadó http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

3. 1. Feladat b) Az alábbi ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? Lesen van-e a támadó? (b) A támadó láthatóan közelebb van az ellenfél alapvonalához, mint a védő. Túl van-e a felezővonalon? Nincs lesen a támadó. támadó http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

4. http://smarthistory.org/Florence.html Reneszánsz Ujjászületés XIV-XVI. század Firenze http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

5. Olvasnivaló http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

6. Laura Mocci: La rappresentazione dello spazio secondo Panofsky http://www.treccani.it/scuola/dossier/2007/prospettiva/11.html A megtestesülés Ambrogio Lorenzetti (1344): Angyali üdvözlet Panofsky: A perspektíva, mint szimbolikus forma Gábriel arkangyal Mária Mert istennél semmi sem lehetetlen

7. Brunelleschi (1377 – 1446) Firenzei dóm (kupolája) Firenzei dóm (Cattedrale di Santa Maria del Fiore ) wikipedia http://maitaly.wordpress.com/tag/brunelleschi/ wikipedia A hű ábrázolás http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

8. Alberti: Della Pittura (A festészetről) Leon Baptista Alberti (1404-1472) http://enciklopedia.fazekas.hu/tarsmuv/reneszansz.htm Az egyetemes képzettségű reneszánsz embertípus egyik legkiválóbb képviselője. A tudomány és a művészet szinte valamennyi területén otthonos volt. Ismerte a klasszikus nyelveket, az ókor irodalmát, foglalkozott joggal, teológiával, csillagászattal, matematikával, fontos elméleti munkákat írt a szobrászatról, a festészetről és az építészet kérdéseiről. http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

9. Pavimento I. Olasz szótár: Pavimento = kövezet, burkolat http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

10. A H G F Pavimento II. T Állítás: OP= a vászon és a festő távolsága Bizonyítás: Forgassuk el derékszögben OF körül GP-t! OFG képe OFT, HT a szembe fut FG=FT HFG képe HFT, http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

11. ? Jonathan Janson: Vermeer and the Camera Obscura London Magazine 1819 http://girl-with-a-pearl-earring.20m.com/ Vermeer: Katona és nevető lány (1658), http://www.abcgallery.com/V/vermeer/ Jack & Beverly Wilgus: The Magic Mirror of Life http://brightbytes.com/cosite/improved.html Camera Obscura

12. Feladatok • feladat Adott egy konvex négyszög, egy négyzetalakú parkettákból álló padló • egyetlen négyzetének képe egy festményen vagy fényképen (lásd pl Vermeer • ,,Koncert'' című festményének az alábbi ábrán látható részletét). Szerkesszük • tovább a képet, rajzoljuk meg a szomszédos parkettalapokat! Megoldás: negyszogbolparketta.ggb 2. feladat Meghatározható-e a fenti képen, hogy a festményhez képest hol állt a szerző (hol volt a camera obscura „lyuka”? Megoldás: holallafesto.ggb 3D-s rajzolás (http://leonar3do.com/) Kutatómunka: 3D-s ábrázolás; http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

13. ? ? ? A projektív geometria Az alakzatok olyan tulajdonságait vizsgálja, amelyek vetítésnél nem változnak Projekció = vetítés (centrális vagy párhuzamos) egyik síkról egy másikra http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

14. i.e. 500? Görög színház Agatharkosz Vitruvius: Agatharkhosz perspektívikus díszleteket festett Aiszkhülosz tragédiáinak előadásához Vitruvius (De Architectura): … ha egy meghatározott helyet veszünk középpontnak, a vonalak – éppúgy mint a termé- szetben – szükségképpen megfelelnek a szem nézőpontjának és a tekintet irányának, úgyhogy a színpadképeken a határozatlan tárgyak határozott ábrázolásai épületek a- lakját mutatják, és bár valamennyit függőleges sík felületen ábrázolják, egyesek a hát- térbe húzódnak, mások előreugróknak látszanak. Forrás: van der Waerden: Egy tudomány ébredése http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

15. i.e. 365?-300? i.sz. XVII. sz. i.sz. XIX. sz. i.sz. IV. sz. Euklidesz: Poriszmata Forrás: van der Waerden: Egy tudomány ébredése Elveszett, kommentárokból ismerjük Papposz Chasles rekonstrukciója Papposz és Desargues feladata: Adott egy egyenes és rajta öt pont, amelyben a sík négy pontját összekötő hat egyenes közül öt az adott egyenest metszi. Hol metszi a hatodik? Lásd egyenes_es_teljesnegyszog.ggb Lásd teljesnegyszog_es_desargues.ggb Két háromszög egyenesre nézve perspektív pontra nézve perspektív A hatodik pont meghatározott. Desargues I. tétele

16. i.e. 260?-190? k’ kör: Thalesz tétel és magasság-tétel m m pq=m2 p q p q független P-től A kör affin képe: ellipszis pq=m2m2 Pergéi Apollóniosz: Kónika k’ kör: P-n át k-val párhuzamos metszet A ferde kúp síkmetszete

17. XVII. sz. Lásd pappos.ggb Lásd pascal.ggb  A1B2 A2B1=C3  A3B1 A1B3=C2 Pascal 16 éves korában utcai hirdetésként jelent meg a tétel. Bizonyítás nem volt, Desargues-ra hivatkozott.  A2B3 A3B2=C1 Blaise Pascal http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

18. Bármely kör és (egy azt nem metsző) egyenes átvetíthető egy másik síkba úgy, hogy a kör kör marad, az egyenes az ideális egyenes lesz XIX. sz. A CBHK húrnégyszög H K T C B T C f B G független P-től A kör affin képe: ellipszis J. V. Poncelet

19. Poncelet Pascal tételéről http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

20. Homogén koordináták Homogén egyenlet Projektív geometria koordinátákkal

21. + Algebrai görbék (x-u)2+(y-v)2=r2; x2+y2+bx+cy+d = 0; Kör: x2+y2=1; Kétvátozós polinom zérushelyeinek halmaza – algebrai görbe Ez a polinom másodfokú – másodrendű görbe p(x-u)2- (y-v)= 0; Parabola: x2 + bx + cy+d = 0; x2– y = 0; Egyenes két pontban metszi – másodrendű görbe 5. Feladat: Mutassuk meg, hogy ha két merőleges tengelyű parabola négy pontban metszi egymást, akkor ez a négy pont egy körön van. x2 + bx + cy+d = 0; y2 + ex + fy+g = 0; x2+y2+(b+e)x+(c+f)y+(d+g) = 0; http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

22. XVIII. sz. multiplicitással nem ellenpélda! komplexben nem ellenpélda! Projektíven nem ellenpélda! közös komponens is van! Algebrai görbék - számolunk Bezout tétele: egy n-edrendű és egy m-edrendű görbe m·n pontban metszi egymást. Hogyan? Végtelen távoli pontokkal számolva (projektív geometria) Egyszerű ellenpéldák: Multiplicitással számolva Komplex koordinátákkal számolva Ha a két görbének nincs közös része (komponense) Affin egyenlet: Projektív egyenlet: Homogén egyenlet: x2+y2+bx+cy+d = 0; x2+y2+bxz+cyz+dz2= 0; (x,y) (x,y,1) Ha (x,y,z) jó, akkor (x, y, z) is jó. (x/z,y/z) (x,y,z) z0 – szokásos pontok (1,2,-5)  (2,4,-10)  (-0.2,-0.4, 1) Körökre Bezout??!! z=0 – ideális pontok (0,0,0) – nem pont x=1, y=i Kör ideális pontjai: Köri pontok: (1,i,0), (1,-i, 0) x2+y2= 0; Hány pont határoz meg egy kört? Három, fent b, c, d „szabad”.

23. XVII. sz. Parabola Hiperbola Ellipszis párhuzamos dupla metsző Pierre Fermat: Kúpszeletek=másodrendű görbék Két egyenes Bezout: Két másodrendű görbe 4 pontban metszi egymást. Együtthatók leszámolása: a1x2+ a2y2+ a3xy+ a4x+ a5y+ a6 = 0 6 együttható, de egy konstans szorzó nem változtatja meg a megoldáshalmazt Öt pont határoz meg egy másodrendű görbét http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

24. S B+C A+B C A (A+B)+C O S” B S’ A harmadrendű görbe 6. Feladat: Adott három pont, A, B és P. Vizsgáljuk az a) A, B pontokon átmenő körökhöz; b) az A és B Apollóniusz köreihez P-ből húzott érintők érintési pontjainak mértani helyét! Lásd a harmadrendu1.ggb, harmadrendu1.ggb Geogebra fájlokat A+(B+C) Miért teljesül az asszociativitás? A következő dián Chasles tétele igazolja http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

25. XVIII. sz. S B+C a harmadrendű görbén az asszociativitást A+B C A Papposz tételét (A+B)+C O S” Pascal tételét A+(B+C) B Chasles tétele igazolja S’ A Cramer paradoxon A paradoxon feloldása: Az a 9 pont, amelyben két harmadrendű görbe metszi egymást mindig nagyon spe- ciális: már 8 meghatározza a 9-ediket. Bezout: Két harmadrendű gör- be 9 pontban metszi egymást. Bezout: Két harmadrendű görbe 9 pontban metszi egymást. Együtthatók leszámolása: 9 pont meghatározza a har- madrendű görbét. Együtthatók leszámolása: 9 pont meghatározza a harmadrendű görbét. Ha 9 ilyen pontra akarunk harmadrendű görbét Illeszteni, akkor lineárisan összefüg- gő egyenletrendszert kapunk, nem csak egy megoldás lesz. a1x3+ a2y3+ a3x2y+ a4x2+ a5xy2+ a6y2+ a7xy+ a8x+a9y+ a10 = 0 10 együttható, de egy konstans szorzó nem változtatja meg a megoldáshalmazt Nincs pont 9 dim harmadrendű görbe 1 pont 8 dim harmadrendű görbe H1: a piros; 7 dim harmadrendű görbe 2 pont Az 1 dimenziónyi megoldás az aH1+bH2= 0 sereg, más nincs! H2: a zöld egyeneshármas; H3: a kék egyeneshármas; 7 pont 2 dim harmadrendű görbe 8 pont ? 1 dim harmadrendű görbe Az aH1+bH2= 0 görbe átmegy H1és H2 mind a 9 metszéspontján A piros, zöld, kék görbék páronkénti további közös pontja egybeesik-e? H1= 0, H2= 0 H1+H2 = 0. Chasles tétele: Ha a H3 harmadrendű görbe átmegy a H1, H2 görbék metszéspontjai közül 8-on, akkor a 9-en is átmegy.

26. Az előadás vége http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt