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第二章 教育信息熵

第二章 教育信息熵. 内容简介. 本章在对信息熵与熵技术全面介绍的基础上，讨论信息熵在教学中的应用。通过一些信息熵在教学中应用实例的介绍，我们将对如何利用熵技术处理教育信息、分析教育过程有进一步的理解。. 学习目标. 1. 了解信息熵的基本含义及性质 2. 掌握多个概率系统的信息熵 3. 掌握测试过程中的信息量问题 4. 掌握教学过程中的信息量问题 5. 掌握 CAI 课件中信息熵的应用. 基础知识. 一 . 随机事件的概念及关系. ( 一 ) 随机现象. ( 二 ) 随机试验. ( 三 ) 随机事件. ( 四 ) 随机事件之间的关系.

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第二章 教育信息熵

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Presentation Transcript

  1. 第二章 教育信息熵

  2. 内容简介 本章在对信息熵与熵技术全面介绍的基础上，讨论信息熵在教学中的应用。通过一些信息熵在教学中应用实例的介绍，我们将对如何利用熵技术处理教育信息、分析教育过程有进一步的理解。

  3. 学习目标 • 1.了解信息熵的基本含义及性质 • 2.掌握多个概率系统的信息熵 • 3.掌握测试过程中的信息量问题 • 4.掌握教学过程中的信息量问题 • 5.掌握CAI课件中信息熵的应用

  4. 基础知识 一.随机事件的概念及关系 (一)随机现象 (二)随机试验 (三)随机事件 (四)随机事件之间的关系 二.随机事件的概率 (一)统计定义 (二)古典定义 (三)几何定义 (四)公理化定义

  5. 一.随机事件的概念与关系 (一)随机现象 在我们所生活的世界上，充满了不确定性 1.随机现象 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.

  6. 带有随机性、偶然性的现象. 随 机 现 象 的 特 点 当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性. 或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.

  7. 2.随机现象的统计规律性 随机现象并不是没有规律可言 在一定条件下对随 机现象进行大量观 测会发现某种规律性.

  8. 2.随机现象的统计规律性 例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.

  9. 测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”.

  10. "天有不测风云"和"天气可以预报"有矛盾吗? 无 ! “天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性. “天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性.

  11. 掷硬币试验

  12. 请看 福尔莫斯破密码 福尔莫斯为什么能破译出那份密码? 对案情的深入了解和分析; 运用字母出现的规律.

  13. 圆周率π=3.1415926……是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保了1000多年！圆周率π=3.1415926……是一个无限不循环小数，我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保了1000多年！ 以后有人不断把它算得更精确. 1873年，英国学者沈克士公布了一个π的数值，它的数目在小数点后一共有707位之多!

  14. 但是，经过几十年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 原因是他统计了π的608位小数，得到下面的表: 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67 44 你能猜出他怀疑的理由吗? 各数码出现的频率应都接近于0.1,或者说，它们出现的次数应近似相等. 但7出现的次数过少.

  15. 3.研究随机事件统计规律的意义 例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.

  16. 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.

  17. 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.

  18. 掷骰子试验 掷一颗骰子，观察出现的点数 例如,掷硬币试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命. H T (二)随机试验： 如果每次试验的可能结果不止一个，且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验.

  19. 在随机试验中，我们往往会关心某个 或某些结果是否会出现. 这就是 (三)随机事件： 1.定义:在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件. 随机事件的发生具有偶然性, 在大量重复试验中，随机事 件的发生又具有某种规律性. 例如，在掷骰子试验中， “掷出1点” “掷出2点”

  20. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 基本事件 （相对于观察目的 不 可再分解的事件） 事件 Ai={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6 事件 复合事件 （两个或一些基本事件并在一起，就 构成一个复合事件） 事件B={掷出奇数点}

  21. 2.两个特殊的事件： 必 然 事 件 即在试验中必定发生的事件，常用S或Ω表示; 能 不 可 事 件 即在一次试验中不可能发生的事件， 常用φ表示 . 例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于7”是必然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.

  22. . S 3.样本空间 现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 . 我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 样本点e

  23. 其中 第1次 第2次 H H H H (H,H): (H,T)： (T,H): T T T T (T,T)： 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：　　 S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型： 在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .

  24. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，　　　 故样本空间 S = {t：t ≥0｝

  25. 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数. 这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 . 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .

  26. 引入样本空间后，事件便可以表示为样本空间的子集 . 例如，掷一颗骰子，观察出现的点数 样本空间： S = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝ 事件B就是S的一个子集 B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现. B = {1,3,5｝

  27. 样本空间的练习 写出下列各随机实验的样本空间 1.记录一个小班数学考试的平均分数 2.同时掷三枚骰子,记录它们的点数之和

  28. 个基本事件 共有 3.10只产品中有3只次品,每次从中取出一 只(不放回抽取)直到将3只次品都抽出 记录抽取的次数 4.一个小组有A,B,C,D,E5人,要选正副组长 各一人(一个人不能兼职)观察选举结果

  29. (四)随机事件的关系

  30. 通常n事件之和记为 。 通常n事件之积记为 。 1）事件的和与差 和：A事件与B事件必然B事件至少有一件发生，记为A+B； 差：A事件发生而B事件不发生，记为A-B。 2）事件的积 A事件与B事件同时发生，记为AB；

  31. 1.事件的和（并）、积（交）、差、对立事件及互不相容（互斥）事件的图示：1.事件的和（并）、积（交）、差、对立事件及互不相容（互斥）事件的图示：

  32. 例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}， 是A的对立事件， ={两件产品不都是合格品} ={两件产品中至少有一个是不合格品} 问： 在概率论中，常常叙述为：

  33. ={两件产品中至少有一个是不合格品} 2.利用字母表示事件 若记Bi ={取出的第i件是合格品}，i=1,2 A=B1B2

  34. B A C 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件. 1. A发生, B与C不发生 或 2. A与B都发生,而C不发生 或

  35. B A C 3. A、B、C中至少有一个发生 恰有2个发生 恰有1个发生 或 A+B+C +ABC 3个都发生 4. A、B、C都发生 ABC

  36. B A C 5. A、B、C中至少有两个发生 +ABC 恰有2个发生 或 3个都发生 AB+BC+AC 6. A、B、C都不发生 或

  37. B A C 7. A、B、C中不多于一个发生 或 恰有1个发生 有0个发生 至少有2个不发生

  38. B A C 8. A、B、C中不多于两个发生 或 或 至少有1个不发生 注意

  39. 3.根据字母写出随机事件 一名射手连续向某个目标射击三次,事件 Ai表示该射手第i次射击时击中目标 (i=1,2,3) 三次都击中目标 至少有一次击中目标 前两次没有一次击中 后两次至少有一次未中

  40. 二.事件的概率 (一)概率的统计定义 在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性. 这个定值称为事件的概率,记为P(A) 例如,在抛掷一枚硬币的实验中,出现正面 的概率P(A)=1/2

  41. 频率的性质 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.

  42. 事件A发生的概率有以下性质 事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1. 0≤P(A)≤1 事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0.

  43. 例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录. 若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.

  44. 医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.” 医生的说法对吗？

  45. 有利于A的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数 1.古典概率的条件 (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；(2) 每个样本点出现的可能性相同. (二)古典概率 称这种试验为古典概型. 定义设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：

  46. 8 5 9 6 1 4 2 3 10 7 例如，一个袋子中 装有10个大小、形状完全相同的球. 蒙上眼睛，从中任取一球. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取出的机会都是1/10 因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.

  47. 古典概率有以下性质:

  48. 问：出现这样的结果的可能 性多大 古典概率计算举例 例1把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词： S C I E N C E

  49. 解：七个字母的排列总数为7！ 拼成英文单词SCIENCE的情况数为 故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .

  50. 有6张纸牌,其中4张黑桃,2张红桃,从中 例 随机地有放回地取两次,每次只取一张,求 (1)取到的两张都是红桃的概率? (2)取到的两张颜色相同的概率? (3)取到的两张至少有一张黑桃的概率? 或1-P(A)

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