1 / 55

Advanced Topics in Search Theory

Advanced Topics in Search Theory. 3: Concurrent Search. Theme Paper. The Economics of Information – George Stigler, 1961. שונות מחירים. מדוע מוכרים שונים קובעים מחירים שונים לאותו מוצר הומוגני? שונות המחירים כמדד לחוסר המידע בשוק כאשר יש שונות גדולה במחירים, כדאי לדגום מספר מוכרים. דוגמה.

ethel
Download Presentation

Advanced Topics in Search Theory

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Advanced Topics in Search Theory 3: Concurrent Search

  2. Theme Paper • The Economics of Information – George Stigler, 1961

  3. שונות מחירים • מדוע מוכרים שונים קובעים מחירים שונים לאותו מוצר הומוגני? • שונות המחירים כמדד לחוסר המידע בשוק • כאשר יש שונות גדולה במחירים, כדאי לדגום מספר מוכרים

  4. דוגמה • המוכרים מתחלקים (באופן שווה) בין כאלה המבקשים 2$ עבור המוצר וכאלה המבקשים 3$ • מהי התפלגות המחיר המינימלי אם דוגמים מספר מוכרים? 0.75*2+0.25*3 0.875*2+0.125*3

  5. Distribution of the Minimum Price fN(x) fN(x)

  6. תוחלת מינימום המחיר • דוגמה – uniform distribution f(x) 1 P=1 0 1 F(x) 1 0 1

  7. תוחלת מינימום המחיר (המשך) • You can easily check this with Excel… • Can you guess what is EN(x) for the maximum of a sample?

  8. התועלת שבדגימה נוספת • יורד בקצב קטן (הוכחה על-ידי Robert Solow)

  9. עלות החיפוש • בד"כ פרופורציונאלית למספר המוכרים שנדגום • כמות החיפוש האופטימלית תתקבל על-ידי השוואת הרווח השולי מחיפוש נוסף ועלות החיפוש cost of search marginal benefit N

  10. Sequential Search • Expected benefit when using sequential search with reservation value: • And when searching for minimal price:

  11. Sequential Search • We also know that V(x*)=x* searching for maximum searching for minimum

  12. איזו שיטה עדיפה? • Take the uniform distribution as an example: • One-sample strategy: overall expected cost: • Sequential search:

  13. Comparison • Sequential search is always better (why?) • Unless what?

  14. דוגמה • מחירים מתפלגים בצורה אחידה בין 50 ל- 100 (רציף) • עלות כל מחיר נוסף – 1 דולר f(x) 0.02 N=5: E_5+5=63.33 N=6: E_6+6=63.14 N=7: E_7+7=63.25 50 100

  15. EN+N N

  16. מתי נעדיף לדגום N בו-זמנית? • מועמד השולח בקשות למספר מוסדות • חברה הפונה למספר ספקים לקבל הצעות • תהליך הבודק מספר שרתים בו זמנית

  17. תוחלת של מקסימום

  18. תוחלת של מקסימום (המשך) • עבור התפלגות אחידה בין 0 ל- 1:

  19. Problem 1 • You are about to purchase an iPod touch over the internet • You estimate the price distribution of the product over the different sellers to be uniform between 200-300 dollars • You can search by yourself, by visiting different web-sites – the cost of time for obtaining a price quote is $1 • How will you search? What will be your expected cost? What’s the mean of the number of merchants you’ll visit?

  20. Problem 1 (cont.) • Alternatively, you can access one of the comparison-shopping web-sites over the internet • Web-site “A” offers you searching 100 web-sites for a total of $10 (average of 10 cent per searched site). • Web-site “B” offers you searching 20 web-sites for a total of $2 (average of 10 cent per searched site)

  21. Solution • The minimum of a sample of size 100 can be calculated using:

  22. Solution (cont.) • Calculating the expected minimum: Integration by parts:

  23. Solution (cont.) • 214.14>200.99+10 • So we better take this offer… • and here is a simpler way to come up with that: • The minimum of 100 quotes is very close to the 200 lower bound • In fact, we know for the uniform distribution that: f(x) 0.01 200 300 In the 201 vicinity

  24. It can become even simpler… f(x) • In our problem: 0.01 200 300 f(x) 1 0 1

  25. Solution for web-site B • Conclusion: it’s better to use web-site B

  26. Problem 1 (cont.) • What would be the break-even cost of search c, for which we’ll prefer to search by ourselves?

  27. Solution

  28. מודל משולב • עלות דגימה של N הזדמנויות היא: α+βN • ערך דגימה מגיע מהתפלגות g(x) ו- G(x) • מינימום המדגם הוא: • פונקציית התפלגות המינימום:fN(y) ו- FN(y) • תוחלת המינימום: • ה- horizon אינסופי

  29. אסטרטגיה אופטימלית • לאחר קבלת מדגם בגודל N, ניתן: • לסיים החיפוש ולשלם YN • לבקש מדגם נוסף בגודל N, ולשלם שובα+βN • האסטרטגיה האופטימלית מאופיינת על-ידי הצמד (N*,x*): • N* - גודל המדגם האופטימלי שיש לעבוד לפיו • x* - ה- reservation value בו יש להשתמש • שאלה: מדוע N* ו- x* אינם תלויים באיטרציית החיפוש בה אנו מצויים (כלומר בזמן)?

  30. Analysis • For fixed (arbitrary) N, VN(x) is the expected search cost (until the search is terminated) using the rule: • Terminate search if YN≤x • Resume search otherwise • Notice that:

  31. Analysis • The expected cost is thus: • Notice that: (this is very intuitive)

  32. Analysis • Also notice: Bernoulli trial is an experiment whose outcome is random and can be either of two possible outcomes, "success" and "failure".

  33. Analysis

  34. Analysis • Proof:

  35. The Quasi-Convex Function

  36. Strictly Decreasing Cost Function • If VN‘(x)=0 does not exist over [0,A] then either: • VN(x) is strictly increasing • VN(x) is strictly decreasing • From , the sign of VN‘(x) is determined by , and from the sign is negative

  37. Strictly Decreasing Cost Function

  38. Strictly Decreasing Cost Function Proof: For any value x≥A, (why?) Therefore, VN(x) strictly decreases in x if and only if A-VN(A) < 0 which is equivalent to

  39. Example – uniform distribution • (0.01=, 0.002=, N=3) α+βN

  40. התחום בו מצוי הפתרון Solution Algorithm

  41. Finding x* • What if α, β, N increase?

  42. Finding N* • The trivial way: • Set N = 1 and calculate V1(x)=x1 Then set N = 2 and calculate V2(x)=x1and so on. Then choose a sample size N* for which the value of the cost function is minimal • How long should we continue with this? • We know that and Also, clearly: and therefore:

  43. Algorithmic approach for N* Proof: Therefore:

  44. Similarly: • Now, let’s assume and show that: • According to theassumption:

  45. If (i.e., otherwise): • Therefore: ≤

  46. however notice that: non-negative, strictly decreasing in k Hence: Which leads to a contradiction! Implication: just check for increasing N values until you see an increase

  47. Special cases • What is the optimal sample size for α=0? β=0?

  48. Calculating the variance

More Related