CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN

1. CHƯƠNG 2BIẾN NGẪU NHIÊN

2. Kháiniệmbiếnngẫunhiên • Biếnngẫunhiênlàmộtđạilượngnhậngiátrịphụthuộcvàokếtquảcủaphépthửngẫunhiên. Giátrịcủanólàngẫunhiênkhôngdựđoántrướcđược. • Kíhiệu: X, Y, Z…

3. Vídụ 1 • Lượngkháchvàomộtcửahàngtrongngày • Độbềncủamộtsảnphẩm • Sốsảnphẩmhỏngtrong 100 sảnphẩmmớinhậpvề • Chiềucaocủamộtsinhviêngọingẫunhiêntronglớpnày

4. Vídụ 1 • Tung mộtđồngxu. Ta cócácbiếncốsau: • Đồngxungửa : “N” • Đồngxusấp: “S” Đặt Khiđó X làmộtbiếnngẫunhiên. Lưu ý: “X=1” hay “X=0” làcácbiếncố.

5. Vídụ 2 • Hộpcó 6 viên bi gồm 4 trắngvà 2 vàng. Lấyngẫunhiên 2 viên bi từhộp. Đặt Y làsốviên bi vàngcótrong 2 viênlấyra. • Khiđó Y cũnglàbiếnngẫunhiên. • Ta có: • “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” làcácbiếncốnào???

6. Địnhnghĩa (thamkhảo) Biếnngẫunhiên X làmộtánhxạtừkhônggianmẫucácbiếncốsơcấpvàotậpsốthực Chú ý: • X làbnn • {X=x} hoặc {X<x}, … làbiếncố.

7. Phânloạibnn Bnn X Rờirạc Giátrị X liệtkêđượcthànhmộtdãysốhữuhạnhoặcvôhạn Liêntục Giátrị X lấpđầymộtkhoảnghay mộtsốkhoảngcủatrụcsố, hoặccảtrụcsố

8. Luậtphânphốixácsuất • Biểudiễnquanhệgiữacácgiátrịcủabiếnngẫunhiênvàxácsuấttươngứng. • Xácsuấtđểbnnnhậnmộtgiátrịbấtkì • Xácsuấtđểbnnnhậngiátrịtrongmộtkhoảngbấtkì • Dạngthườnggặp: côngthức, bảngppxs, hàmppxs, hàmmậtđộ

9. Luậtphânphối_Côngthức Vídụ 1. Mộtngườinhắmbắnmộtmụctiêuchođếnkhinàobắntrúngmộtphátthìthôi (sốphátbắnkhônghạnchế). Xácsuấtbắntrúngcủamỗiphátđềubằng p. Tìm qui luậtppxscủasốviênđạnđượcsửdụng

10. Luậtphânphối_Côngthức X: sốviênđạnđượcsửdụng X cótậpgiátrịlà N* hay X= 1,2,3…. Ta có:

11. Luậtphânphối_Côngthức • Qui luậtppxscủa X là: • X gọilàcóphânphốihìnhhọc • Tínhxácsuấtsau:

12. Bảngppxs • Vídụ 2. Mộthộpcó 10 sảnphẩmtrongđócó 6 sảnphẩmđạtloại A. Lấyngẫunhiên 2 sảnphẩm. Lậpbảngphânphốixácsuấtcủasốsảnphẩmloại A lấyra?

13. Bảngppxs X làsốsảnphẩmloại A lấyra. Ta có: X=0,1,2 Bảngppxs:

14. Luậtppxs_Bảng • Bảngphânphốixácsuấtcủa X. • xi : giátrịcóthểcócủabnn X • pi: xácsuấttươngứng; pi=P(X=xi). • Chú ý:

15. Luậtppxs_Bảng Vídụ 2.Có 2 kiệnhàng. Kiện 1 có 4 sảnphẩmtốt, 3 sảnphẩmxấu. Kiện 2 có 6 sảnphẩmtốt, 4 sảnphẩmxấu. Lấyngẫunhiêntừkiện 1 ra 2 sảnphẩmvàtừkiện 2 ra 1 sảnphẩm. Lậpluậtphânphốixácsuấtcủasốsảnphẩmtốttrong 3 sảnphẩmlấyra? Giải: Gọi Y làsốsảnphẩmtốttrong 3 sảnphẩmlấyra.  Y=0,1,2,3 Gọi Ailàbccóisảnphẩmtốtlấyratừkiện 1. GọiBjlàbccó j sảnphẩmtốtlấyratừkiện 2.

16. Luậtppxs_Bảng

17. Luậtppxs_Bảng • Bảngphânphốixácsuất:

18. Luậtppxs_ Hàmphânphối • Hàmphânphốixácsuất hay hàmphânbố, kýhiệu F(x), địnhnghĩanhưsau: • Hay

19. Luậtppxs_ Hàmphânphối • Cho bnn X cóbảng pp • Tìmhàmppxscủabnn X vàvẽđồthị • Tính • F(x) cóliêntụctại x với x{0,1,2,3} • Tính P(1<X<3)

20. Luậtppxs_ Hàmphânphối • Cho X làbnnrờirạccótậpgiátrịđượcsắp • Khiđó: và

21. Luậtppxs_ Hàmphânphối • Làxácsuấtđể X nhậngiátrịnhỏhơn x, x làmộtgiátrịbấtkì. • Cho biếttỉlệphầntrămgiátrịcủa X nằmbêntráisố x. • Xácsuất X thuộc [a,b)

22. Luậtppxs_ Hàmphânphối

23. Hàmmậtđộxácsuất • Cho X làbnnliêntục • Ngườitachứng minh đượcrằng P(X=a)=0 vớimọigiátrịcủa a Đểmôtảbnnliêntụctadùnghàmmậtđộ Hàm f(x) làhàmmậtđộcủamộtbiếnngẫunhiên X nàođónếuthỏamãn 2 điềukiệnsau:

24. Hàmmậtđộxácsuất • Hàmmậtđộxácsuấtcủabiếnngẫunhiênliêntục X làđạohàmcấp 1 củahàmphânbốxácsuấtcủabiếnngẫunhiênđó, kýhiệuf(x)

25. Tínhchất • Mộthàmsốbấtkìthỏamãn 2 tínhchấtđầutiêni) ii) sẽlàhàmmậtđộcủamộtbiếnngẫunhiênliêntụcnàođấy.

26. Hàmmậtđộxácsuất • Đồthịhàmmậtđộ • Diệntíchdướiđồthị f(x) và Ox là 1.

27. Hàm mật độ xác suất • Lưu ý: • Do đó:

28. Hàm mật độ xác suất f(x) a b

29. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG • Kỳvọng (Expected Value) E(X) • Phươngsai (Variance) V(X), Var(X) • Độlệchchuẩn (Standard Error) • Trungvị (Median) me • Mốt (Mode) m0 • Hệsốbiếnthiên (Coefficient of Variation) CV • Hệsốbấtđốixứng (Skewness) • Hệsốnhọn (Kurtosis) • Giátrịtớihạn

30. Kỳvọng (Expected Value) • Kýhiệu: E(X) • Địnhnghĩa: • E(X) làtrungbìnhtheoxácsuấtcủa X • Cócùngđơnvịvới X

31. Tínhchất

32. Phươngsai (Variance) • Kýhiệu: V(X); Var(X) • Địnhnghĩa:

33. XA, XB làlãisuấtthuđượctrongmộtnăm (đơnvị %) khiđầutưvào 2 côngty A, B mộtcáchđộclập. Cho biếtquyluậtphânphốicủa 2 biếnngẫunhiêntrênnhưsau:

34. Đầutưvàocôngtynàocólãisuấtkỳvọngcaohơn? • Đầutưvàocôngtynàocómứcđộrủiroíthơn? • Nếumuốnđầutưvàocả 2 côngtythìnênđầutưtheotỉlệnàosaocho: • Thu đượclãisuấtkỳvọnglớnnhất? • Mứcđộrủirovềlãisuấtthấpnhất?

35. Độlệchchuẩn • V(X) đođộdaođộng, phântán, đồngđều, tậptrungcủa X. • V(X) cóđơnvịlàbìnhphươngđơnvịcủa X • (X) cóđơnvịlàđơnvịcủa X

36. Tính chất của phương sai

37. Biếnngẫunhiênchuẩnhóa • Cho X làbnncókỳvọng vàđộlệchchuẩn >0. • Đặt: • Ta có: • Biến Z gọilàbnnchuẩnhóacủabnn X.

38. Vídụ 1 Cho bnn X:

39. Vídụ 1 E(X)=3,5 : giátrịtrungbìnhtheoxácsuấtcủa X là 3,5. Hay nếutathựchiệnphépthử n lần (n đủlớn) thìgiátrịtrungbìnhcủa X trong n lầnđósẽxấpxỉ 3,5. Chú ý: nếu X cóđơnvịlàmthì: E(X) cóđơnvịlàm V(X) cóđơnvịlàm2 (X) cóđơnvịlàm

40. Vídụ 2 Theo thốngkêviệc 1 ngườiMỹ 25 tuổi, xácsuất Sốngthêm 1 nămlà0.992 Chếttrongvòng 1 nămtớilà0,008. Mộtchươngtrìnhbảohiểmđềnghịngườithamgiabảohiểmchosinhmạngngườiđótrongvòng 1 năm Sốtiền chi trả 1000 USD. Lệphíthamgialà 10 USD.

41. Vídụ 2 • Gọi X làlợinhuậnthuđượctrên 1 ngườithamgiabảohiểm. Ta có: • Ta thấylợinhuậnkìvọnglàmộtsốdươngnêncôngtybảohiểmcóthểlàmăncólãi. • Tấtnhiêntínhtrênđiềukiệnsốngườithamgiabảohiểmlàđủlớn.

42. Vídụ 2

43. Vídụ 3 Cho bnnliêntục X cóhàmmậtđộ a) Kiểmtralại f(x). b) Tính E(X), V(X).

44. Vídụ 3 Tính V(X)

45. Vídụ 4 Tuổithọcủamộtloạicôntrùng M làbiếnngẫunhiên X (đơnvị: tháng) vớihàmmậtđộnhưsau: • Tìmhằngsố k? • Xácđịnhhàmppxs? • Tínhtuổithọtrungbìnhcủaloạicôntrùngtrên.

46. Vídụ 4 • 2 tínhchấtcơbảnhàmmậtđộ: • Ta có: • Thửlạithấyđiềukiệnđầucũngthỏa. • Vậy k=3/64

47. Vídụ 4 • Hàmphânphốixácsuất: • Tuổithọtrungbình:

48. Vídụ 5 • Giảsửmộtcửahàngsáchđịnhnhậpvềmộtsốcuốntruyệntrinhthám. Nhucầuhàngnămvềloạisáchnàynhưsau: • Cửahàngmuasáchvớigiá 7USD mộtcuốn, bánravớigiá 10USD mộtcuốnnhưngđếncuốinămphảihạgiávớigiá 5USD mộtcuốn. Cửahàngmuốnxácđịnhsốlượngnhậpsaocholợinhuậnkìvọnglàlớnnhất.

49. Vídụ 5 • Gọi Xilàsốtiềnlờikhinhậpthêmicuốnsách (ngoài 30 cuốn). • Sốtiềnlờikhinhập 30+i (cuốn) là: Yi= 90+Xi • Với X0: • Bảngppxscủa X0là: • Vậy E(Y0)=E(90+ X0)=90+E(X0)=90

50. Vídụ 5 • Với X1tacóbảngppxs: • Vậy E(Y1)=90+E(X1)=91,5 • Với X2tacó: • Vậy E(Y2)=90+E(X2)=92,25