让文化架起沟通数学的桥梁 -- 上海交通大学《数学与文化》课程建设

1. 让文化架起沟通数学的桥梁--上海交通大学《数学与文化》课程建设让文化架起沟通数学的桥梁--上海交通大学《数学与文化》课程建设 纪志刚 上海交通大学科学史系 2011年7月15日 南开大学

2. 《上海交通大学关于设置本科通识教育核心课程的意见》2008《上海交通大学关于设置本科通识教育核心课程的意见》2008 课程设置:人文科学、社会科学、自然科学与工程技术、数学与逻辑 数学类通识课程的教学重点是“数学思想和思想方法。使学生了解数学发展中的重大事件及数学家的创见和发明，了解数学的文化功能和思想价值，以及对科技进步和社会发展的意义，尤其要注重培养学生的数学思维能力。”

3. 《数学与文化》课程的总体设计 一 课程的基本架构 “数学主题”为先导，即选择不同历史时期具有典型意义的数学概念、思想、方法，简要叙述历史发展，通过数学发展中的重大事件、著名数学家的创见和发现，揭示数学思想演变和数学方法的形成。

4. 围绕“数学主题”，寻找相应的“文化切入点”，通过探讨数学与文学、艺术、宗教等人文科学，以及其他自然科学分支的内在联系，注重阐明数学的理性精神和文化魅力；在帮助学生了解数学的文化功能和思想价值的同时，注重培养学生的数学思维能力。围绕“数学主题”，寻找相应的“文化切入点”，通过探讨数学与文学、艺术、宗教等人文科学，以及其他自然科学分支的内在联系，注重阐明数学的理性精神和文化魅力；在帮助学生了解数学的文化功能和思想价值的同时，注重培养学生的数学思维能力。 通过探索数学对科技进步和社会发展的作用，阐明数学是人类文明的主要组成部分和不可缺少的重要文化力量。

5. 具体做法是：确立15个左右的“数学主题”，对每个主题或突出其在数学思想史上的重要意义、或突出其在思想方法或创新思维的启发示例；具体做法是：确立15个左右的“数学主题”，对每个主题或突出其在数学思想史上的重要意义、或突出其在思想方法或创新思维的启发示例； 每个主题的“文化切入点”则注重揭示数学的文化功能和思想价值，展示数学对科技进步和社会发展的意义。

6. 为了启发思想，培养学生自主学习和创新知识的能力，本课程拟就“东西方数学文化的特点与比较”、“数学在科学革命中的作用”、“数学与文学”、“数学与美学”、“数学与音乐”、“数学大师创新思维特点”“数学与当代社会”等专题组织学生展开讨论，归纳分析、共同总结，鼓励学生走上讲台进行个人展示。为了启发思想，培养学生自主学习和创新知识的能力，本课程拟就“东西方数学文化的特点与比较”、“数学在科学革命中的作用”、“数学与文学”、“数学与美学”、“数学与音乐”、“数学大师创新思维特点”“数学与当代社会”等专题组织学生展开讨论，归纳分析、共同总结，鼓励学生走上讲台进行个人展示。 二 课程的个性化要求

7. 三 课堂教学拓展与深化 为了配合课堂教学，本课程有选择放映若干部与数学相关的电影，如：《美丽的心灵》、《费马的房间》、百老汇音乐剧《费马最后的探戈》，帮助学生更直观地了解数学与文化的相互关系。同时引导学生阅读欧几里得《几何原本》，《九章算术》，伽利略《两门新科学的谈话》、笛卡尔《几何学》、牛顿《自然哲学的数学原理》、希尔伯特《几何学基础》等数学原典(片断)，为学生创设亲炙大师的机会。

8. 推荐学生阅读《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《微积分概念史》、《数学精英》、《费马大定理》、《数学恩仇录》、《后现代思想的数学根源》等数学与文化的名篇佳作，拓展学生的知识视野，提升学生的数学品位。推荐学生阅读《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《微积分概念史》、《数学精英》、《费马大定理》、《数学恩仇录》、《后现代思想的数学根源》等数学与文化的名篇佳作，拓展学生的知识视野，提升学生的数学品位。

9. 导论 数学与文化—理性、精神和信念 单元1 从前有个数 ：记数法则与数系扩张 数学主题：古代埃及、巴比伦、印度、中国的记数法；数系扩张 文化切入点： 古代文明记数法的文化差异与共性 单元2 数学的理性：希腊的哲学与数学 数学主题：柏拉图的数学观；欧几里得与《原本》 文化切入点：数学中的柏拉图主义；用“几何精神架构社会契约 单元3 中国古代数学的东方特色 数学主题： 《九章算术》； 刘徽的数学思想 　文化切入点： 中国传统数学的社会性　　

10. 单元4 数学在欧洲的复兴 数学主题：中世纪的数学；数学与文艺复兴 文化切入点：“三文、四艺”；奥马尔.海亚姆与《鲁拜集》；绘画与透视学；数学在科学革命中的作用 单元5 新数学、新世界、新观念 数学主题：微积分的创立；牛顿与《自然哲学的数学原理》 文化切入点：机械论自然观；牛顿学说及其对哲学、宗教和文学的影响 单元6 分析算术化 数学主题：极限、函数、导数、积分概念的严密化；实数理论的完善 文化切入点：贝克莱论战；数学与人的本性

11. 单元７ 非欧几何：奇妙的新世界 数学主题：第五公设；非欧几何；几何基础 文化切入点： 物理空间与数学空间；相对论的数学基础 单元8 青春的律动：阿贝尔与伽罗瓦 数学主题：五次以上方程的可解性；群论 文化切入点：数学天才与社会环境，数学创新思维的个案分析 单元9 探索无穷 数学主题：“实无穷”与“潜无穷” ；康托“超限数”理论 文化切入点： 东西方无穷观念的比较；无穷的文化史

12. 单元10 上帝是否在掷骰子？ 数学主题：从赌徒问题到概率论，随机过程 文化切入点：数学与大自然的运作 单元11 让数字说话-社会学研究中的统计方法 数学主题：数理统计简要历史 文化切入点：用统计的观点看世界 单元12　美丽的数学心灵 数学主题： 纳什与博弈论 文化切入点：“纳什博弈”与社会生活

13. 单元13 维尔斯VS陈景润 主题：费马大定理；哥德巴赫猜想 文化切入点：徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》 单元14 数学的真理性 数学主题： 悖论与数学危机；哥德尔不完备定理 文化切入点：“否定比肯定更具普遍性” 单元15 数学与后现代思想 数学主题：数学基础的三大流派及其争论 文化切入点：结构主义、功能主义和解构主义的数学语境分析

14. 课程特点 两条主线：不同历史时期数学与文化相互交融 板块交叉：东方与西方、古典与现代、思想与方法、宏观与微观 多元视角：数学与文化形态（宗教、艺术、文学等）、社会进步、政治变革的互动关系

15. 几个案例 第一讲从前有个数：记数法则与数系扩张 数学主题： 古代埃及、巴比伦、印度、中国的记数法 数系扩张 文化切入点： 古代文明记数法的文化差异与共性

16. “数”说文化 相传，苏东坡与学友赴京赶考，因涨大水，船只行进困难，耽搁时日，眼看应考就要迟到，学友叹曰：一叶孤舟，坐二三个骚客，启用四浆五帆，经由六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟 苏东坡则劝勉道：十年寒窗，进九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中 上联从一数到十，下联又倒着从十数到一，不仅数字使用巧妙得当，而且将莘莘学子寒窗苦读、赴京赶考的艰难表述得淋漓尽致。

17. Da mi basia mille da mi basia mille, deinde centum,dein mille altera, dein secunda centum,deinde usque altera mille, deinde centum.dein, cum milia multa fecerimus,conturbabimus illa, ne sciamus,aut ne quis malus inuidere possit,cum tantum sciat esse basiorum. Gaius Valerius Catullus (ca. 84 BC – ca. 54 BC)

18. 数字的生命-摘自电影《ＹＥＳ》 男：我喜欢数字１，一个你，一个我，一个月亮，一个太阳。 女：我一定要绕着你转吗？我是围绕你旋转的银星吗？你是光和热的源泉，而我只是影子，引起潮水涨落和寒冷吗？ 男：……我只不过说了一个数字，一个意念。我喜欢单一的状态。仅此而已…… 女：单一是一个基于幻觉的词，生活本身由融合发展开来。而２是结合，是释放，是吸引和拒绝，是肯定或否定，不是“独奏曲”。但是，把我们引导到这里的是甜蜜的二重奏，然后忘记我们邂逅的事情。是２带给我们欢乐，欲望带我们走向爱。

19. 男：你说得对，现在我要说３。你和……他，现在是我。男：你说得对，现在我要说３。你和……他，现在是我。 女：天啊！还是让我们藏在数字４里吧。一间四面有墙的房子，把外面的喧嚣关在门外…… 男：我们扯的太远了。我忘记了比１还要早的事情。关于空虚、巨大和无边的虚无状态。这是我们唯一需要的数字。零是陛下，它无声无息的主导我们的生活。 女：说的好。但我觉得太神秘了。人们发明了零。因此，我们可以数数，可以计算难以想象的巨大而棘手的数字，然后增加到１０的力量。我们开始计算空间和时间。……

20. 第二讲数学的理性：希腊的哲学与数学 数学主题： 柏拉图的数学观 欧几里得与《原本》 文化切入点： 柏拉图主义 用“几何精神”架构社会契约

21. 数学中的柏拉图主义 • 柏拉图主义的基本观点是：数学的对象就是数、量、图形等数学概念，而数学概念作为抽象一般或“共相”，是客观存在着的。柏拉图认为它们存在于一个特殊的理念世界里，后世的柏拉图主义者并不接受“理念论”，但也认为数学概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在，它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述；数学新成果不是发明，而是发现。与之相应的，柏拉图主义认为数学理论的真理性是客观的，是由那种独立于现实世界之外的存在决定的，而这种真理性是要靠“心智”经验来理解，靠某种“数学直觉”来认识的，人们只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数学世界”。

22. “几何”精神与社会“契约” 斯宾诺莎：《伦理学》（Ethics，1675） 第一章：8条定义，7条公理 证明8条定理和推论，证明的结尾标注： Q.E.D.( quod erat demonstrandum-此即所证)

23. 马尔萨斯（Thomas Malthus）： 《人口论》（An Essay on the Principle of Population,1798) 开篇先立两条公设（postulata）： （1）对于人类的生存，食物是必需的； （2）两性之间的情欲是必需的，并且将以相近目前的状态持续下去。 据此推出人口已几何级数增长，而食物以算术级数增长。

24. 《独立宣言》 （Declaration of Independence,1776） “我们认为下面这些真理是不言而喻(self-evident )的：人人生而平等，造物者赋予他们若干不可剥夺的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。 ” 《葛底斯堡演说》（1863） “八十七年前，我们的先辈们在这块大地上创建了一个新的国家，孕育于自由，奉行人皆生而平等的原理（proposition）

25. 西学与“戊戌维新” 康有为是近代中国以数学方法来阐释人文理论的第一人。他认为：“天文地理各学皆从算学入，通算犹识字也。” 他鼓励学生要循序渐进，学好数学。 据《康南海自编年谱》载，他自己于1885年即“从事算学，以几何著《人类公理》”，第二年“又作《公理书》，依几何为之者” 。

26. 维新运动时期，康有为在前两稿基础上，编成《实理公法全书》，模拟欧几里得《几何原本》的思维路数，将其认定的人类必须共同遵守的公私关系的道理，分门别类，归算为若干“实理”，类似欧氏几何学的“定义”；而把其所设计的为保证“实理”得到遵守的社会生活准则，叫作“公法”，与之作为比照的是各国现行或曾行、将行的信条，即所谓“比例”；还在各论条之下加按语说明，分别相当于欧氏几何学的“定理”、“公式”和“证明”。维新运动时期，康有为在前两稿基础上，编成《实理公法全书》，模拟欧几里得《几何原本》的思维路数，将其认定的人类必须共同遵守的公私关系的道理，分门别类，归算为若干“实理”，类似欧氏几何学的“定义”；而把其所设计的为保证“实理”得到遵守的社会生活准则，叫作“公法”，与之作为比照的是各国现行或曾行、将行的信条，即所谓“比例”；还在各论条之下加按语说明，分别相当于欧氏几何学的“定理”、“公式”和“证明”。

27. 谭嗣同也非常重视数学、几何学。他创办的第一个学会就是算学会。他说，“算法……为格致入门之始”，“格致、制造、测地、行海诸学，固无一不自测算而得”。他曾下苦功通读过《几何原本》前六卷，还试图解答其中的疑难问题，认为“算学即不深，而不可不习几何学。盖论事办事之条段在是矣”。谭嗣同也非常重视数学、几何学。他创办的第一个学会就是算学会。他说，“算法……为格致入门之始”，“格致、制造、测地、行海诸学，固无一不自测算而得”。他曾下苦功通读过《几何原本》前六卷，还试图解答其中的疑难问题，认为“算学即不深，而不可不习几何学。盖论事办事之条段在是矣”。 和康有为一样，谭嗣同也以数学逻辑来建立其哲学体系。《仁学》中的《界说》即模仿《几何原本》书前的“界说”（定义）制定。例如，界说第十四条“不生与不灭平等，则生与灭平等，生灭与不生不灭亦平等”，即是以《几何原本》”公论”来推演的（---推演错了！）。

28. 第三讲 中国古代数学的东方特色 数学主题：《九章算术》， 刘徽的数学思想：“割圆术”，“无理根数”，“牟合方盖”（球体求积）--无穷观念与极限方法 “开之不尽，为不可开，当以面命之”（《九章》） 刘徽：不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者，其一退以十为母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，虽朱幂虽有所弃之数不足言也。 文化切入点：中国传统数学的社会性

29. 昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？ 商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。 周公曰：大哉言数。 …… ---《周髀算经》 周公问数

30. 既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五

32. 伏羲执矩，女娲执规 东汉画像石（山东武梁祠）

33. 周公曰：大哉言数。请问用矩之道。 商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天。天圆地方，方数为典。以方出圆，笠以写天。天青黑，地黄赤。天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。是故知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。 周公曰：善哉。

34. 《唐阙史》：杨损择吏的故事 青州杨尚书损，观风陕郊日，政令颇肃，郡人戎校缺，必采于舆论而升陟之， 缕及细胥贱卒，率用斯道，以是莅政累载，无积薪叹燥请托之源。一日，使院有专兵籍者阙，局司颇重，选置惟难。有吏两人，众推合授，较其岁月职次，功绩 违犯，无少差异者，従事掾不能决，请裁于长，长或臆断，谁曰无私。杨公俯首久之，曰：“余得之矣。”乃谓曰：“为吏之最，孰先于书算耶！姑听吾言：有夕道于丛林间者，聆群跖评窃贿之数，且曰：‘人六匹则长五匹，人七匹则短八匹。’ 不知几人复几匹？”顾主砚小吏著于纸，令俯阶筹之，且曰：“先达者胜。”少顷，一吏果以状先，遂授良阙，侪类则眙伏而退。

35. 第五讲新数学、新世界、新观念 数学主题： 微积分的创立 牛顿与《自然哲学的数学原理》 文化切入点： 自然的数学化 机械论自然观 牛顿学说及其对哲学、宗教和文学的影响

36. 自然的数学化 • 哥白尼的日心说比托勒密地心说更优越，在于它有着数学上的简洁性。 • 伽利略：自然这部书“是用数学语言写成的，字母是三角形、圆以及其它几何图形，没有这些，人类连一个字也读不懂。” • 牛顿的解释“自然不做徒劳的事，解释多了白费口舌，言简意赅才见真谛。因为自然喜欢简单性，不会响应于多于原因的侈谈。” • 笛卡尔的伟大设想：“一切问题化为数学问题，一切数学问题化为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问题。”

37. 机械论自然观的确立 以牛顿运动三定律和万有引力定律为基础，机械论自然观描绘了这样一幅世界蓝图： （1）整个宇宙是由不可再分的物质微粒即原子构成； （2）物质的性质由原子的数量组合和空间结构决定； （3）原子的质量守恒、惯性、广延性、不可入性等等，是一切物质的共同属性； （4）物质之间存在相互作用的万有引力； （5）一切物质运动都是绝对、均匀的空间和时间的位移，遵循机械运动规律，保持严格的因果关系； （6）物质运动的根本原因在于外力推动。

38. 机械论自然观的特征 （1）人与自然的分离； （2）自然界的数学设计； （3）物理世界的还原论说明； （4）自然界与机器的类比。

39. 数学-万理之源 • “我献出这一作品，作为哲学（-即科学）的数学原理，因为哲学的全部困难似乎在于从运动现象研究自然界的力，然后从这些力去阐明其他现象。……我希望，自然界的其他现象，亦可以用同样的方法，由数学原理推导出来。许多理由使我产生了一种想法：这些现象都与某种力有关，物体之质点，以某种尚未为人所知的原因，通过这种力或互相吸引，或按一定规则形式聚合，或者互相吸引，或者互相排斥。” --牛顿《自然哲学的数学原理·序言》

40. 经典力学：牛顿的世界 • 声学定律：声速测定 • 弹性定律：胡克 • 大气压强定律：伽利略、托里折利 • 血液循环：哈维 • 能量转换定律：化学、热学、力学 • 意义：所有自然现象都可以从运动定律和引力定律中推导出来！

41. “万有引力”如何成为法国夫人们的“爱情定律”？“万有引力”如何成为法国夫人们的“爱情定律”？

42. 第六讲分析算术化 数学主题： 极限、函数、导数、积分概念的严密化 实数理论的完善 文化切入点： 贝克莱论战 数学与人的本性 《人类理智论》（洛克，1690） 《人类知识原理》（贝克莱，1710） 《人类理解研究》（休谟，1748） 《道德与立法原理引论》（边沁，1789） 《人性分析》（穆勒）

43. 上帝和大自然将总的框架定下，宣称自然和社会犹如一个整体上帝和大自然将总的框架定下，宣称自然和社会犹如一个整体 “该体系的每个构成要素，都是从以数学的方式建立的各种定理出发，并能够还原到这些定理的。” “用定理或共同的高级概念将各命题结合起来，通过一种完整而无阙漏的演绎，就可达到几乎近于欧几里得几何学的逻辑性体系。”

44. 第七讲 非欧几何：奇妙的新世界 数学主题： 第五公设 非欧几何 几何基础 文化切入点： 物理空间与数学空间 相对论的数学基础 如何理解“外星人的世界”

45. 有界而无穷 • 图中所有三角形的面积在非欧度量下都是相等的！ • Coxster 加拿大几何学家

46. 心有灵犀一点通 • 天使与魔鬼 • 荷兰版画艺术大师M.C.埃舍尔的作品之一

47. 圆极限III —一连串的鱼像火箭发射一样从边缘处以直角向中心窜出，对于欧氏几何来说，这些鱼大小不同，而对于非欧度量来说，它们是“全等”的！

48. 埃舍尔 Escher 瀑布 鱼与鸟

49. 非欧几何就在我们脚下！ 直线:球面大圆 -任二直线都相交! 球面三角形的基本定理 --三角形内角和大于1800

50. 如何理解“外星人的世界” • 只有在欧氏空间中，战神的激光枪发出的光才是平直的！