6.4 系统的稳定性

1. 6.4 系统的稳定性 • 按照研究问题的不同类型和不同角度，系统稳定性的定义有不同的形式。常用的稳定性的概念有两种。 • 稳定性的第一个概念与加入一般输入信号时的系统性能有关。如果输入有界时（Bounded input）只能产生有界输出（Bounded output）的系统，称为稳定系统，这一稳定性准则称为BIBO稳定性准则。它适用于一般系统，可以是线性也可以是非线性系统，可以是非时变也可以是时变系统。(也称外部稳定) 第六章第3讲

2. 6.4 系统的稳定性 • 稳定性的第二个概念与短时间内出现小的干扰时的系统性能有关。 • 当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引起的系统输出始终保持有界，并且最后趋于原状态，则系统就是稳定的； • 如果系统输出变为无界，则系统是不稳定的； • 如果系统输出保持有界，但是并不趋附于原来的状态，则称系统为临界稳定。例如，临界稳定系统可以表现为持续振荡或者恒定输出。（也称内部稳定）。 第六章第3讲

3. 如果输入有界，则 替换变量x = t-，可得 那么，如果有 BIBO稳定性 • BIBO稳定性称为有界输入－有界输出稳定性 则输出有界，也就是说，上式是稳定性的充分条件。 第六章第3讲

4. 如果 无界，则至少有一个有界的f(t)产生无界的y(t) 因为 输出将无界 同时也是BIBO稳定性的必要条件 BIBO稳定性 • 证明必要条件， 第六章第3讲

5. BIBO稳定性(时域) • 在时域中，线性非时变因果系统的BIBO稳定含有以下条件. • 要求在微分方程中，输入信号的最高阶导数不超过输出信号的最高阶导数；如果超过的话，冲激响应中将含有的导数，就不绝对可积。 • 特征方程的根有负实部。为了符合绝对可积条件，在t无限趋大时，冲激响应趋于零，即 第六章第3讲

6. BIBO稳定性(S域) • 在s域中，要求系统函数H(s)中，分子多项式的阶数M不能超过分母多项式的阶数N。其极点位于S左半平面（除去虚轴） • 位于右半平面的极点将使指数增长，对任一有界的或其他输入会产生无界的响应。 • 虚轴上的多重极点会使系统响应发散. • 虚轴上的单极点，如果系统的输入信号也有相同的形式，会使系统响应发散。从BIBO稳定性划分来看，由于未规定临界稳定类型，因而属于不稳定的范围。 第六章第3讲

7. 例6.16 • 试用BIBO准则判别下列因果系统是否稳定？为什么？ 由于有右半平面的极点，所以系统不稳定。 由于在虚轴上有单极点，所以系统是不稳定。 系统函数分子分母的阶数相同，极点都在左半平面。所以系统是稳定的。 因为分子的阶数大于分母的阶数，冲激响应中必含有其导数项，所以系统不稳定。 第六章第3讲

8. 其他稳定性 • 系统函数的极点与冲激响应的关系确定稳定性 • 在时域，对于因果系统， • 在时间t趋于无限大时，是趋于零，系统是稳定的； • 若时间t 趋于无限大时，是趋于有限值，则系统是临界稳定的； • 若时间t 趋于无限大时，是增长的，则系统是不稳定的。 • 在s域， • 系统函数的极点位于s左半平面，系统是稳定的。 • 极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。 • 极点在s右半平面或在虚轴上有重极点，系统不稳定。 第六章第3讲

9. 其他稳定性 • 用零输入响应确定稳定性 • 对于所有的初始条件，当t时，系统的零输入响应yzi(t)0，则系统为渐近稳定系统。也就是说，当时间趋于无穷大时，系统中的任何初始储能产生的响应都会逐渐消失。 • M是一个有界的正常数,则称系统为临界稳定。 • 如果t时， yzi(t)无限增长。则系统是不稳定的。 第六章第3讲

10. 稳定性与罗斯阵列 • 罗斯判据 • 不需要知道特征根，通过特征方程的系数就可判断系统的稳定性。 • 设线性系统的特征方程为： 则系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的罗斯阵的第一列系数也为正值。 第六章第3讲

11. 罗斯判据 返回 罗斯阵的形式为： 第六章第3讲

12. s3a3a1 s2a2 a0 s10 s0a0 例 6.17 罗斯判据 三阶系统的特征方程为： 罗斯阵为 系统稳定的充分必要条件为 第六章第3讲

13. 根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况： • 罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也有不全为正数的情况： • 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一列系数符号改变的次数。 • 例：线性系统的特征方程为： 罗斯阵为 改变一次符号 改变一次符号 可见系统不稳定，改变符号次数为2，表明有两个正实部的根。 第六章第3讲

14. 根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况： • 罗斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不为零的情况。 • 可用有限小的正数代替零计算。 • 例：线性系统的特征方程为： 罗斯阵为 改变一次符号 改变一次符号 故有两个根在右半平面。实际上 第六章第3讲

15. 根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况： • 罗斯阵某一行全为零的情况。表明特征方程有一些大小相等，方向相反的根。 例：线性系统的特征方程为： 罗斯阵为 构成辅助多项式： 其导数为： 第六章第3讲 返回

16. 即 ，所以，系统有四个根， 罗斯阵某一行全为零的情况 返回 罗斯阵变为 系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为 第六章第3讲

17. s31 4 s22K s10 s0K 例 6.21 罗斯判据 设连续系统的系统函数为 ，其中D(s)=s3+2s2+4s+K 则系统稳定时K的取值范围为_________。 0<K<8 罗斯阵为 可见，系统稳定时K的取值范围为：0<K<8 第六章第3讲

18.  例 6.22 已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定Ｋ的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在j轴上的极点的值。 解：先求系统函数，设变量X 令 代入表达式，故有 第六章第3讲

19. s41 8 K s3 5 6 0 s2K s10 s0K 例 6.22 已知如图所示系统，欲使系统稳定，试确定Ｋ的取值范围；若系统属临界稳定，试确定它们在j轴上的极点的值。 D(s)=s4+5s3+8s2+6s+K, 罗斯阵为 系统稳定时K的取值范围为： 见罗斯判据 要使系统属临界稳定时罗斯阵的某一行为0，即 K=204/25。 辅助多项式： 其导数为： 从罗斯阵可知：系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为 见罗斯判据 第六章第3讲

20. 例 6.23 如图所示电路，试求： (1) 系统函数 解：用节点法列方程： (2)K为何值时，系统稳定？ 欲使系统稳定，必有 5－2K＞0 即 K＜2.5 第六章第3讲

21. 例 6.23 (3)取K＝0.5，uS(t)= sint (t)，求零状态响应u0(t)。 解： K＝0.5 时： 用比较系数法得： 解得： 故有 第六章第3讲

22. 课堂练习题 • 系统特征方程如下，试判断该系统是否稳定。并确定具有正实部的特征根及负实部的特征根的个数。 (1) 在S右半平面有两个根 (2) 在S右半平面无根，有共轭虚根 • 系统特征方程如下，求系统稳定的K值范围。 (1) (2) 第六章第3讲