QUIMICA CUANTICA

1. a b extremo a sentido u orientación origen QUIMICA CUANTICA |a| = a = longitud módulo VECTORES Vectores en R2: Un vector en R2 es un segmento orientado del plano. Vectores equivalentes

2. a+b a a-b b ka a -a QUIMICA CUANTICA VECTORES OPERACIONES PRODUCTO POR ESCALAR k SUMA (RESTA)

3. y a2 a j i a1 x QUIMICA CUANTICA VECTORES SISTEMA DE COORDENADAS a = ( a1 , a2 ) Notación columna o fila: Vectores base:

4. b θ a QUIMICA CUANTICA VECTORES OPERACIONES Producto por un escalar k: Suma (Resta): Producto escalar: Con vectores columna:

5. QUIMICA CUANTICA VECTORES OPERACIONES 4) Longitud: En columnas: 5) cos (θ): Reemplazando el módulo en producto escalar

6. y y’ a2 y a’1 x’ a a’2 j y’ x’ θ i’ j’ a1 i x j θ i’ j’ i x QUIMICA CUANTICA VECTORES CAMBIO DE SISTEMA DE COORDENADAS S (XY)  S’ (X’Y’) i’=(cos θ, sen θ) j’=(-sen θ, cos θ) Para un vector cualquiera: Matricialmente:

7. QUIMICA CUANTICA MATRICES Arreglo rectangular de números, ordenados en filas y columnas indicadas por los subíndices: i, j. Por ejemplo las matrices C, D y X: 2x2 2x3 2x1 Vectores en forma matricial: A’ = Q A

8. QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES Producto por un escalar: Suma (Resta) de matrices: Matriz Cero

9. QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 3) Producto de matrices: A . B = C Restricción: A . B = C MxN NxL MxL CONMUTADOR:

10. QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 3) Producto de matrices: vectores Vimos producto escalar Con matrices: Matriz columna y matriz fila El producto escalar:

11. QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 4) Matriz Transpuesta: Matriz transpuesta de la matriz A es la matriz Ā que se obtiene intercambiando filas por columnas. MATRICES CUADRADAS 5) Matriz Simétrica: La matriz A={aij} es simétrica si se cumple para todo elemento que aij = aji. En consecuencia, toda matriz simétrica coincide con su transpuesta.

12. QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 6) Matriz Diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal son iguales a cero. Para todo i ≠ j  dij= 0 7) Matriz Unidad: 8) Matriz Inversa: La matriz A-1 es la inversa de A si se cumple:

13. QUIMICA CUANTICA MATRICES 6) Matriz Ortogonal: Sus columnas son vectores mutuamente ortogonales. Verificar para Cumplen: 

14. QUIMICA CUANTICA MATRICES FUNCION VECTORIAL LINEAL Produce la transformación lineal de un vector x en otro y en el mismo sistema de coordenadas. Es lineal: y y1 y x2 x j y1 i x1 x

15. QUIMICA CUANTICA VECTORES EN R3 Se agrega el producto vectorial: VECTORES Y MATRICES EN Rn Se cumplen las operaciones anteriores.

16. y1 y x2 x y1 x1 QUIMICA CUANTICA MATRICES CUADRADAS: 2 USOS Función Vectorial Lineal: Transforma X en Y dentro del mismo Sistema de coordenadas. Corresponde también a: Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Vale para sistemas de NxN.

17. QUIMICA CUANTICA Ejemplo: Dado un sistema de N ecuaciones con N incógnitas Se resuelve invirtiendo la matriz A de los coeficientes de las incógnitas:

18. x2 x’1 S’ x x’2 θ x1 S QUIMICA CUANTICA MATRICES CUADRADAS: 2 USOS 2) Transformación ortogonal: Q permite determinar las coordenadas X’ de un vector en un nuevo sistema S’ a partir de las coordenadas X del mismo vector en un sistema viejo S.

19. Y Y’ y A y A’ X’ X S’ x x S QUIMICA CUANTICA TENSORES TRANSFORMACION DE SIMILITUD Se consideran los dos casos simultáneamente (1 y 2): Sea funa función vectorial lineal representada por A en el sistema S y por A’ en el sistema S’. Conocidas: Luego: fes un tensor representado por una matriz cuadrada en cada sistema.

20. QUIMICA CUANTICA VECTORES, MATRICES, TENSORES DIAGONALIZACIÓN Sea fun tensor representado por A (simétrica) en el sistema S, entonces habrá una transformación Q que lleve a un sistema S’ en el cual el tensor está representado por una matriz diagonal D: Luego: donde: Entonces es posible separar: Cada ecuación es el Problema de Autovalores y Autovectores.

21. QUIMICA CUANTICA VECTORES, MATRICES, TENSORES DIAGONALIZACIÓN Problema de Autovalores y Autovectores. Dada A simétrica, encontrar los valores de q y de d que satisfacen las N ecuaciones. Ejemplo: Reordenando: Sistema homogéneo. Determinante Secular: Se obtiene: MatLab: [Q, D] = EIG(A)

22. Eje imaginario y b z Eje real a x -b z* QUIMICA CUANTICA NUMEROS COMPLEJOS a y b números reales. “i” es la unidad imaginaria: Conjugación: si  Dados : Operaciones con conjugados:

23. QUIMICA CUANTICA MATRICES COMPLEJAS Sus elementos son números complejos. La mismas operaciones excepto con conjugados. MATRIZ ADJUNTA de A: Transpuesta de A: MATRIZ HERMITICA: Simétrica: MATRIZ UNITARIA: Ortogonal:

24. y a2 a i2 i1 a1 x QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) ANALOGIA CON VECTORES El conjunto base cumple Cualquier otro vector a Que es una Combinación Lineal de los vectores base. También: en general:

25. y c2  2 c1 1 x QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) FUNCIONES Sea el conjunto base que cumple En la notación de Dirac: Cualquier otra función  se puede expresar como Combinación Lineal de las funciones base: En general:

26. QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) ANALOGIA DE VECTORES Y FUNCIONES

27. QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) PRODUCTO ESCALAR DE FUNCIONES Dadas las funciones