M. en C. Arturo Lezama León Maestría en Ciencias, en Ciencias de la Computación.

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PACHUCAMAESTRÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIONESMatemáticas Discretas M. en C. Arturo Lezama León Maestría en Ciencias, en Ciencias de la Computación. Septiembre – Diciembre 2009

2. Objetivo • Al finalizar el curso el alumno deberá aprender un conjunto particular de realidades matemáticas, como aplicarlas y a pensar desde el punto de vista matemático para resolver problemas construyendo sus propios modelos.

3. Contenido • Unidad I. Lógica Matemática (3 semanas) • Unidad II. Conjuntos (2 semanas) • Unidad III. Relaciones y Funciones (3 semanas) • Unidad IV. Algebra Booleana (3 semanas) • Unidad V. Introducción a los Grafos y Árboles (3 semanas)

4. Unidad III. Relaciones y Funciones • III.1. Relaciones • III. 2. Dominio y Contradominio • III.3. Pares ordenados • III. 4. Representación de las relaciones • III.5. Propiedades de las relaciones • III.6. Funciones y funciones diversas • III.7. Permutaciones

5. Objetivo U.III. • Al termino de la unidad que el alumno conocerá el uso de las relación y funciones mediante el entendimiento de las propiedades para emplearlas adecuadamente en la práctica.

6. III.1. Relaciones • La idea de una relación entre dos conjuntos de objetos es común y bastante intuitiva. • Ejemplos: • Si consideramos el conjunto A de todos los hombres vivos y el conjunto B de todas las mujeres vivas, entonces la relación P(padre) puede definirse de A en B. Así tenemos que si x A e y  B, entonces x esta relacionado con y por la relación P si x es el padre de y. Se escribe x P y. • También podría considerarse la relación H haciendo que x H y significando que x es hijo de y.

7. Si A es el conjunto de los números reales, hay muchas relaciones que se usan de A en A, habitualmente. Ejemplo: es la relación de menor que (<) donde se establece que x esta relacionado con y si x < y. • En general son ejemplos las relaciones de orden: <, >, , ≥, K • Sea A={1,2,3,4} y R una relación de A en A. Si se sabe que: 1 R 2, 1 R 3, 1 R 4, 2 R 3, 2 R 4, 3 R 4. Entonces se sabe todo lo que se necesita sobre R. Y no es más que la relación “menor que”.

8. Se puede decir que se conoce completamente R si se conocen todos los pares relacionados por R. Se pueden escribir: R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} {( x, y)|x  A, y  B x R y} Nota. Se puede observar que una relación entre conjuntos A y B puede ser considerada como un subconjunto de A x B y a su vez cualquier subconjunto de A x B puede ser considerado una relación. R={(1,2),(4,3),(2,2)}

9. Definición • Sean A y B conjuntos no vacios. • Una relación R de A en B es un subconjunto de A x B. • Si R  A x B y ( a, b) R, se dice que a está relacionado con b por R y se escribirá: a R b

10. III.2. Dominio y Contradominio • Dominio: El dominio de R es el conjunto formado por aquellos elementos de A que están relacionados con algún elemento de B. Se denota Dom(R) • Imagen, rango, contradominio ó codominio: Es el conjunto de elementos de B que está relacionado con algún elemento de A. • También llamado Imagen. Se denota Cod(R)

11. Ejemplos: • Sean A={1,2,3} y B={ r, s} entonces R={(1,r),(2,r),(3,r)} es una relación entre A y B donde Dom(R)=A y Cod(R)=B • Sea A={1,2,3,4,5}=B se define la siguiente relación (menor que) en A: a R b si y solo si a < b ( a, b A) R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)} por lo tanto Dom(R)={1,2,3,4} y Cod(R)={2,3,4,5} • Sea A=B=Z+, el conjunto de los números enteros positivos. Se define la siguiente relación R en Z+. a R b si y solo si a divide a b. Así por ejemplo 2 R 30 pero 30 R 2. Se tiene que Dom(R) =Cod(R)=Z+ ya que cada número se divide y es divisible por si mismo.

12. Sean A=B=R, el conjunto de todos los números. Se define la siguiente relación R en A. x R y si y solo si x e y satisfacen la ecuación Dom(R)=[-2,2] Cod(R )=[-3,3] Cod Dom

13. III. 3. Pares ordenados • Pareja ordenada (a, b) es un listado de objetos a y b en un orden prescrito, donde a aparece en primer término y b, en segundo. En consecuencia, un par ordenado (o pareja ordenada) simplemente es una secuencia de longitud 2.

14. Matriz de una relación • Si A y B son conjuntos finitos, con m y n elementos respectivamente, y si R es una relación de A en B es posible representar a R con una matriz de MR=[m i j] que se denomina Matriz de R donde m i j = 1 si (a i, b j)  R 0 si (a i, b j)  R A fila a i denota una fila i B columna b j denota una columna j

15. Ejemplos • Si A={1,2,3}, B={r,s} y R={(1,r),(2,s),(3,r)} entonces La matriz de R es: • Recíprocamente, dados los conjuntos A y B con |A| = m y |B|=n, entonces una matriz de m x n cuyos elementos sean ceros y unos determina una relación. Se puede denotar como: A={a1,a2,a3} y B={b1,b2,b3,b4} y (a i , b j)  R si y solo si m i j = 1. Por tanto la relación queda como sigue: R={(a1,b1),(a4,b4),(a1,b4),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b3)}

16. III.4. Representaciones de las relaciones • Si A es un conjunto finito y R es una relación sobre A, también se puede representar R gráficamente como sigue. Trace un pequeño circulo para cada elemento de A y marque el círculo con el elemento correspondiente de A. A estos círculos se los llama vértices. Trace una flecha, a la que se llama lado (arco), del vértice a i al vértice a j si y solamente si a i R a j, • La representación gráfica resultante de R se llama gráfica dirigida o dígrafo de R. • En consecuencia, si R es una relación sobre A, los lados o arcos del dígrafo de R corresponden exactamente a los pares de R, y los vértices corresponden exactamente a los elementos del conjunto A.

17. Ejemplo • Sean A={1,2,3,4} • R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} • Entonces el dígrafo de R es 2 1 3 4

18. Ejercicio: • Encuentre la relación determinada por: 2 1 3 4

19. Ejercicios • 1) Obtener el dominio, codominio y la Matriz de cada una de las siguientes relaciones: • A={4,5,6,7}, B={r, s, t, u, v}; R={(4,u),(4,r),(5,r),(7,u),(5,v)} • A={1,2,3,4}, B={1,4,6,8,9}; a R b si y solo si b=a2 • A={1,2,3,4,5,8}=B; a R b si y solo si b=a+1 • A={1,2,3,4,5,8}=B; a R b si y solo si a es múltiplo de b

20. Ejercicios • 2) Encuentre la relación R en A determinada por la matriz, su dominio y codominio a) b)

21. III.5. Propiedades de las relaciones • Propiedad reflexiva • Propiedad Irreflexiva • Propiedad simétrica • Propiedad asimétrica • Propiedad anti simétrica • Relaciones transitivas • Relaciones de equivalencia • Relaciones de equivalencia y particiones • Operaciones con las relaciones

22. Propiedad reflexiva • Una relación R en un conjunto A es Reflexiva si ( a, a) R para toda a A, es decir a R a,  a  A Propiedad Irreflexiva • Una relación R en un conjunto A es Irreflexiva si ( a, a) R para toda a A, es decir a R a,  a  A Ejemplos • Sea la relación I={( a, a)|a  A} de modo que representa la igualdad en el conjunto A. Por tanto, I es Reflexiva ya que (a, a) I para toda a A • Sea R={( a, b)A x A | a Kb} la relación de desigualdad en el conjunto A. R es Irreflexiva debido a que (a, a)  R para toda a  A.

23. Sea A={1,2,3} y R={(1,1),(1,2)} Esta relación no es reflexiva ya que (2,2)  R y (3,3)  R Tampoco es Irreflexiva ya que (1,1)  R

24. Ejercicios • Obtener la matriz asociada a la relación reflexiva de igualdad sobre el conjunto A={1,2,3,4} Nota.- La matriz de una relación Reflexiva deberá tener “unos” en toda su diagonal. • Obtener la matriz asociada a la relación Irreflexiva de desigualdad sobre el conjunto A={1,2,3,4} Nota.- La matriz de una relación Irreflexiva deberá tener ceros en toda su diagonal.

25. Propiedad simétrica • Una relación R en un conjunto A es simétrica si se cumple que cuando a R b entonces también b R a • Si a R b  b R a Ejemplo • Sea A el conjunto de las personas y la relación • P={(x, x)A x A| x es primo de y} • Como se puede verificar P es una relación simétrica puesto que si “x es primo de y” entonces también y es primo de x” • Una operación no simétrica padre en hijo, hijo K padre

26. Propiedad asimétrica • Una relación R en un conjunto A es Asimétrica si cumple que cuando a R b entonces b R a si a R b  b R a Ejemplo: • Sea A ={1,2,3,4} y la relación R={( x, y) A x A | x>y} • R={(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)} • Como se observa esta relación es asimétrica puesto que si x R y (x > y) entonces x R y (y > x)

27. Propiedad anti simétrica • Una relación R en un conjunto A es anti simétrica si cumple que cuando a R b y b R a, entonces a=b Si a R b y b R a  b=a La contrapositiva es que Si b Ka  a R b o b R a Ejemplo • Sea A=Z, el conjunto de los enteros y R={(x,y)AxA|x<y} como se puede comprobar R es Anti simétrica puesto que si x Ky y se cumple que x<y entonces y < x o en otro caso si y < x entonces x < y.

28. Ejercicios • Qué propiedades cumplen las siguientes relaciones: • A={1,2,3,4} y R={(1,2),(2,2),(3,4),(4,1)} • A=Z+, conjunto de enteros positiva y R={(a,b)AxA|a divide b}

29. Relaciones transitivas • Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si siempre que se tiene a R b y b R c, entonces a R c. Con frecuencia es conveniente explicar lo que significa para una relación ser no transitiva. Una relación R en A es no transitiva si existen a, b y c en A de manera que a R b y b R c, pero a R c. Si no existen tales a, b y c, entonces R es transitiva.

30. Relaciones de equivalencia • Una relación R en un conjunto A se llama relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. • Ejemplo: • Sea A el conjunto de todos los triángulos del plano y sea R la relación sobre A definida como sigue: R={(a, b)A x A | a es congruente con b} Es fácil ver que R es una relación de equivalencia. • Sea A={1,2,3,4} y sea R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)} • Sea A=Z, el conjunto de enteros, y supóngase que se define R por a R b si y solo sí a  b. ¿Es R una relación de equivalencia? Puesto que a a, R es reflexiva. Si a b, no necesariamente se sigue que b a, por lo cual R no es simétrica. Incidentalmente R es transitiva, porque a b y b c implica que a c. Se ve que R no es una relación de equivalencia.

31. Recomendaciones • Se apoyará en artículos relacionados con las unidades de estudio, los cuales serán proporcionados por el Maestro. • Los motores de búsqueda recomendados son: • Citeseer • EbsHost • IEEE

32. Referencias • Matemáticas Discretas. 4ª. Ed. Johnsonbaugh. Prentice Hall • Matemáticas Discretas. Kenneth A. Ross. Charles R. B. Wright. Prentice-Hall . Hispanoamerica. • Introducción a la teoría de automatas, lenguajes y computación. John E. Hopcroft; Jeffrey D. Ullman. Ed. CECSA • Fundamentos de lógica computacional. Juan Fausto Solís; Gildardo Sánchez Ante. Ed. Trillas • Languages and machines. Thomas A. Sudkamp. Wright StateUniversity. Ed. AdissonWesley. • Álgebra moderna. Grupos-anillos-campos-teoría. I. N. Herstein. Trillas • Conjuntos. Schaums, • Discretemathematicalstructureswithapplicationstocomputerscience. Tremblay and Manohar. Mc Graw Hill • Estructuras de matemáticas discretas para la computación. Bernard Kolman, Robert C. Busby. Prentice Hall Hispanoamérica • Introducción a la lógica simbólica. Jose Antonio Amaz. Trillas