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一维拓扑学－图论

一维拓扑学－图论. 图的定义. 有限个顶点和联结这些顶点的边组成的图形，称为图（或网络）。 一个顶点可以有几个边与之相联，但一个边只连结两个顶点。 一些例子：. 如何区分不同胚的图. 连通分支数， 边界点的个数， 顶点的个数 , 边的个数 , 顶点个数与边的个数之差. 是 是 否 否 是. 计算机网络的拓扑类型. 总线型 星型 环型. 它们同胚吗 ?. 关于图的几个问题：. （ 1 ）一个图能否用一笔画出（顶点可重复、边不可重复）？ （ 2 ）一个图能否嵌入空间（无自交点）？ （ 3 ）一个图能否嵌入平面（无自交点）？. 一笔画问题.

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一维拓扑学－图论

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  1. 一维拓扑学－图论

  2. 图的定义 • 有限个顶点和联结这些顶点的边组成的图形，称为图（或网络）。 • 一个顶点可以有几个边与之相联，但一个边只连结两个顶点。 • 一些例子：

  3. 如何区分不同胚的图 • 连通分支数， • 边界点的个数， • 顶点的个数, • 边的个数, • 顶点个数与边的个数之差. 是 是 否 否 是

  4. 计算机网络的拓扑类型 • 总线型 • 星型 • 环型 它们同胚吗?

  5. 关于图的几个问题： （1）一个图能否用一笔画出（顶点可重复、边不可重复）？ （2）一个图能否嵌入空间（无自交点）？ （3）一个图能否嵌入平面（无自交点）？

  6. 一笔画问题 • 它描述的图的一个性质，也是一个拓扑不变量。 • 如何求这个不变量？

  7. 有关图的几个量 • 度：对于一个顶点，以其为端点的边的个数 • 对于一个图G，记度数为1，2，3，…的顶点的个数分别为a1(G)，a2(G)，a3(G)，… • 显然a1(G)是图G的边界分支数(端点数)。

  8. 度数与同胚 • 定理：如果f: X Y是同胚，那么对于其中的任意顶点x，它的度数与f(x)的度数相同。 • 由此定理一个自然的推论是: aj(G),j=1,3,4,5,...是拓扑不变量。 • 但: 注意a2(G)不是拓扑不变量。

  9. 一个公式 • a1(G)+2a2(G)+3a3(G)+... 是边的个数的2倍。 • 推论：有奇数度的顶点数和  a1(G)+a3(G)+a5(G)+...  是偶数。

  10. 一笔画的条件 • 定理：连通图G能一笔画出当且仅当 a1(G)+a3(G)+a5(G)+...是0或2 • 不是一笔画的例子

  11. 七桥问题

  12. 邮差问题 • 邮差如何有效地（尽量少重复）到各处送信 • 這一類的問題最先是由華裔數學家管梅谷所提出，因此被稱為“中國郵差問題”。 

  13. 一个例子 A1 • 三个住户到三口井中取水，线路不相交 A1 A3 要求： (1)Aj到Bj (2)A到所有的B A2 B3 B1 B2

  14. 直观的答案 • (1)能做到 • (2)做不到

  15. 相交数 • 两个图G与G‘正则相交，其交点是：仅二重点、孤立的，不是任何一个图的端点。 • 交点的个数，称为相交数。 相交数 1 相交数 2

  16. 相交数和定理 • 定理：无公共顶点的两个圈，交点数是一个偶数。

  17. 定理的应用 • 推论：不相邻道路的交点奇偶性不变

  18. 答案 • 三个住户到三口井中取水，不相邻道路相交数之和是奇数(下图中为9)，从而必有交点

  19. 可平面化问题 • 如何判定一个图能否嵌入平面（成为平面的子集） • 应用：印刷电路，手性 • 例子

  20. Kuratowski定理 • 一个图不可嵌入平面当且仅当它含有

  21. 更早的定理 • 任何一个图都有可以嵌入三维欧氏空间: • 证明大意: 安排好顶点

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