第八章 应力状态和强度理论

1. FQ 第八章 应力状态和强度理论 • §8−1 概 述 横截面上不同点的应力各不相同。

2. 单向应力状态 同一点不同方向面上的应力各不相同。

3. y y σy σy τyx τyz τy τxy τx τzy σx x σx σx τzx τxz x τx σz τy σy z 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体—单元体来研究。 平面应力状态 空间应力状态

4. σ2 σ2 σ σ σ1 σ1 σ3 三向应力状态 双向应力状态 单向应力状态 复杂应力状态 简单应力状态 任何应力状态，总能找到三对互相垂直的面，在这些面上只有正应力，而切应力等于零，这样的面称为应力主平面(简称主平面)，主平面上的正应力称为主应力。

5. 简单应力状态下材料的强度条件： 单轴拉压状态 纯剪切应力状态 工作应力； 许用应力，通过直接试验的方法确定。 复杂应力状态下材料的强度条件： 不可能总是通过直接试验的方法来确定材料的极限应力。通过应力状态分析来探求材料破坏的规律，确定引起材料破坏的决定因素，从而建立相应的强度条件，即强度理论。

6. §8−2 平面应力状态的应力分析—解析法 一、斜截面应力 图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求垂直于平面xy的任意斜截面ef上的应力。

7. 图(b)中所示任意斜截面ef的外法线n与x轴的夹角（方位角）为a ，故截面ef简称a截面。其中a角规定自x轴逆时针转至外法线n为正。 斜截面上的正应力sa以拉应力为正，切应力ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正(图(c))。

8. 由图(c)知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf的面积为dA·sina。图(d)示出了作用于体元ebf诸面上的力。由图(c)知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf的面积为dA·sina。图(d)示出了作用于体元ebf诸面上的力。 体元的平衡方程为：

9. (8-1) (8-2) (8-3) (8-4) 根据切应力互等定理有： 将其代入平衡方程可得： 利用三角关系整理后可得到a 斜截面上应力sa、ta的计算公式为：

10. y 20 y n σ30° 30° x 30° x 30 30 30° τ30° 30° 单位：MPa 30 10 20 (b) (a) 例题8−1图a为一平面应力状态单元体，试求与x轴成30°角的斜截面上的应力。 解：由图可知： 则由公式(13−3)及(13−4)可直接得到该斜截面上的应力：

11. 二、主应力和主平面 根据式(8−3)和(8−4)可以确定应力的极值及其作用面的方位。将式(8—3)对取导数： （a） 令此导数等于零，可求得α达到极值时的值，以0表示此值，即 （b） (8−5)

12. 由式(8−5)可求出0相差90º的两个根，亦即有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以max表示，另一个面上的是极小值，以min表示。由式(8−5)可求出0相差90º的两个根，亦即有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以max表示，另一个面上的是极小值，以min表示。 利用三角关系： （c） 将式(8−5)代入以上两式，再回代到式(8−3)经整理后即可得到求max和min的公式如下： (8−6)

13. (1) 若 x＞ y ，则有 |0max|＜45° (2) 若 x＜ y ，则有 |0max|＞45° (3) 若 x = y ，则有 (8−7) 由式(8−5)求得两个0值后，确定哪个是max作用面的方位角(以0max表示)，哪个是min作用面的方位角(以0min表示)，则可按下述规则进行判定： 求得0max后，0min可按下式计算： (8−8)

14. 这里指出一点，将式(b)与式(8−4)比较，可知：这里指出一点，将式(b)与式(8−4)比较，可知： 这表明在正应力达到极值的面上，切应力必等于零，即该截面为主平面，相应的正应力即为主应力。主应力常用1、 2、 3表示，并按1≥ 2≥ 3排序。应注意在平面应力状态下，应力为零的平面也是主平面，其主应力等于零，应将它与max和min 比较，确定出1、 2、 3。 另外，由式(8−6) 可知： (8−9) 即对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应力不变量。可利用此关系来校核计算结果。

15. 用类似的方法，可以讨论切应力的极值和它们所在的平面。将式(8—4)对取导数：用类似的方法，可以讨论切应力的极值和它们所在的平面。将式(8—4)对取导数： 令此导数等于零，可求得达到极值时的值，以表示此值，即 (8−10) 由式(8−10)解出sin2和cos2，代入式(8−4)可求得切应力的最大和最小值：

16. (8−11) 对比式(8−6)可知： (8−12) 另外，对比式(8−5)和式(8−10)可知： (8−13) 这表明20与2相差90º，即切应力极值所在平面与主平面的夹角为45º。

17. 单位：MPa 20 σ1 35.8° 30 30 σ3 例题8−2图示为某构件某一点的应力状态，试确定该点的主应力的大小及方位。 解：由图可知： 将其代入式(8−6)有：

18. 根据式（8−7）进行判断，由于 ，即主应力1与x轴的夹角为35.8º。 则主应力为： 由式（8−5）可得：

19. 200 300 200 单位：MPa 图(a) 例题8−3对图(a)所示单元体，试用解析法求：（1）主应力值； （2）主平面的方位（用单元体图表示）； （3）最大切应力值。 解：由图可知： （1）

20. 由式（8−7）进行判断，由于 ，即主应力1与x轴的夹角为28.15º（如图(b)所示）。 1 28.15º 3 图(b) （2） （3）最大切应力为：

21. §8−3 应 力 圆 一、应力圆 将式(8−3)与式(8−4)改写成如下形式： (a) (b) 将以上二式各自平方后再相加可得： (c)

22. 这是一个以正应力σ、切应力τ为坐标的圆的方程，此圆称为应力圆或莫尔(O.Mohr)这是一个以正应力σ、切应力τ为坐标的圆的方程，此圆称为应力圆或莫尔(O.Mohr) 圆。其圆心坐标为 ， 半径为 。 O C 图 13−4 圆上任意一点的纵、横坐标分别代表单元体相应截面上的切应力和正应力。

23. 图a所示单元体的应力圆可按如下方法作出：由单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，由单元体y截面上的应力sy,ty(取ty = -tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s 轴的交点C为圆心，以 或 为半径可作出应力圆(图b)。 O C (b) (a) 二、应力圆的绘制及应用

24. 利用应力圆求a 斜截面(图a)上的应力sa，ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径 按方位角a的转向转动2a角，得到半径 ，那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：

25. E点横座标

26. E点纵座标

27. τ b α a A 2α σ B C O 图 8−6 当单元体内截面A和B的夹角为a 时，应力圆上相应点a和b所夹的圆心角则为2 a，且二角之转向相同。因此，单元体上两个相互垂直的截面在应力圆上的对应点所夹圆心角为180˚，即它们必位于同一直径的两端。

28. τ 200 C′ 1 300 28º x σ 200 O D 3 62° 单位：kPa 0 100kPa C (c) (a) (b) 例题8−4试用图解法求解图示应力状态单元体的主应力。 解：首先选定坐标系的比例尺，由坐标(200,-300)和(-200,300)分别确定C和C'点(图b）。然后以CC'为直径画圆，即得相应的应力圆。从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应力的应力状态如图。

29. y σ2 σ3 d a σ1 σ1 c x σ3 b z σ2 §8−4 三向应力状态的最大应力 一、三向应力圆 表示与主应力σ3平行的斜截面上应力的点，必位于由σ1与σ2所确定的应力圆上。同理，与主应力σ2 (或σ1)平行的各截面的应力，则可由σ1与σ3(或σ2与σ3)所画应力圆确定。

30. τ y σ2 K σ3 σ1 σ2 σ B σ1 O x A C σ3 z 图 8−9 图 8−8 在σ−τ坐标平面内，表示与三个主应力均不平行的任意斜截面ABC（图8−9）上应力的点K必位于图8−8所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影区域内。

31. 二、最大应力 由应力圆可知，一点处的最大与最小正应力分别为最大与最小主应力，即 (8−17) (8−18) 而最大切应力则为： (8−19)

32. a a b d b c d c 根据应力圆点B的位置可知，最大切应力的作用面与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45˚，即右侧图中的abcd截面。

33. a f a b d e b c g d c h 根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与tmax相等的切应力，如下面图中所示。

34. y  y y y A x x x E  D C O x x B z z (b) (c) (a) 例题8−5图a所示应力状态，应力x= 80 MPa，x= 35 MPa， y= 20 MPa， z=-40 MPa，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力。

35. 解： 1. 画三向应力圆 对于图示应力状态，已知z为主应力，其它两个主应力则可由x，x与y确定(图b) 。在−坐标平面内(图c)，由坐标(80,35)与(20, -35)分别确定A和B点，然后，以AB为直径画圆并与轴相交于C和D，其横坐标分别为： 取E(-40, 0)对应于主平面z，于是，分别以ED及EC为直径画圆，即得三向应力圆。

36. 2. 主应力与最大应力 由上述分析可知，主应力为： 而最大正应力与最大切应力则分别为：

37. §8−5 空间应力状态的广义胡克定律 对于各向同性材料，它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料： (1)在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变； (2)在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。

38. σ2 σ1 σ1 σ1 σ1 (c) (b) (a) σ2 σ2 σ2 一、双向应力状态的广义胡克定律 当材料处于双向应力状态(图a)时，为计算沿两个主应力方向的应变ε1和ε2，可按叠加原理将原应力状态分解为图b和图c两种单向应力状态的叠加。

39. 当材料处于图b或图c所示单向应力状态时，沿主应力σ1或σ2方向的线应变分别为：当材料处于图b或图c所示单向应力状态时，沿主应力σ1或σ2方向的线应变分别为： (a) 式中E为拉、压弹性模量。而垂直于σ1或σ2方向的线应变分别为： (b) 式中为泊松比。因此当材料处于图a所示双向应力状态时，沿两个主应力方向的应变ε1和ε2分别为：

40. σy τy σx τx 图 13−11 (8-20) 上式即双向应力状态下的广义胡克定律。而对于图13−11所示平面应力状态，广义胡克定律表达式为 ： (8-21) 式中γxy是在xy平面内由切应力τx或τy所引起的切应变，G是切变模量。

41. 二、空间应力状态的广义胡克定律 当空间应力状态以主应力表示时，广义胡克定律为： 式中，e1，e2，e3分别为沿主应力s1，s2，s3方向的线应变。

42. 一般空间应力状态下的广义胡克定律为：

43. F FNx FNx a FNy 图(a) 例题8−6有一边长a=200mm的立方体混凝土试块，无空隙地放在刚性凹座里(图a) 。上表面受压力F＝300kN作用。已知混凝土的泊松比＝1/6。试求凹座壁上所受的压力FN。 解：混凝土块在z方向受压力F作用后，将在x、y方向发生伸长。但由于x、y方向受到座壁的阻碍，两个方向的变形为零，即 上式即为变形条件。另外，根据对称性可知，试块在x、y方向所受到的座壁反力FNx和FNy应相等，即

44. FNy FNx FNx FNy 图(b) 由三向应力的胡克定律，有： 由上式可解出： 由于试块较小，可近似认为应力分布均匀，则

45. 将有关数据代入，可得

46. σ2 σ3 σ1 σ1 σ3 σ2 三、体应变的概念 单元体受力变形时其体积的改变率称为体应变q。 设单元体变形前三个边长分别为dx、dy、dz，在受力变形后其边长分别为dx(1+e1)、dy(1+e2)、dz(1+e3)，故体应变为：

47. 将上式展开并略去高阶微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律可得：将上式展开并略去高阶微量e1e2、e2e3、e3e1、e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律可得： 在一般空间应力状态下，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于该平面内的二向等值拉压，它们引起的体应变为零，故体应变只与三个线应变之和有关，即：

48. y y x x F (b) (a) 例8—7一体积为10 mm×10 mm×10 mm的正方形钢块放人宽度也为10 mm的钢槽中如图a所示。在钢块顶部表面作用一合力F＝8kN的均布压力，试求钢块的三个主应力及体应变。已知材料的泊松比ν＝0.33，材料的弹性模量E = 200 GPa，且不计钢槽的变形。 解：由分析可知，正方形钢块处于双向应力状态（图b）。在 y方向的应力为压应力，即

49. 在x方向，应变为零，则由广义胡克定律 而σz = 0，代入上式，得 因此，正方形钢块的三个主应力为 由体积应变计算公式(13−26)，可得

50. m m q m x m m m b a d c e §8−6 主应力迹线的概念 一、m-m截面上的主应力 （a） （b） （c）