1 / 75

Math for TOI

Math for TOI. อ.จรรยา อ้นปันส์ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัย บูรพา 04/03/62. หัวข้อ. 1. กฎการบวกและกฎการคูณ ( Sum Rule and Product Rule) 2. หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก ( Inclusion-Exclusion Principle) 3. หลักรังนกพิราบ ( Pigeonhole Principle)

floraf
Download Presentation

Math for TOI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Math for TOI อ.จรรยา อ้นปันส์ คณะวิทยาการสารสนเทศ มหาวิทยาลัยบูรพา 04/03/62

  2. หัวข้อ 1. กฎการบวกและกฎการคูณ (SumRuleandProduct Rule) 2. หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก (Inclusion-Exclusion Principle) 3. หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) 4. การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ (Permutation and Combination) 5. การจัดหมู่แบบ Stars and Bars 6. สามเหลี่ยมปาสคาล และ สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficient) 7. การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Math Induction)

  3. 1. กฎการบวกและกฎการคูณ(SumRuleandProduct Rule)

  4. แผนภาพต้นไม้ • การหาจำนวนวิธีการทำงานต่างๆนั้น วิธีพื้นฐานที่สุดนั้นคือการเขียนแจกแจงจำนวนวิธีออกมาโดยตรง ตัวอย่าง นายเคน มีเสื้อ 2 ตัว กางเกง 4 ตัว นายเคนจะมีวิธีการแต่งตัวไปเที่ยวกี่วิธี

  5. หลักการนับ • สำหรับการทำงานบางอย่างที่มีจำนวนวิธีการทำงานมาก การแจกแจงวิธีด้วยแผนภาพต้นไม้คงจะไม่สะดวกนัก โดยทั่วไปเราจะใช้หลักการนับในการคำนวณหาจำนวนวิธี ซึ่งมีกฎที่สาคัญอยู่ 2 ข้อ • กฎการบวก (Sum rules) • กฎการคูณ (Product rules)

  6. กฎการบวก (Sum Rules) ทฤษฎีบท งานอย่างที่ 1 มีวิธีทำได้ n1วิธี งานอย่างที่ 2 มีวิธีทำได้ n2วิธี ... งานอย่างที่ k มีวิธีทำได้ nkวิธี ถ้าต้องการเลือกทำงานเพียง 1 งานจากงานทั้งหมดที่มี จำนวนวิธีที่จะเลือกได้เท่ากับ n1 + n2 + ... + nk วิธี

  7. Example โจทย์ นิสิตคณะวิทยาการสารสนเทศ มีจำนวนนิสิตใน • สาขาวิชา CS จำนวน 137 คน • สาขาวิชา IT จำนวน 140 คน • สาขาวิชา SE จำนวน 63 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนนิสิต 1 คนจากคณะนี้ จะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีในการเลือกตัวแทนนิสิตเท่ากับ 137 + 140 + 63 = 340 วิธี

  8. กฎการคูณ (Product Rules) ทฤษฎีบท ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n1วิธี ในวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 2 ได้ n2วิธี ในวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก และอย่างที่ 2 มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 3 ได้ n3วิธี ... จำนวนวิธีทั้งหมดที่เลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n1 x n2 x n3 x … nkวิธี

  9. Example โจทย์ ต้องการสร้างสตริงที่มีความยาว 7 บิตโดยแต่ละบิตมีค่าที่เป็นไปได้คือ 0 และ 1 จงหาว่าจะมีวิธีสร้างสตริงได้กี่วิธี วิธีทำ จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 1 = 2 จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 2 = 2 จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 3 = 2 … จำนวนวิธีในการสร้างบิตที่ 7 = 2 ดังนั้น จำนวนวิธีในการสร้างสตริงนี้คือ 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27วิธี

  10. Exercises 1. โรงอาหารแห่งหนึ่งมีอาหาร 4 ชนิด และ เครื่องดื่ม 3 ชนิด จงหาวิธีที่นิสิตจะซื้ออาหารพร้อมเครื่องดื่มอย่างละชนิด 4 x 3 = 12 วิธี 2. การเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มีเส้นทาง 4 เส้น จากเมือง B ไปเมือง C มี 5 เส้นทาง และ จากเมือง A ไปเมือง C ทั้งหมด 2 เส้นทาง จงหาว่า - มีกี่วิธีที่จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C โดยผ่านเมือง B ด้วย 4 x 5 = 20 วิธี - มีกี่วิธีที่จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C 20 + 2 = 22 วิธี

  11. Exercises 3. กำหนดตัวเลข 0,1,2,3,4,5 ต้องการสร้างชุดตัวเลขจากตัวเลขที่กำหนด 3 ตำแหน่ง โดยชุดตัวเลขที่สร้างจะต้องไม่ขึ้นต้นด้วยเลข 1 และตัวเลขที่ปรากฏในแต่ละชุดจะต้องไม่ซ้ำกัน จงหาจำนวนเลขชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด 5 x 5 x 4 = 100 วิธี 4. สถานนีรถไฟแห่งหนึ่งมีชานชาลาจอดรถไฟทั้งหมด 7 ชานชาลา ถ้ามีรถไฟเข้าจอด 4 ขบวน จะมีวิธีจัดรถไฟให้เข้าจอดในชานชาลาได้กี่วิธี 7 x 6 x 5 x 4 = 840 วิธี

  12. Set Theoretic Version ถ้าAเป็นเซตของวิธีที่จะทำงาน 1, และBเป็นเซตของวิธีที่จะทำงาน 2 และถ้าAและBไม่มีสมาชิกร่วม(disjoint) ดังนั้น: วิธีที่จะทำงาน 1 หรืองาน 2 คือAB, และ|AB|=|A|+|B| (จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิกใดๆจากเซตใดเซตหนึ่ง) วิธีที่จะทำงาน 1 และ 2 แทนด้วยAB, และ|AB|=|A|·|B| (จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิกหนึ่งๆจากทั้งสองเซต) 12

  13. 2. หลักการเพิ่มเข้า - ตัดออก(Inclusion-Exclusion Principle)

  14. Inclusion-Exclusion Principle • เมื่อบางส่วนของงานสองงานสามารถเกิดขึ้นในเวลาเดียวกันจำนวนทางที่ทำงานได้ในเวลาเดียวกันจะถูกนับสองครั้ง จะต้องลบจำนวนทางที่ทำงานทั้งสองในเวลาเดียวกันนั้นออก • ถ้าAเป็นเซตของวิธีที่จะทำงาน 1, และBเป็นเซตของวิธีที่จะทำงาน 2 และถ้าAและBมีสมาชิกร่วมกัน ดังนั้น วิธีที่จะทำงาน 1 หรืองาน 2 คือ |AB| = |A| + |B| - |AB|

  15. Inclusion-Exclusion Principle • จำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 20 ที่หารด้วย 2 หรือ 3 ลงตัวมีกี่จำนวน • การแก้ปัญหานี้เราอาจคิดแยกเป็น 2 กรณี คือ • ตัวเลขที่หารด้วย 2 ลงตัว มี 10 จำนวน (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20) • ตัวเลขที่หารด้วย 3 ลงตัว มี 6 จำนวน (3,6,9,12,15,18) • สังเกตเห็นว่ามี 3 จำนวน คือ 6, 12 และ 18 ถูกนับในทั้ง 2 กรณี • ดังนั้นถ้าเราจะนับรวมทั้ง 2 กรณีเข้าด้วยกัน เราต้องนับ 6, 12 และ 18 เพียงกรณีเดียว หรือ หักทั้งสามจำนวนออกจากผลรวมของการรวม 2 กรณีเข้าด้วยกัน จำนวนตัวเลข 1 – 20 ที่หารด้วย 2 หรือ 3 ลงตัว = 10 + 6 – 3 = 13

  16. Inclusion-Exclusion principle • จากปัญหาดังกล่าว สามารถแสดงเป็นแผนภาพเวนน์ได้ดังนี้ โดย • A เป็นเซตของจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว • B เป็นเซตของจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว • จากแผนภาพจะได้ว่า |AB| = |A| + |B| - |AB| ซึ่งได้ 13 จำนวน A B 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 3, 9, 15 6, 12, 18 U

  17. Exercises • จงหาจำนวนวิธีสร้างบิตสตริงยาว 8 ตำแหน่ง ที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 หรือลงท้ายด้วยเลข 00 มีกี่วิธี? |A|:สร้างบิตสตริงที่ยาว 8 ตำแหน่งและเริ่มต้นด้วยเลข 1 มี1 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งแรก คือหยิบได้เฉพาะเลข 1 (1), มี 2 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สอง (0 หรือ 1), มี 2 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สาม (0 หรือ 1), . . . มี 2 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่แปด (0 หรือ 1) Product rule: สามารถสร้างบิตสตริงได้ 27 = 128 วิธี

  18. Exercises |B|:สร้างบิตสตริงที่ยาว 8 ตำแหน่งและลงท้ายด้วย 00 มี 2 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งแรก(0 หรือ 1), มี2 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สอง(0 หรือ 1), . . . มี2 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่หก(0 หรือ 1), มี1 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่เจ็ด(0), และ มี 1 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่แปด(0) Product rule: สามารถสร้างบิตสตริงได้ 26 = 64 วิธี

  19. Exercises |A ∩ B|:จำนวนบิตสตริงที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 และ ลงท้ายด้วย 00 หาได้จาก มี 1 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งแรก (1), มี 2 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สองถึง ตำแหน่งที่หก (0 หรือ 1), มี 1 วิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่เจ็ด, แปด(0) Product rule: มี 25 = 32 วิธี ดังนั้น วิธีสร้างบิตสตริงที่ยาว 8 ตำแหน่ง ที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 หรือลงท้ายด้วยเลข 00 ว่ามี 128 + 64 – 32 = 160 วิธี

  20. 3. หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle)

  21. 1. หลักรังนกพิราบ (pigeonhole principle) • ถ้ามีนกพิราบ 4 ตัว บินมายังรังนกจำนวน 3 รังเพื่อที่จะหาที่พักอาศัย เนื่องจากจำนวนนก มากกว่า จำนวนรัง พบว่าจะมีอย่างน้อย 1 รังที่มีนกอย่างน้อย 2 ตัวอาศัยอยู่ในนั้น Theorem (The Pigeonhole principle) : หากมีนกพิราบอยู่ n ตัว แล้วต้องการนำนกพิราบเหล่านี้ไปใส่ในรัง m รัง โดยที่ n>m แล้วจะได้ว่าจะมีอย่างน้อย 1 รังที่มีนกพิราบอย่างน้อย 2 ตัว

  22. Example 1. ถ้ามีคนอยู่ 6คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องมีอย่างน้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน ไม่จำเป็นเนื่องจากจำนวนคนน้อยกว่าเดือน 2. ถ้ามีคนอยู่ 13 คน จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องมีอย่างน้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน จำเป็นเนื่องจากมี 12 เดือน 3. คำภาษาอังกฤษ 27 คำ จำเป็นหรือไม่ ที่ต้องมีอย่างน้อย 2 คำที่เริ่มต้นด้วยตัวอักษรเดียวกัน จำเป็น เพราะมีแค่ 26 ตัวอักษร 4. ต้องมีนักเรียนกี่คนในห้อง จึงจะรับประกันได้ว่ามีอย่างน้อย 2 คนที่ได้คะแนนสอบเท่ากัน ถ้าคะแนนสอบที่เป็นไปได้คือ 0 – 100 ต้องมี 102 คน เพราะมีคะแนนสอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด 101 ค่า

  23. The Generalized Pigeonhole Principle • ถ้ามีลูกบอลอยู่ 10 ลูก นำใส่ในกล่อง 4 กล่อง จะมีอย่างน้อย 1 กล่อง ที่มีวัตถุอยู่อย่างน้อย = 3 ชิ้น Theorem (The Generalized Pigeonhole Principle) : ถ้า nวัตถุ ถูกวางใน k กล่อง จะมีอย่างน้อย 1 กล่อง ที่มีวัตถุอยู่อย่างน้อย ชิ้น

  24. The Generalized Pigeonhole Principle • ต้องมีลูกบอลอย่างน้อยกี่ลูก จึงจะมีลูกบอลอย่างน้อย 3 ลูกในกล่องเดียวกัน จากทั้งหมด 4 กล่อง ต้องมีลูกบอลอย่างน้อย: n = 4 * (3 – 1) + 1 = 9 ลูก ถ้าเราต้องการรู้ว่า จำนวนขั้นต่ำของวัตถุที่ต้องมีเป็นเท่าไหร่ จึงจะมีวัตถุอย่างน้อย r ชิ้น อยู่ใน 1 กล่อง จากทั้งหมด k กล่อง คำนวณได้จาก n = k(r-1) + 1

  25. Exercises 1. ถ้ามีคน 100 คน จะมีอย่างน้อยกี่คนที่เกิดเดือนเดียวกัน = = 9 คน 2. ถ้านักเรียนในห้องนี้มี 22 คน จะมีอย่างน้อยกี่คนที่มีเบอร์โทรศัพท์ลงท้ายด้วยเลขเดียวกัน = = 3 คน 3. จำนวนนักเรียนน้อยสุดที่ต้องมีในห้อง เพื่อรับประกันว่าจะมีอย่างน้อย 6 คนที่ได้เกรดเหมือนกันในวิชาคณิตฯ ถ้าวิชานี้มีทั้งหมด 5 เกรดที่เป็นไปได้ (0-4) N = 5 * (6-1) + 1 = 26 คน

  26. Exercises 4. ให้ A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} จะต้องเลือกตัวเลขออกมาอย่างน้อยกี่ตัวเพื่อรับประกันว่ามีอย่างน้อย 1 คู่ที่บวกกันได้ 7 N = 3 * (2-1) + 1 = 4 ตัว เนื่องจากผลรวมของตัวเลขเป็น 7 มี 3 คู่ คือ {1+6, 2+5, 3+4} 5. ต้องหยิบไพ่ออกมากี่ใบจากสำรับที่มีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ เพื่อรับประกันว่าจะมีอย่างน้อย 3 ใบ ที่อยู่ในชุดเดียวกัน N = 4 * (3-1) + 1 = 9 ใบ

  27. Exercises 6. ต้องหยิบไพ่ออกมากี่ใบ เพื่อรับประกันว่ามีไพ่อย่างน้อย 3 ใบจากชุดโพแดงถูกเลือก Solกรณีแย่สุดๆ ได้ไพ่ชุดอื่นๆ (โพดำ, ข้าวหลาม, ดอกจิก) จนครบ จะได้ 39 ใบ จากนั้นหยิบไพ่ในชุดโพแดงมาอีก 3 ใบ จะได้ 39 + 3 = 42 ใบ

  28. 4. การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ (Permutation and Combination)

  29. การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) • ศึกษาการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ (Permutation) ที่มีจำนวนจำกัด โดยคำนึงถึงตำแหน่งการเรียงของสิ่งของ • ซึ่งมักจะสนใจจำนวนวิธีซึ่งได้ตำแหน่งการเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน • โดยการหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของจะใช้หลักการนับเป็นพื้นฐานในการคำนวณ

  30. การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 1 ทฤษฎีบท 1 จำนวนวิธีจัดลำดับของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยจัดครั้งละ n คือ n! • โดยที่ n! คือ ผลคูณของเลขจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ n ถึง 1 • นั้นคือ n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1 ตัวอย่าง มีตัวอักษร 3 ตัว คือ a, b, c ต้องการนำตัวอักษร 3 ตัวนี้มาเรียงต่อกันเป็นข้อความ จะทำได้กี่วิธี จะเห็นว่าเมื่อนำตัวอักษร 3 ตัวนี้มาเรียงต่อกันเป็นข้อความ จะได้ {abc, acb, bac, bca, cab, cba} ดังนั้น สามารถสร้างข้อความได้ 3! = 3 x 2 x 1 = 6 วิธี

  31. Example • จากตัวอักษรคำว่า COMPUTER • สามารถนำมาจัดเรียงใหม่ได้กี่วิธี 8! วิธี • ถ้ากำหนดว่าตัวอักษร CO ต้องอยู่ติดกันเสมอ จะจัดเรียงได้กี่วิธี 7! วิธี • จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงที่ตัวอักษร CO ไม่อยู่ติดกันเสมอ จำนวนวิธีการจัดเรียงทั้งหมด = 8! จำนวนวิธีที่เรียงโดย CO ติดกัน = 7! ดังนั้น จำนวนวิธีที่ CO ไม่อยู่ติดกัน = 8! – 7! วิธี

  32. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 2 ทฤษฎีบท 2 จำนวนวิธีจัดเรียงของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยนำมาจัดครั้งละ r สิ่ง เมื่อ r < n จะมีวิธีจัดได้ แทนด้วยสัญลักษณ์ nPrหรือ P(n,r) ตัวอย่างมีตัวอักษร 3 ตัว คือ a, b, c ต้องการนำตัวอักษร 2 ตัว มาเรียงต่อกันเป็นข้อความ จะทำได้กี่วิธี จะเห็นว่าเมื่อนำตัวอักษร 2 ตัว จากทั้งหมด 3 ตัว มาเรียงต่อกันเป็นข้อความ จะได้{ab, ac, ba, bc, ca, cb} ดังนั้น สามารถสร้างข้อความได้ P3,2 = = 3 x 2 = 6 วิธี

  33. Exercises • จากคำว่า BYTES • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคำนี้ P(5,3) = 5! / 2! = 60 วิธี • จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคำนี้ โดยกำหนดว่าต้องขึ้นต้นด้วย B P(4,2) = 4! / 2! =12 วิธี

  34. Exercises 2. มีข้อสอบ 10 ข้อต้องการแจกให้นักเรียน 8 คน คนละ 1 ข้อ จะมีวิธีแจกอย่างไรเพื่อให้ นักเรียนแต่ละคนได้ข้อสอบไม่ซ้ำกัน P(10,8) = 10! / 2! 3. การออกแบบวงจรไฟฟ้าโดยเลือกตัวต้านทาน 4 ชุด จากตัวต้านทานที่มีความแตกต่างกันทั้งหมด 8 ชุด มาต่ออนุกรมกัน จงหาว่ามีวงจรไฟฟ้าที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่แบบ P(8,4) = 8! / 4!

  35. วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 3 ตัวอย่างมีตัวอักษร 3 ตัว คือ a, b, c ต้องการนำตัวอักษร 2 ตัวนี้มาเรียงต่อกันเป็นข้อความ โดยให้ตัวอักษรซ้ำกันได้ จะทำได้กี่วิธี จะเห็นว่าเมื่อนำตัวอักษร 2 ตัว จากทั้งหมด 3 ตัว มาเรียงต่อกันเป็นข้อความ โดยตัวอักษรซ้ำกันได้ จะได้ {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} ดังนั้น มีจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรได้ทั้งหมด 32 = 9 วิธี ทฤษฎีบท 3 จำนวนวิธีในการจัดลำดับของครั้งละ r สิ่ง จากของทั้งหมด n สิ่ง โดยอนุญาตให้ของซ้ำกันได้ จะมีวิธีจัดเรียงทั้งหมด nr

  36. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมวิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลม ทฤษฎีบท 4 จำนวนวิธีในการจัดของ n สิ่งที่แตกต่างกัน เป็นวงกลม คือ (n-1)! ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดคน 6 คนนั่งรอบโต๊ะกลม วิธีทำ จำนวนวิธีที่จัดของเป็นวงกลมคือ (n-1)! = (6-1)! = 5! วิธี

  37. วิธีเรียงสับเปลี่ยนของ nสิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด ทฤษฎีบท การจัดลำดับของ n สิ่ง ซึ่งมี n1สิ่งที่เหมือนกัน n2สิ่งที่เหมือนกัน ... nkสิ่งที่เหมือนกัน จะได้จำนวนวิธีจัดเท่ากับ

  38. Example การจัดลำดับตัวอักษร 3 ตัว x , y , z โดยจัดทีละ 3 ตัวจะได้จำนวน 6 วิธี คือ x y z y x z z x y x z yy z x z y x ถ้าในกลุ่มของสิ่งเหล่านี้ มีบางสิ่งเหมือนกันเช่น y และ z เหมือนกัน การจัดรูปแบบจะเหลือแค่ 3 แบบ (แทน y และ z ด้วย w) x w w w x w w x w x w ww w x w w x สาเหตุเพราะ การสลับที่ของของที่ซ้ำกัน ไม่ถือเป็นวิธีใหม่ นั่นคือ วิธีการจัดลำดับตัวอักษรนี้คำนวณได้จาก 3! / 2! = 6/2 = 3 วิธี

  39. Example • จากคำว่า INTELLIGENCE • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี 12! / 2! 2! 3! 2! • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี ถ้าคำเหล่านั้นต้องเริ่มต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G 10! / 2! 2! 3! 2! • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นข้อความต่างๆ ได้กี่วิธี ถ้ากำหนดว่า INT ต้องอยู่ติดกัน และ IG ต้องอยู่ติดกัน 9! / 3! 2!

  40. การจัดหมู่ (Combination) การเลือกสิ่งของจำนวนหนึ่งขึ้นมาจากสิ่งของที่มีทั้งหมด โดยไม่สนใจลำดับการจัดเรียงของสิ่งของที่เลือก ตัวอย่าง มีตัวอักษร 3 ตัว คือ a,b,cต้องการจัดกลุ่มตัวอักษร กลุ่มละ 2 ตัวได้กี่วิธี วิธีทำ จัดได้ 3 วิธีคือ {a,b} , {a,c} , {b,c} ข้อสังเกตเมื่อไม่คำนึงถึงลำดับ {a,b} กับ {b,a} ถือเป็นกลุ่มเดียวกันนับเป็นแค่ 1 วิธี ดังนั้น จัดกลุ่มตัวอักษร ได้ 3C2 = 3 วิธี ทฤษฎีบท 1จำนวนวิธีจัดหมู่ของของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยนำมาจัดทีละ r สิ่ง คือ แทนด้วยสัญลักษณ์ nCrหรือ C(n,r)

  41. Example • มีกี่วิธีที่จะเลือกกรรมการ 3 คน จากสามีภรรยา 4 คู่ • ถ้าทุกคนมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน C(8,3) = 8! / 3!5! = 8 x 7 = 56 • ถ้ากรรมการต้องประกอบด้วย หญิง 2 คน ชาย 1 คน กรรมการหญิง 2 คน C(4,2) = 4! / 2!2! = 6 กรรมการชาย 1 คน C(4,1) = 4! / 3! = 4 ดังนั้น มีวิธีเลือกได้ทั้งหมด 6 x 4 = 24

  42. วิธีจัดหมู่ (Combination) 2 ตัวอย่าง มีตัวอักษร a และ b จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้เกิดเป็นข้อความที่มี 3 ตัวอักษร โดยอนุญาตให้ใช้ตัวอักษรซ้ำกันได้ ถ้าใช้การนับปกติจะได้ 4 แบบ a aa(a หมด) b bb(b หมด) a a b(a 2 b 1) b b a (a 1 b 2) • หากจำนวนสิ่งของมากกว่านี้ การนับเองอาจยุ่งยาก จึงมีการสร้างสูตรขึ้นมาโดยใช้การพิจารณาจาก จำนวนประเภทของสิ่งของ และ จำนวนสิ่งของที่ต้องการจัดหมู่ ทฤษฎีบท 2 การจัดหมู่ของสิ่งของ r สิ่ง โดยเลือกจากสิ่งของทั้งหมดที่แบ่งออกเป็น n กลุ่ม (หรือ n ประเภท) โดยซ้ำกันได้ ทำได้ C(r+n-1 , r) วิธี

  43. Example จากกลุ่มตัวอักษร a, b ,c จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้ได้ตัวอักษร 2 ตัว โดยสามารถใช้ตัวอักษรซ้ำได้ วิธีทำ แทนค่าตามสูตรในทฤษฎีบทที่ 2 นั่นคือ C(r+n-1 , r) โดยที่ จำนวนสิ่งของที่ต้องการจัดหมู่คือ r =2 จำนวนประเภทของสิ่งของคือn =3 ดังนั้น แทนค่าจะได้เป็น C(2+3-1,2) = C(4,2) = 4!/2!2! = 2 x 3 = 6 วิธี

  44. Exercises ในห้องสมุดแห่งหนึ่ง มีหนังสือที่นาย ก. สนใจอยู่ 3 ประเภท คือ คอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ และ ประวัติศาสตร์ ถ้านาย ก. อยากยืมหนังสือเหล่านี้ทั้งหมด 6 เล่มจะทำได้กี่วิธี วิธีทำนาย ก. ต้องการหนังสือ 6 เล่ม (r= 6) จากหนังสือทั้งหมด 3 ประเภท (n = 3) นาย ก. จะมีวิธีเลือกหนังสือได้ C(6+3-1,6) = C(8,6) = 8!/6!2! = 8 x 7 x 6! / 6!2! = 28 วิธี

  45. 5. การจัดหมู่แบบ Stars and Bars

  46. Stars and Bars • เทคนิคในการนับจำนวนวิธีในการแบ่งของที่เหมือนกันให้คนจำนวนหนึ่ง • เนื่องจากของทุกชิ้นเหมือนกันดังนั้นใครจะได้ชิ้นไหนไม่สำคัญ • สิ่งที่สำคัญคือ “จำนวนชิ้น” ที่แต่ละคนจะได้ Exถ้าแบ่งของ 5 ชิ้น ที่เหมือนกัน ให้เด็ก 3 คน โดยมีเงื่อนไขว่า ต้องได้รับอย่างน้อยคนละ 1 ชิ้น จะสามารถแบ่ง ได้ 6 แบบ

  47. Stars and Bars • ถ้าเราให้ของ 5 ชิ้น เป็น “Star” 5 ดวง ปัญหานี้คือการเอา “Bar” มาแบ่งดาว 5 ดวง เป็น 3 ส่วนนั่นเอง • ในการแบ่งดาวเป็น 3 ส่วนต้องใช้เส้นคั่น 2 เส้น (3−1) • มีดาว 5 ดวง ดังนั้นมีจุดให้เลือกวางเส้นคั่นได้ 4 ตำแหน่ง (5−1) • ดังนั้น เลือก 2 ตำแหน่ง จาก 4 ตำแหน่งนี้เพื่อวางเส้นคั่น จะเลือกได้ = 6 แบบ

  48. Stars and Bars Ex มีลูกอมที่เหมือนกัน 8 เม็ด จะมีวิธีแจกลูกอมทั้งหมดนี้ให้คน 3 คนได้กี่วิธี เมื่อแต่ละคนต้องได้ลูกอมอย่างน้อยคนละ 1 เม็ด วิธี แจกของที่เหมือนกัน n สิ่ง ให้คน r คน โดยได้คนละอย่างน้อย 1 ชิ้น จะทำได้ วิธี

  49. Stars and Bars • ในกรณีที่อาจมีคนที่ไม่ได้ของ จะใช้วิธี “เพิ่มของให้คนละ 1 ชิ้น” Exถ้าแบ่งของ 2 ชิ้นให้เด็ก 3 คนโดยอาจมีบางคนไม่ได้ของจะสามารถแบ่งได้ 6 แบบ สามารถจับคู่ได้กับตอนแบ่งของ 5 ชิ้น ให้เด็ก 3 คน ที่ต้องได้อย่างน้อยคนละ 1 ชิ้น • ดังนั้น การนับแบบที่อาจมีคนไม่ได้ของ ได้จากการเพิ่มของให้คนละ 1 ชิ้น และนับจำนวนแบบที่ต้องได้ของอย่างน้อย 1 ชิ้น

  50. Stars and Bars Exมีเหรียญที่เหมือนกัน 10 เหรียญ จะมีวิธีแจกเหรียญทั้งหมดนี้ให้คน 3 คนได้กี่วิธี อาจจะมีคนที่ไม่ได้รับเหรียญเลยก็ได้ วิธี แจกของที่เหมือนกัน n สิ่ง ให้คน r คน โดยอาจมีบางคนไม่ได้ของ จะทำได้ วิธี

More Related