Operatory

1. Operatory W mechanice kwantowej każdej wielkości fizycznej przypisujemy pewien operator Operator : zbiór działań matematycznych przekształcających pewną funkcję wyjściowąY w inną funkcję F. Przykład operatora : w przypadku ruchu cząstki wzdłuż osi OX pędowi przypisujemy operator : Operator ten w działaniu na funkcję Y oznacza: utwórz nową funkcję będącą pierwszą pochodną funkcji Y po zmiennej x , a otrzymany wynik pomnóż przez stałą Plancka h oraz i.

2. Funkcje własne i wartości własne operatora qnjest wartością własną operatora Dozwolone wartości qn jakie może posiadać wielkość fizyczna opisana operatorem wyznaczyć można rozwiązując tzw. równanie na wartości własne operatora Jeżeli dokonywać będziemy pomiarów, to zawsze otrzymamy jedną z wartości qn.. W niektórych przypadkach rozwiązanie równania na wartości własne uzyskać można jedynie dla ściśle określonych wartości qn.. Oznacza to, że dana wielkość fizyczna przyjmować może tylko pewne ściśle określone, a nie dowolne wartości.

3. Funkcje własne i wartości własne operatora Przykład. Pęd cząstki swobodnej Dozwolone wartości pędu cząstki swobodnej : p = (h/2p)k

4. Operator momentu pędu Momentowi pędu przypisujemy cztery operatory: operator kwadratu momentu pędu - oraz trzy operatory rzutu momentu pędu na poszczególne osie układu współrzędnych : Lx, Ly, Lz Równocześnie określoną wartość może mieć tylko kwadrat momentu pędu i jeden z jego rzutów na oś współrzędnych. Dwa pozostałe rzuty są nieokreślone. Oznacza to, że równocześnie można zmierzyć jedynie wartość momentu pędu oraz wartość jednego z jego rzutów na wybraną oś ( np. Lz - czyli wartość rzutu na oś OZ) .

5. Kwantowanie momentu pędu Dozwolone wartości jakie może przybierać kwadrat momentu pędu muszą być wartościami własnymi operatora l - orbitalna liczba kwantowa Wniosek: moment pędu jest wielkością skwantowaną. Oznacza to, że dowolnyobiekt fizyczny może posiadać moment pędu tylko o pewnych, ściśle określonych wartościach.

6. Sferyczny układ współrzędnych współrzędne w układzie kartezjańskim z współrzędne w układzie sferycznym (x,y,z) y x funkcja falowa

7. Kwantowanierzutu momentu pędu z q ( r , f , q ) r y f x Rozwiązaniem tego równania są funkcje postaci Oś OZ jest osią na którą rzutować będziemy wektor momentu pędu W tym przypadku operatorLzma postać operatora różniczkowania po kącie f, a równanie na wartości własne ma postać

8. Kwantowanierzutu momentu pędu z q ( r , f , q ) r y f x Obrót układu współrzędnych o kąt 2p wokół osi OZ nie zmienia wartości funkcji falowej: Y(f+2p)=Y(f) ,

9. Kwantowanie momentu pędu i jego rzutu

10. Momentu pędu - podsumowanie Dozwolone wartości momentu pędu Dozwolone wartości rzutu momentu pędu na oś OZ

11. Model a tom u Bohr a Postulaty Bohr a • 1. Elektrony poruszają wokół jądra po orbitach stacjonarnych. • 2. Atom emituje promieniowanie, gdy elektron przechodzi z jednej orbity stacjonarnej na drugą. • 3. Częstotliwość promieniowania jest dana wzorem hf = E - E m n gdzie E i E oznaczają energie tych stanów. m n • 4 . Moment pędu elektronu jest skwantowany : m v r = n h e

16. Liczby kwantowe: n Zjoniz. atom n = 2 - 3.4 eV n = 1 E = - 13.6 eV n- główna liczba kwantowa n - liczba naturalna ,numeruje energię n = 1,2,3,4,5,…; n = 3 m - masa zredukowana

17. Widma emisyjne atomu wodoru Energia 0 n= -R/25 5 4 -R/16 3 -R/9 Paschen -R/4 2 Balmer Długość emitowanej fali Lyman R stała Rydberga R=1.097 107 m-1 -R 1

18. Seria Balmera 4000 5000 6000 7000 Å • Absorption spectrum of sodium (Å) k(cm-1) HCzerwony 6565 15234 HZielono-niebieski 4862 20565 HNiebieski 4342 23033 HFioletowy 4103 24374 • Flame spectrum of strontium 4000 5000 6000 7000 Å (reproduced from Spectroscopy in Chemistry)

21. Liczby kwantowe: n,l, m n - główna liczba kwantowa n- określa dozwolone wartości energii elektronu na orbicie; n=1,2,3, ... l - orbitalna liczba kwantowa l - określa wartości momentu pędu elektronu na orbicie; liczba naturalna z zakresu[0, n-1 ] l = 0,1,2,…n-1; ml - magnetyczna liczba kwantowa m - określa rzut momentu pędu elektronu na wyróżniony kierunek w przestrzeni; liczba całkowitaz zakresu[-l, l ]

22. Stany elektronu

23. Stan podstawowy - radialna gęstość stanów Maksimum prawdopodobieństwa dla r = r0

24. Funkcje radialne

25. Atom wodoru - funkcje falowe • pierwszy stan wzbudzony:n=2, l=0, ml=0 Pierwszy stan wzbudzony - radialna gęstość stanów