Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина

1. Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша Российской академии наук Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф. Международная молодёжная конференция – школа «СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ» 22-27 августа 2012 года, Дубна

2. План доклада • Разрывный метод Галеркина для уравнений Эйлера. • Лимитеры. • Тестовая задача.

3. Метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ) для уравнений Эйлера Рассматрим уравнения одномерной идеальной газовой динамики (1) • - плотность • скорость • удельная внутренняя энергия • давление - полная энергия на единицы объема (2) - показатель адиабаты Эти уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями, вид которых зависит от конкретной задачи, и будут конкретизированы далее.

4. приближенное решение системы уравнений (1) будем искать в виде проекции вектора консервативных переменных на пространство полиномовP(х) степени р в базисе с зависящими от времени коэффициентами. (3)

5. Приближенное решение системы (1) в разрывном методе Галеркина ищется как решение следующей системы где i = 0,…,N, k = 0,1,2. - вектор решения - базисная функция с номером k на интервале вычисленная в точках - дискретные потоки, являющиеся монотонными функциями двух переменных для которых выполнено условие согласования:

6. Численные потоки • Поток Русанова-Лакса-Фридрихса - скорость - скорость звука РусановВ.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. 1961, Журнал вычислительной математики и математической физики, т.I, №2, 267- 279.

7. Лимитеры Ограничитель (лимитер) представляет собой некоторый оператор, действующий на функцию приближенного решения на каждом интервале Обозначим действие этого оператора на функцию uчерез Ограничитель Кокбурна для линейной функции можно записать как где - среднее интегральное значение приближенного решения на интервале

8. Ограничитель Колгана используется функция вместо функции Обозначим его . Колган В.П.Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. 1972, Ученые записки ЦАГИ. т. 3, №6.,С. 68 – 77.

9. «Моментный» ограничитель «Моментный» лимитер характеризуется тем, что сохраняет максимально возможный порядок схемы. Для применения данного лимитера перейдем к ортогональной системе базисных функций. Решение лимитируется путем лимитирования его коэффициентов. Коэффициент соответствует k- ой производной решения, и он сравнивается с альтернативной аппроксимацией k-ой производной через правую и левую разности (k-1)-ой производной. Начиная со старших коэффициентов k=p, заменим на . Лимитер срабатывает, если В случае лимитирование прекращается, иначе лимитируется коэффициент продолжая до тех пор, пока либо k=1,либо выполнится условие Lilia Krivodonova, Limiters for high-order discontinuous Galerkin methods, 2007, Journal of Computational Physics, vol. 226,pp. 879-896.

10. . В случае нелинейных систем следует применять лимитеры к характеристическим переменным. Лимитер Кокбурна Моментный лимитер где L - матрица левых собственных векторов Якобиана системы (1), вычисленная в центральной точке хiинтервала Ii , j-номер уравнения в системе. После лимитирования возвращаемся к исходным консервативным переменным, умножая результаты лимитирования на матрицу, составленную из правых собственных векторов Якобиана системы (1)

11. Схема Рунге-Кутта третьего порядка . .

12. Исследование влияние различных лимитирующих функций на порядок точности решения разрывным методом Галеркина Распределение плотности в начальный момент выберем в виде бесконечно гладкой функции: Остальные гидродинамические параметры определяются из условий постоянства энтропии и инварианта На границах области были заданы постоянные граничные условия: Начальные профили плотности, импульса и полной энергии:

13. Семейство характеристик, на которых инварианты постоянны в простой волне является прямыми линиями, и это дает возможность записать решение в неявном виде. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М .Гидродинамика, Теоретическая физика: Т.VI. –М.: Физматлит, 2001.

14. Решение данной задачи сохраняет гладкость до того момента времени, пока характеристики, выпущенные из разных точек, не начнут пересекаться. Вычислим момент возникновения ударной волны для Из графика видно, что момент образования ударной волны приблизительно равен T = 0.09

15. Вычисление порядка точности метода.

16. Таблицы