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MOTIVAÇÃO

MOTIVAÇÃO. A Estatística e Deming. W. E. DEMING Nasceu em 14 de Outubro de 1900 em Sioux City, Iowa. Em 1921 licenciou-se em Física, na Universidade do Wyoming e, em 1928, doutorou-se em Matemática pela Yale University.

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  1. MOTIVAÇÃO A Estatística e Deming. W. E. DEMING Nasceu em 14 de Outubro de 1900 em Sioux City, Iowa. Em 1921 licenciou-se em Física, na Universidade do Wyoming e, em 1928, doutorou-se em Matemática pela Yale University.

  2. O impacto das suas idéias foi de tal forma elevado que Deming é, hoje, considerado “o pai do milagre industrial japonês”. Morreu em 1993, com 93 anos.Em sua homenagem, a JUSE (Japan Union of Scientists and Engineers) instituiu o Deming Prize, que premia anualmente as melhores empresas no campo da qualidade. Deming foi condecorado pelo imperador do Japão com o mais elevado galardão atribuído a um estrangeiro: a Medalha de 2.ª Ordem do Sagrado Tesouro. Os Estados Unidos só o descobriram na década de 80. Em 1986, Reagan atribuiu-lhe a National Medal of Technology e nesse ano foi lançado o livro Out of Crisis, a obra que consolidou de vez a sua fama como o grande mestre da qualidade.

  3. W.E. DEMING W. E. DEMING

  4. ENGENHARIA: CEP, DOE, CONFIABILIDADE

  5. Allysson Paulinelli Ministro da Agric. 1974 linelli Coloca Eliseu Alves, na presidência da EMBRAPA Cria 14 Centros de Pesquisas em 14 regiões do país (exceto o café que tinha o IBC e o cacau que tinha a CEPLAC) Criou 4 Centros de Recursos Genéticos para o cerrado em Brasília. Com uma verba de US 200 milhões, escolheu nas melhores universidades brasileiras 1600 recém-formados e mandou-os fazer Mestrado e Doutorado nas melhores escolas agrícolas do mundo: California, Wisconsin, California, Wisconsin, França, Espanha, Índia, Japão, etc.

  6. 1. ANÁLISE COMBINATÓRIA As várias maneiras de se dispor os objetos de um conjunto em grupos denominados agrupamentos dependem basicamente de duas características: 1ª.) em cada agrupamento formado todos os elementos são distintos; 2ª.) em cada agrupamento pode haver repetição de elementos.

  7. Quando os agrupamentos têm a primeira característica (todos os elementos são distintos) são chamados de agrupamentos simples. E, quando os agrupamentos têm a segunda característica (repetição de elementos) denominam-se agrupamentos com repetição. Considerando o modo de formação dos grupos tem-se: Arranjos, Permutações e Combinações

  8. Análise Combinatória Simples é o estudo da formação, contagem e propriedades dos agrupamentos simples. Nos agrupamento simples os grupos diferem pela ordem ou pela natureza dos elementos que o compõem. E, no caso de diferirem pela natureza, tem-se que pelo menos um dos elementos de um dos grupos formados não pertence ao outro.

  9. FATORIAL de um número inteiro n representado por n! é definido por: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........(n-n+2)(n-n+1) n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........3.2.1 Especialmente, tem-se, por definição: 0! = 1 1! = 1 ARRANJOS de n elementos tomados p a p = = n(n-1).(n-2)......(n-p+2)(n-p+1)

  10. Permutação de n elementos é a denominação dada aos arranjos com n = p, ou seja, são os elementos de A com p = n. Fica fácil ver que Pn = = n(n-1)(n-2) ... (n-n+1) = n! Combinação simples de n elementos tomados p a p é representada por = Cn,p = = Números Binomiais ou Combinatórios Os números conhecidos como binomiais são aqueles da forma e são representados por:

  11. Exercícios: 1) Calcule o valor numérico de cada uma das expressões: a) 5! + 2! = 5.4.3.2.1 + 2.1 = 120 + 2 = 122 b) = = 5) Calcule o valor de x na equação (x+2)! = 2(x+1)! Solução: (x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)……1 = 2[(x+1)x(x-1)(x-2)...1] (x+2) = 2  x = 0

  12. 8) Calcule o número de arranjos de 4 elementos tomados de 2 em 2. Solução: A = = = 12 11) Calcule o valor da expressão Solução: + + = 1+ 120+ 1 = 122 2) Qual o número de permutações simples com objetos repetidos que se pode obter com as letras da palavra matemática? P =

  13. Matemática tem: 2 letras m, 3 letras a, 2 letras t, 1 letra e, 1 letra i e 1 letra c. Logo, n = 10 letras.

  14. 4) Em certo ano, somente quatro times de futebol têm chances de ficar em dos três primeiros lugares do campeonato brasileiro. São eles Santos, Corinthians, Coritiba e Flamengo. Quantas são as possibilidades para cada um dos três primeiros lugares? R: 24 Solução: Deve-se agrupar 4 elementos de 3 em 3. Como os agrupamentos são distintos pela ordem e pelos elementos tem-se Arranjo. A =

  15. 7) Quantas diagonais tem o pentágono? Solução: É necessário agrupar os 5 vértices do pentágono de 2 em 2. Trocando a ordem o agrupamento é o mesmo, portanto tem-se combinação de 5 elementos tomados de 2 em 2, mas deve-se descontar os 5 lados. Cn,p = - 5 = - 5 = 10 – 5 = 5

  16. 9) Considere n objetos. Agrupando-os 4 a 4 de modo que cada grupo possua pelo menos um objeto diferente do outro obtém-se o mesmo número de grupos que o obtido quando se junta os objetos de 6 em 6. Qual o valor de n? Solução: Cn,p = Cn,4 = Cn,6 = Sabe-se que números binomiais com mesmo numerador (n) e módulos complementares (p) são iguais.

  17. Então, são complementares portanto 4 = p e 6 = n – p 6 = n - 4 n = 10

  18. 2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE • Considere o experimento de jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. Observa-se no experimento que: • Os “resultados possíveis” de ocorrer formam o conjunto  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • DEF. 1 ESPAÇO AMOSTRAL, , de um experimento realizado sob condições fixas, é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, entendendo-se por resultado possível todo resultado elementar e indivisível do experimento.

  19. 2.1.1) Considere, o experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um ponto equidistante dos extremos do segmento de reta AB com comprimento de 2 cm, contido no eixo das abscissas de um Sistema Cartesiano e com A colocado na origem do sistema. y m A 1 1 B x

  20. Descreva o espaço amostral do experimento; •  = {(x,y)  R2 | x = 1} • b) Descreva o resultado 1 “distância entre o ponto escolhido e o ponto médio do segmento é  2” na forma de subconjunto do espaço amostral; • 1 = { (x,y)   | y  2} • c) Descreva o resultado 2 “distância entre o ponto escolhido e a origem é  ½”; • 2 = { } =  • d) Descreva o resultado 3 “a 1a. coordenada do ponto escolhido tem comprimento menor que a 2ª. ”. • { (x,y)   | x  |y|}

  21. DEF. 2 RESULTADO COMPOSTO é todo resultado formado por mais de um resultado elementar e indivisível. Ex.: O resultado “número par” NP = {2, 4, 6}não é elementar e indivisível, pois é composto por três resultados deste tipo {2}, {4} e {6}, logo “número par” é um resultado composto. O resultado “número par” é o subconjunto NP = {2, 4, 6} . Assim, todo resultado do experimento é subconjunto do espaço amostral.

  22. DEF. 3-ÁLGEBRA, A, de subconjuntos do conjunto não-vazio  é a classe de subconjuntos de  satisfazendo as propriedades: 1a.)  A 2a.) Se A A Ac A 3a.) Se A1, A2, A3, ..... A A A -ÁLGEBRA mais simples é o conjunto das partes de , ou seja, P() = {, {1}, ... , {6}, {1,2}, ... , {5,6},...., } no experimento do lançamento do dado, p.ex. DEF. 4 Seja  o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto A  será chamado de evento, o conjunto  é evento certo, o subconjunto  é o evento impossível e se  o evento {} é dito elementar e indivisível.

  23. DEF. 5 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (quando  é finito). Seja A um subconjunto do espaço amostral , AP(), então se todos os resultados elementares de  são equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é dada por P(A) = , A A.

  24. 2.1.2) Um dado é lançado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos: • A = sair um número ímpar. • A = {1, 3, 5}  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • P(A) = = • b) B = sair um número menor que 3. • B = {1, 2} • P(B) = = = 1/3

  25. c) C = sair um número maior que 10. C = { } P(C) = = d)  = sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P() = =

  26. 2.2.5) Durante um período de 24 h, em algum momento X, uma chave é posta na posição “ligada”. Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada para a posição “desligada”. Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números (X, Y).

  27. Descreva o espaço amostral. •  = {(x,y)  R2 | 0 < x < y < 24} • b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos: • (i) O circuito está ligado por uma hora ou menos. • A = {(x,y)   | y – x < 1} y< x +1 y > x+1 y = x

  28. (ii) O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h. B = {(x,y)   | 0 < x < z < y < 24} y > x

  29. (iii) O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (onde t1< t2 são dois instantes durante o período especificado de 24 h). C = {(x,y)   | x < t1 < t2 < y < 24} (iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado. y – x = 2(x+24-y) y – x = 2x+48-2y 0 x y 24 3y = 3x + 48 y = x + 16

  30. D = {(x,y)   | y = x + 16}

  31. DEF. 7 DEF. GEOMÉTRICA DE PROBABILIDADE (Gnedenko) Suponha que um segmento seja parte de um outro maior L e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L. Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a seja proporcional ao comprimento de e não depende do lugar que ocupa em L, então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em é: L

  32. Exercício Suponha que a área de um estado seja de aproximadamente 200.000 km2. e que a área de uma região metropolitana seja de 2.500 km2. Então, sabendo-se que um raio caiu no estado, qual a probabilidade de ter caído nessa região metropolitana? P(R) = = = 0,0125 = 1,25%

  33. DEF. 9 DEF. AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE (Kolmogorov) Probabilidade ou medida de probabilidade na -álgebra A é a função P definida em A e que satisfaz os axiomas seguintes: A1) P(A)  0 A2) P() = 1 A3) Se A e BA e são disjuntos P(A  B) = P(A) + P(B) Se A1, A2, A3, ... , An A e são disjuntos, então A3’) Se A1, A2, A3, ... A e são disjuntos, então

  34. DEF.10 ESPAÇO DE PROBABILIDADE É o trio (, A, P), onde , A e Psão definidas anteriormente. Propriedades da Probabilidade Além das propriedades enunciadas na definição axiomática, a função P goza, ainda, das seguintes: P1) Se A é um evento aleatório, então a probabilidade de A não ocorrer é dada por: P(Ac) = 1 – P(A) P2) Se A é um evento aleatório, então 0  P(A)  1 P3) Se A1  A2 P(A1)  P(A2) e P(A2 - A1) = P(A2) - P(A1) P4) P(A1A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1A2) P5) P6)

  35. P7) • P8) • P9) • P10) Continuidade em Probabilidade: “Seja a seqüência {Ai} • i = 1,2,3, ... onde Ai Ai, então: • se Ai A  P(Ai)  P(A) e • se Ai A  P(Ai)  P(A).

  36. Exercício 1: Prove a propriedade P1. Prova de: P(Ac) = 1 – P(A) Seja o espaço amostral  A  Ac Considere a união de subconjuntos disjuntos AAc =  P(AAc) = P() P(A) + P(Ac) = 1 pelos axiomas A2 e A3 P(Ac) = 1 – P(A)

  37. Exercício 2: Prove a propriedade P2. Prova de: 0 < P(A) < 1 Do axioma A1 P(A) > 0 E da propriedade P1 P(A) = 1 – P(Ac) para o menor valor de P(Ac) que é zero (axioma 1) tem-se o maior valor de P(A) que é 1. Portanto, 0 < P(A) < 1

  38. Exercício 3: Prove a propriedade P3 . Prova de: Se A1 A2 P(A1) < P(A2) e P(A2 – A1) = P(A2) – P(A1) Seja a união de eventos disjuntos: A2 = A1(A2A1c) P(A2) = P[A1(A2A1c)] P(A2) = P(A1) + P(A2A1c) axioma A3 P(A1) = P(A2) – P(A2A1c)  P(A1) < P(A2) E, P(A2 A1c) = P(A2 – A1) P(A2 A1c) = P(A2) – P(A1) Então, P(A2 – A1) = P(A2A1c) = P(A2) – P(A1)  A1 A2

  39. Exercício 4: Prove a propriedade P4 . Prova: P(A1A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2)  A2 A1 A1 A2 Seja a união de eventos disjuntos A1A2 = A1 (A2 – A1 A2) Então, P(A1A2) = P[A1 (A2 – A1 A2)] P(A1A2) = P(A1) + P[A2 – A1 A2)] P(A1A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2) por P3

  40. 2.2.6) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as seguintes afirmações verbais: • Veja que  significa “ou” e associamos a adição (+). • E,  significa “e” e associamos a multiplicação (x). • Ao menos um dos eventos ocorre; • ABC • b) Exatamente um dos eventos ocorre; • (ABc Cc)  (AcBCc)  (AcBc C) • c) Exatamente dois dos eventos ocorrem; • (AB Cc) (ABc C) (AcBC) • d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. • (AB C)c

  41. Probabilidade Condicional DEF. Seja o espaço de probabilidade (, A, P) e os eventos A, B  A com P(B) > 0, a probabilidade condicional do evento A dado o evento B é definida por: P(AB) = OBS: 1ª.) Se P(B) = 0, P(AB) pode ser arbitrariamente definida. A maioria dos livros faz P(AB) = 0, mas é conveniente pela independência se fazer P(AB) = P(A). 2ª.) Como P(AB) é uma probabilidade, vale para ela todas as propriedades de probabilidade.

  42. 3ª.) Como P(AB) = Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B é dada por: P(A Teorema da Multiplicação ou da Prob. Composta “Seja o espaço de probabilidade (, A, P), então: I. P(A A,B A II. P( = P(A A1, A2, A3, ....., AnA”.

  43. Prova: n = 2 P(A1A2) = P(A1)P(A2|A1) por definição n = 3 P(A1 A2 A3) = P[(A1 A2) A3] = P(A1 A2).P(A3|A1 A2) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) por indução, aceita-se a regra para n – 1 P(A1 ... An-1)=P(A1).P(A2|A1)...P(An-1|A1 A2 ... An-2) E prova-se para n assumindo o resultado de n -1 P(A1 ... An)=P[(A1 ...An-1) An) = P(A1 ... An-1)P(An|A1 ... An-1) usando o resultado para n-1 = P(A1)P(A2|A1)...P(An-1|A1 ...An-2)P(An |A1 ... An-1)

  44. Independência de eventos DEF.: Seja o espaço de probabilidade (, A, P). Os eventos aleatórios A e BA são estocasticamente independentes se: P(A , ou seja, P(B|A) = P(B) e P(A|B)=P(A). Eventos Mutuamente Exclusivos DEF.: Os eventos A e B, com A, B  A são mutuamente exclusivos (disjuntos) se , ou seja, A .

  45. Propriedades de Eventos Independentes 1a.) O evento aleatório AA é independente de si mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1. 2a.) Se A e B são eventos aleatórios independentes pertencentes a A, então A e Bc, Ac e B, Ac e Bc também são independentes. 3a.) Se A e B são eventos aleatórios mutuamente exclusivos pertencentes a A, então A e B são independentes somente se P(A) = 0 ou P(B) = 0.

  46. A1 A3 ....... A2 • Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes • PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL  • Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatórios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto é, os Ai são disjuntos e Ai = . Então, os eventos Ai formam uma PARTIÇÃO DO ESPAÇO amostral .

  47. É importante observar DUAS COISAS, admitindo-se que a seqüência A1, A2, A3, ... seja FINITA ou INFINITA ENUMERÁVEL: 1ª.) Ai e Aic formam uma PARTIÇÃOAiA. 2ª.)  evento B A tem-se pois os Ai são disjuntos e, então, os B  Ai também são disjuntos e logo P(B) = P[ ]

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