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Método dos Mínimos Quadrados

Método dos Mínimos Quadrados. Motivação. A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros.

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Método dos Mínimos Quadrados

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Presentation Transcript


  1. Método dos Mínimos Quadrados

  2. Motivação • A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar • Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros

  3. Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados • Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança

  4. Método dos mínimos Quadrados

  5. Método dos mínimos Quadrados

  6. Método dos mínimos Quadrados

  7. Método dos mínimos Quadrados h(x) f(x) – h(x)

  8. Método dos mínimos Quadrados

  9. Método dos mínimos Quadrados h(x)

  10. Método dos mínimos Quadrados h(x)

  11. Caso discreto • Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos • Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma • Sendo m >= n

  12. O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que • h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x) • E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)

  13. Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk • O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima

  14. Minimizando os desvios • Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos • Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero

  15. Regra da Cadeia

  16. ...

  17. ...

  18. ...

  19. Propriedades • aij = aji – a matriz A é simétrica • Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução • Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)

  20. Exemplo • Seja o conjunto de pontos: • Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ

  21. 2,8464α = 5,8756 α = 2,0642

  22. Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada

  23. Para o caso contínuo • Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto • Como fazer para o caso contínuo?

  24. ...

  25. ...

  26. ... Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas

  27. Casos não Lineares • Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros • Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente • O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado • Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original

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