线性空间习题

线性空间习题 所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1．次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；解：不构成。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式。例如

2．设 是一个实矩阵，的实系数多项式的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；解：构成.令 | 为实系数多项式，是实矩阵} 则有由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条规则，故构成线性空间。

3．全体 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解：构成。因为实对称(反对称，上三角，下三角）之和、之倍数仍为实对称(反对称，上三角，下三角），故做成线性空间。

4．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；4．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；解：不构成。例如，以那个已知向量为对角线的任意两个向量，它们的和不属于这个集合。

5．全体实数的二元数列，对于下面定义的运算5．全体实数的二元数列，对于下面定义的运算解：构成。

6．平面上的全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：6．平面上的全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：解：不能构成。因为，不满足规则5。

7．集合与加法同6）数量乘法定义为： 解：不能构成。因为

8．全体正实数，加法与数量乘法定义为： 解：能构成。显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，且满足八条规则。

求下列线性空间的维数与一组基 9．数域上的空间解：的元素为

令于是是维，基是

10． 中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间解： i) 令，其余都是零，是对称矩阵所成空间的一组基，所以是维的。

ii)令 ，其余均为零, 是反对称阵所成空间的一组基，所以它是维的。

iii)令 是上三角阵所成空间的一组基，所以是维。

11．第3题8）中的空间 解：数1是“零”元，任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，取空间一非“零”元，例如，取2，对于任一正实数，可经2线性表出。所以此空间是一维的，2是一组基，或者说，任意非“零”元都可作的基。

12．实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中12．实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中解：因为

所以而下证线性无关。令

即其系数行列式故方程只有零解：线性无关，由它们作基，构成三维线性空间。

在中，求由基到基的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标.设在中，求由基到基的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标.设 13．在下的坐标；

解：

14． 在下的坐标；解：令

由前式得 代入后一式得

15.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题8）中的空间同构。15.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题8）中的空间同构。证：因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。

16.设 , 都是线性空间的子空间，且 证明：如果的维数和的维数相等，那么。证：设，可找到一组基因为且它们的维数相等，也是的一组基，所以

17.设 1)证明：全体与可交换的矩阵组成的一子空间，记作 2) 时，求 3) 时，求的维数和一组基。

证：1)全体与A可交换的矩阵的集合记为 构成子空间。 2) 时， 3)设为可与交换的矩阵，由第四章习题5可知，只能是对角矩阵，故维数为 ; 为一组基。

18.证明：和 是直和的充要条件是证：必要性：所以充分性（反证法）：设不是直和，那么零向量还有一个分解式：（1）

其中， 在式（1）中设最后一个不为零的向量是，那么式（1）变为这时因此，这与矛盾。，又

19.设 求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解：设与可交换，即

由对应元素相等，得 (1)

方程组(1)的系数矩阵秩为2，解空间维数为5。 与可交换的矩阵为可经表示，其一组基由上面得到

20.求由下列向量生成的子空间的交的基与维数。设20.求由下列向量生成的子空间的交的基与维数。设解：设交的向量则有即 (1)

算得且方程(1)的解空间维数为1，交的维数也为1。任取一非零解，得交的一组基：即它们的交为，是一维的，就是一组基。

21.设与分别是齐次方程组与的解空间， 证明：证：的解空间是维，取基为由

即其系数矩阵因此解空间是一维的，令基为

取 (1) 故向量(1)是的一组基。中任意元可经向量组(1)表示，从而

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