复变函数论

1. 复变函数论 主讲：王明华

2. 第七章 共形映射 §1 、 解析变换的特性 §2 、分式线性变换 1、分式线性变换及其分解 1、解析变换的保域性 2、分式线性变换的共形性 2、解析变换的保角性 ——导数的几何意义 3、分式线性变换的保交比性 3、单叶解析变换的共形性 4、分式线性变换的保圆性 §3 、某些初等函数所 构成的共形映射 5、分式线性变换的保对称性 6、分式线性变换的应用 §4、关于共形映射的黎曼 存在定理和边界对应 定理 1、幂函数与根式函数 2、指数函数与对数函数

3. 的像 定理1（保域定理）：设 在区域 内解析且不恒常数，则 也是一个区域。 证明：先证明 是开集，即证明任一点 是 的内点。设 ，并且 从而，可以找到一个正数 ，使得对于任何满足 的复数 ， ： 我们有 使得 。因此开圆盘 包含在 内，即 是 其次我们证明 的连通性，即证明在 内任意不同两点 及 可以用在 的一条折线连接起来。我们有 ，使得 。由于 D是一个 。函数 区域，在D内有折线 连接 及 ，在这里 把这条折线上每一条线段映射成 内一条光滑曲线，从而把 这折线映射 成 内连接 及 的一条光滑曲线 ： 第七章、共形映射 §1 解析变换的特性 1、解析变换的保域性 的内点。

4. 另一方面，由于 是 内的一个紧集，根据有限覆盖定理，它可以被 内有限个开圆盘所覆盖，从而在 内可以作出连接 及 的折线 。 推论：若 在区域 内解析，则 为区域。 定理2：设函数 在 解析，并且 ，那么 在 的一个邻域内单叶解析。 设函数 是区域 D内的解析函数。设 且 为 在 的旋转角，即 2、解析变换的保角性——导数的几何意义 2、1 导数辐角的几何意义

5. 注：像曲线 在点 的切线正向，可由原像曲线 在点 的切线正向 旋转一个角 得出。 仅与 有关，而与过点 的曲线无关，称为变换 在点 的旋转角。这也是导数的辐角的几何意义。 上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作的几何解释，下面再说明它的模的 几何意义。根据假设，我们有 由于 是比值 的极限，它可以近似地表示这种比值。在 所作映射下， 及 分别表示 z平面上向量 及 w平面上向量 的长度，这里向量 及 的起点分别取在 及 。当较小 时， 近似地表示通过映射后， 对 的伸缩倍数， 而且这一倍数与向量 的方向无关。我们把 称为在点 的伸缩率。这 注：旋转角与曲线的选取无关 2、2 导数模的几何意义 也是导数的模的几何意义。 注：伸缩率与曲线的选取无关。

6. 定义1：若 在点 的某邻域内有定义，满足 在 的伸缩率不变 1）、 下既保持大小又保持方向则称 2）、过 的任两条曲线的夹角在 是保角的。 在 在区域 定义2：若 在区域 内每一点是保角的，则称 内是保角的。 推论：若 在区域 内单叶解析，则 在区域 内是保角的。 定义3：若 在区域 内单叶且是保角的， 则称变换 在 内是共形的， 也称它为 内的共形映射。 2.3 保角性 3、单叶解析变换的共形性

7. 定理：若 在区域 内单叶解析，则 1） 将 共形映射成区域 2)反函数 在 内单叶解析，且 其中 是复常数，而且 ，称为分式线性变换 简记为 注1：在扩充平面上补充定义 注2： 在扩充平面上是一一的，从而是单叶的 注3： 所以， 分解为 §2 分式线性变换 1、分式线性变换及其分解

8. 1、1 整线性变换 设 ，则 ，从而 分解为 1)、 确定一个旋转 2)、 确定伸缩 3)、 确定一个平移 1.、2 反演变换 （关于单位圆周对称） （关于实轴对称） 分解为

9. 定义：扩充平面上有顺序的四个相异点 ，构成下面的量， 称为它们 的交比，记为 例1：求将 对应变为 的分式线性变换。 当其中有点是 时，不妨设 ，则 2、分式线性变换的共形性 定理1：分式线性变换在扩充复平面上是共形的。 3、分式线性变换的保交比性 定理：在分式线性变换，四点的交比不变。 注：三对点唯一确定一个分式线性变换

10. 定理：分式线性变换 将 平面上圆周（直线）变为 平面的圆周或直线。 证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、伸缩映射及 型的函数 所确定的 映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射 也把圆映射为圆即可。 4、分式线性变换的保圆性 规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的 在圆的方程 （如果a=0，这表示一条直线）中，代入 则得圆的复数表示：

11. 函数 把圆映射成为 其中a,b,c,d是实常数， 是复常数。 即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。

12. 关于圆周 在过圆心的同一射线,且 ，指 注：规定 关于单位圆周对称 定理：扩充平面上， 关于圆周 对称，且 关于 则 对称。 5、分式线性变换的保对称性

13. 例1：把上半 平面共形映射成上半 平面的的分式线性变换可以写成 其中 是实常数，而且 例2：求出把上半平面 共形映射成单位圆 的分式线性变换， 并且使上半平面一点 变为 例3：求出把上 的分式线性变换，并且使上半平面一点 共形映射成单位圆 变为 例4：求把上半 平面共形映射成上半 平面的的分式线性变换 使 6、分式线性变换的应用 符合条件：

14. 其中自然数 外,它处处的导数不为零,因而在这些点是保教. ,除了 我们又知道 的角形区域. 的单叶性区域为顶点在原点张角不超过 因此在角形区域 内是单叶的.于是 把角形区域 共形映射成角形区域 特别, 共形映射成 平面上除去原点及正 把角形区域 作为 的逆变换 §3、某些初等函数所构成的共形映射 1、幂函数与根式函数 幂函数 实轴的区域.

15. 将 平面上的角形区域 形映射成 平面上 的角形区域 例:将区域 共形映射成上半平面,使 变成

16. 的带形区域 例:求一变换将带形区域 共形映射成单位圆 因而在 在任意有限点均有 平面上是保角的. 我们又知道 的单叶性区域为平行与实轴宽不超过 的带形区域. 因此在带形区域 内是单叶的.于是 将带形区域 共形映射成角形区域 特别, 将带形区域 共形映射成 平面除去原点及正实轴 作为 的逆变换 将 平面上的角形区域 共形映射成 平面上 2、指数函数与对数函数 指数函数 的区域. (图略,祥见课本P302;304)

17. 定理1：扩充 平面上的单连通区域 ，其边界不止一点，则存在一个在 内单叶解析函数 ，它将 共形映射成单位圆 ； 1)、有界单连通区域 的边界分别为周线 ； 与 和 则 可以扩充 内 ，在 上 ，使在 2)、 将 共形映射成 连续，并将 双方单值且双方连续地变成 §4、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理 且当符合条件 时，这种函数就只有一个。 定理2：（边界对应定理）设

18. 本章《完》