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第二章 多速率信号处理 与小波变换

第二章 多速率信号处理 与小波变换. 郑宝玉 2007.3.21. 三、 多分辨率信号处理基础. Fourier 分析局限性及解决办法. Fourier 分析局限性 Gabor 变换与测不准原理 小波变换 STFT 与 WT 的比较. 小波变换与滤波器组. Fourier 分析局限性及解决办法. Fourier 分析局限性. 特点 - 定义了频率概念 - 分析了信号能量在各频率成分中的分布 局限 - 只能获得信号的整体频谱特性， 不能获得信号的局部频谱特性 - 不能描述和分析非平稳信号 典型例子

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第二章 多速率信号处理 与小波变换

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  1. 第二章多速率信号处理与小波变换 郑宝玉 2007.3.21

  2. 三、多分辨率信号处理基础 • Fourier分析局限性及解决办法 • Fourier分析局限性 • Gabor变换与测不准原理 • 小波变换 • STFT与WT的比较 • 小波变换与滤波器组

  3. Fourier分析局限性及解决办法 • Fourier分析局限性 • 特点 - 定义了频率概念 - 分析了信号能量在各频率成分中的分布 • 局限 - 只能获得信号的整体频谱特性， 不能获得信号的局部频谱特性 - 不能描述和分析非平稳信号 • 典型例子 傅立叶变换常用于进行谐波分析。但当傅立叶变换结 果谐波幅度很小，甚至可能被淹没时，利用传统的傅 立叶变换就很难获得可靠的结果，为此有必要研究信 号的局部特性，故引入小波变换。

  4. Fourier分析局限性及解决办法 • 定义： Gx(f, t) = F{x(τ)g(τ-t)} • 作用:将一维信号x(t)映射为时-频平面(t,f)的二维函数。 • 含义 - 把STFT看作是加窗付氏变换;在时刻t, 计算其“所有频率”分量 - 将STFT看作频率为f的BPFB;在频率f, 在“所有时间” 对信号滤波 • 优缺点 - 优点：研究信号的局部特性 - 缺点：局部分辨率都一样;时间频率分辨率相矛盾(测不准) - 原因：使用单一的窗口(基函数)，即基函数不变 • Gabor变换与测不准原理 为研究信号的局部特性,引入Gabor变换(STFT)

  5. Fourier分析局限性及解决办法 • 小波变换 • 小波变换的引入 为了为克服STFT的缺点，我们希望构造“可变”基函数, 即 构造: - 持续时间很短的高频基函数 - 持续时间很长的低频基函数 做到： - 在高频区，频率窗口很宽，而时间窗口很窄； - 在低频区，频率窗口很窄，而时间窗口很宽。 这时，信号分析滤波器相当于一个相对带宽恒定(常Q) 的滤波器组。小波变换就是利用这一思想构造出来的。

  6. Fourier分析局限性及解决办法 • 小波变换 • 小波基函数 在小波变换中，小波基函数由某函数伸缩平移得到： 式中 a为标度因子(scaling factor)起着类似于频率的作用 h(t) —— 小波母函数，简称母函数 ha,b(t)—— 小波基函数，简称基函数 • 易见，基函数与标度因子有着密切关系： • 对于大的a,基函数是母函数的展宽型，是一低频函数 • 对于小的a,基函数是母函数的缩小型，是一高频函数

  7. Fourier分析局限性及解决办法 • 小波变换 • 小波变换(WT)的定义 用小波基ha,b(t)取代富氏变换中的复指数基，即构成WT 如图所示。由图看见，WT的时-频分辨率是变化的，即 • 在高频区，WT的持续时间较短 • 在低频区，WT的频率宽度较窄 • 在中频区，WT与STFT具有相同的时-频分辨率

  8. Fourier分析局限性及解决办法 • STFT与WT的比较 • 共同点：STFT 与WT都可解释为：对每一分析频率f，用 中心频率为f 的带通滤波器(组)对信号x(t)滤波的结果 • 不同点 - 在STFT中,带宽Δf 与中心频率f 无关,Δf =c (带宽恒定) - 在WT中,带宽Δf 与中心频率f 有关,Δf/f =c (相对带宽恒定)

  9. 如何理解小波变换 • 波变换 傅立叶变换（正弦波）、沃尔什变换（方波） • 窗口变换 短时傅立叶变换 波变换和窗口变换都是固定基的变换 • 小波变换（任意） 典型例子： • 音乐－>无线谱：小波变换 • 五线谱－>音乐：小波反变换

  10. 小波变换与滤波器组 • 小波变换定义的进一步讨论 为便于后面讨论，将小波变换定义式写为 • 预备知识 其中小波基函数为其母函数的伸缩平移： 式中标度因子a的大小直接关系母波的展宽和缩小

  11. 式中 - 2m是t的标度因子 - 2-mn是t的平移 - 2m/2 是归一化因子，以保证 小波变换与滤波器组 • 预备知识（续） 如令 则上式变为 或

  12. 其中或 构成向量空间 的正交基  构成向量空间 的正交基( 为 的正交补空间)且 构成绝对可积平方空间 的正交基 小波变换与滤波器组 • 在多分辨率分析中, Mallat引入尺度函数(小波“父”函数) • （双尺度差分方程,基本递归方程）(4a) • 多分辨率分析 和小波函数(小波“母”函数)： • 设 则

  13.  具有如下性质 1) 2) 其中 3)  与 之间存在如下关系： 5) 存在和和分别构成 和 的正交基 • 小波函数 的重要价值: 它的伸缩平移生成 中的 一 组正交基 , 从而可将给定函数 进行小波分解： 4)且 小波变换与滤波器组 • 多分辨率分析(续)

  14. 子波变换与滤波器组 • 在实际应用中, 不必涉及尺度函数或子波函数, 而只需考虑 • 其系数 和 以及 等, 且其可看作 数字信号(滤波器)。 •  分析(Analysis)或分解(Decomposition) • 为了直接对子波变换进行工作,下面导出低尺度级(低分辨率 • 级)与高尺度级(高分辨率级)之间的关系. 由尺度方程： 令 , 有 小波变换与滤波器组 再令 m=2k+n, 则上式变为

  15. 设 ,则 根据 , 上式变为 小波变换与滤波器组 或 其中 即 同理

  16. ↓2 ↓2 式(10)的分解如下图所示：

  17. 设 ,则 小波变换与滤波器组 • 子波变换与滤波器组 •  综合(synthesis)或合成(composition) 或 将(4a)和(4b)代入上式，得 利用类似于上面的方法计算式(9)和(11)的系数，得

  18. ↑2 ↑2 式(11)的合成过程如下图所示：

  19. ↑2 ↑2 ↑2 ↑2 ↓2 ↓2 ↓2 ↓2 两级分解/合成的情况如下图所示：

  20. 完全重构条件 • 由此可见：小波变换可通过滤波器组来实现 • 假如信号x(n)或X(z)经小波或子带分解（分析滤波器组）后又经综合滤波器组合成为x’(n)或X’(z)。则X’(z)可能出现三种失真：混叠失真、相位失真和幅度失真。 - 要使整个系统输出没有混叠失真，须使 G0(z)H0(-z)+ G1(z)H1(-z)=o (a) - 要使整个系统输出没有相位失真和幅度失真，须使 G0(z)H0(z)+ G1(z)H1(z)=z-k (b) 结论：满足(a)和(b)的滤波器组称为无混叠、无失真滤波器组或完全重构滤波器组、式(a)和(b)称为完全重构条件。只满足(a)或(b)的滤波器组称为无混叠或无失真的滤波器组。

  21. 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数(尺度系数参数化) • 正则性与消失矩 (regularity&vannishing moments) • M倍(M带)尺度函数与小波

  22. 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数 • 工具与定义 •三类信号

  23. 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数 • 工具与定义 •傅氏变换 已知 定义 则(a)变为 迭代后变为

  24. 基本定理 考虑 有如下结论： 定理1:如果 是基本递归方程的解,且 ,则 定理2:如果 是基本递归方程的解,且 及 则当 时, 有 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数 定理3:若 是基本递归方程的解,且 则 满足(17)的滤波器称为正交镜像滤波器(QMF)。

  25. 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数 • 尺度系数的参数化(N=2时) 由定理1和3, 即式(13)和(17), 有 解得 其结果就是Haar尺度函数系数，也叫做长度为2 的Dauberchies系数[Dau92]。

  26. 当 时, 即得长度为4的Dauberchies系数： 当 时, 则退化为Haar尺度函数系数。 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数 • 尺度系数的参数化(N=4时) 由定理1和3, 即式(13)和(17), 有 和 解得

  27. 当 , 即得长度为6的Daubechies系数。当 , 则退化为长度为4的 Daubechies系数; 而当 , 则得Haar系数。 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数 • 尺度系数的参数化(N=6时) 由定理1和3, 即式(13)和(17), 可得

  28. 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数 • 尺度系数的参数化(N为一般时) 当N更大时，尺度系数h(n)的参数化更难。一种比较有效的方法是采用P.P.Viadyanathan提出的格型分解方法(见 Multirate Systems & Filter Banks, 1992)来计算。

  29. 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 尺度函数与尺度系数(尺度系数参数化) • 正则性与消失矩 (regularity&vanishing moments) • M倍(M带)尺度函数与小波

  30. K-正则性：如果尺度滤波器的z变换在 处具有K 个零点, 就说该尺度滤波器是K-正则性的。此时, 有 其中 是尺度系数h(n)的z变换, 而Q(z)在 处没有零点和极点。 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 正则性与消失矩 • K-正则性尺度滤波器 尺度滤波器:由基本递归方程(尺度方程)得到系数h(n) 的滤波器，也就是系数h(n)满足定理1和3的，即满足： 注意:这里我们定义了h(n)的正则性，而不是尺度函数 和小波函数的的正则性

  31. 正则性由尺度系数 组成的FIR滤波器传递函数 或其频率响应 来定义。 而尺度函数 的傅氏变换 与系数为FIR滤波器的频 率响应 之间的关系为 由此可以可以推断，因为 是一个低通滤波器,如 果它在 处有高阶零点,则 迅速衰减, 从而 是平滑的。这正是我们所希望的。 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 正则性与消失矩 (续) • K-正则性尺度滤波器(续)

  32. k阶矩： 的k阶矩分别定义为 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 正则性与消失矩（续） • k阶矩 离散k阶矩：h(n)和g(n)的离散k阶矩分别定义为 k阶矩的计算

  33. 这表明 是一个迅速衰减的波, 由此将Wavelets译为小波, 以强调其波幅小的一面; 其实具有消失矩性质的波不一定 是幅值很小的波, 而是持续时间很短的波, 因此, 有人认为， 子波比小波更符合“Wavelets”一词的含义。 与小波滤波器设计有关的若干问题 • 正则性与消失矩（续） • 消失矩 一般要求小波具有消失矩性质： 当k=0时, 有

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