ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО

1. ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНАПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАРНАСТАВНИ ПРЕДМЕТ:КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕТЕМА 4.ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕВАЉЕВО, 22.02.2012.

2. НАСТАВНА ТЕМА 4. ФУНКЦИЈА ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ УСЛОВНИ ЕКСТРЕМИ

3. 1.1. ПОЈАМ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ • Нека је X = R х R = R2 = {(x,y) | x  R  y  R} и нека је Z = R. Функција f: Х  Z која сваком уређеном пару (х, у) из Х додељује неки елеменат z из Z, назива се функција две независно променљиве и симболички записује z = f (х, у). • Променљиве х и у су независно променљиве, а променљива z је зависно променљива јер се њена вредност мења ѕависно од правила f и независно променљивих х и у. • Скуп X = D(f)  R2назива се домен функције, а скуп Z R кодомен функције f. • Функција z = f (х, у) има своје геометријско тумачење.

4. 1.1. ПОЈАМ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ • Пример 1: Дата је функција z = 3 – х – у. Одредити њену област дефинисаности. Шта представља дата функција у геометријском смислу? • Пример 2: Одредити област дефинисаности функције . • Пример 3: За које вредности х и у је дефинисана функција .

5. 1.2. ОСОБИНЕ ФУНКЦИЈА ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ • За особине функција две променљиве важе слични принципи као и код функција једне променљиве. Дакле, одређују су област дефинисаности, нуле, знак функције, парност, непарност, граничне вредности функције, изводи, монотоност, ... • Пример 4: Дата је функција z = х2 + у2 – 2х – 99 . Одредити особине дате функције.

6. 1.3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ • Функција z = f (х, у) тежи коначној граничној вредности В, кад х тежи ка а и у тежи ка b, ако за произвољно, унапред задато  (   0), постоји ()  0 такво да када је  х – а    и у - b   , онда  f (х, у) – В  . • Симболички се ово записује

7. 1.3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ • Пример 5: Одредити

8. 1.4. НЕПРЕКИДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ • Функција z = f (х, у) је непрекидна у тачки М (а, b) ако је . • Пример 6: Функција z = 3х + 2у – 1 је непрекидна у тачки (2, 2). • Пример 7: Функција z = [х] + [у] – 1 није непрекидна у тачки (3, 4).

9. 1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ • Парцијалним изводом првог реда функције z = f (х, у) по аргументу х у тачки М (а, b) назива се вредност прог извода функције f (х, b) у тачки М. • Ово се симболички означава • Парцијалним изводом првог реда функције z = f (х, у) по аргументу у у тачки М (а, b) назива се вредност прог извода функције f (а, у) у тачки М. • Ово се симболички означава

10. 1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ • Пример 8: Ако је z = f (х, у) = 3х2у3 + 3х – 2у + 5 одредити:

11. 1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ • Важне напомене: • Парцијални извод првог реда функције z = f (х, у) по аргументу х или аргументу у тачки М (а, b) је број. • Све тачке у којима постоји парцијални извод по х или парцијални извод по у образују функције fх`(х, у) или fу`(х, у). • Практично парцијални извод по х се добија по свим правилима диференцирања тако што се променљива у третира као константа • Практично парцијални извод по у се добија по свим правилима диференцирања тако што се променљива х третира као константа

12. 1.6. ТОТАЛНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ • Нека функција z = f (х, у) у тачки М(х,у) има парцијалне изводе и нека су они непрекидни. Тада се ираз назива тотални диференцијал функције z = f (х, у) • Пример 9: Одредити тотални диференцијал функције z = хеу + х - у2 + 3.

13. 1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА • Парцијалним изводима другог реда функције z = f (х, у) називају се парцијални изводи парцијалних извода функције првог реда.

14. 1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА • Диференцијал другог реда функције z = f (х, у) називају се диференцијал диференцијала првог реда функције. Дакле,

15. 1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА • Пример 10: Дата је функција z = (2х + 3у)2. Одредити парцијалне изводе другог реда. • Пример 11: Одредити парцијалне изводе другог реда и диференцијал функције z = (х + у)3 .

16. У једном послу функција добити у динарима је дефинисана релацијом d = 14xy(300 – x – y) где је хброј број радних дана, а уброј радника који реализују дати посао. Одредити број радника и број радних дана тако да се оствари максимална добит. Колика је та добит?

17. 1.8. ДЕФИНИЦИЈА МАКСИМУМА И МИНИМУМА • Функција z = f (х, у) има локални максимум у тачки М (а, b), ако је за све тачке (х, у) довољно блиске тачки М (а, b ) важи f (а, b ) >f (х, у). • Функција z = f (х, у) има локални максимум у тачки М (а, b), ако је за све тачке (х, у) довољно блиске тачки М(а, b ) важи f (а, b ) <f (х, у).

18. 1.9. ЕЛЕМЕНТАРНО ОДРЕЂИВАЊЕ МАКСИМУМА И МИНИМУМА • Пример 1: Дата је функција z = х2 + у2 + 2. Одредити локални минимум дате функције. • Пример 2: Дата је функција z = 2х - х2 + 4у - у2 . Одредити локални максимум дате функције. • Пример 3: Одредити екстремне вредности функције z = х3 + 3ху2 – 15х – 12у.

19. 1.10. ПОТРЕБАН УСЛОВ ДА ФУНКЦИЈА ИМА ЕКСТЕМНУ ВРЕДНОСТ • Ако функција f(х, у) достиже екстемну вредност у тачки М (а, b), тада су први парцијални изводи функције f (х, у) у тачки М (a, b) једнаки нули или не постоје, тј. • Тачке у којима су парцијални изводи првог реда једнаки нули или не постоје зову се стационарне тачке те функције.

20. 1.11. ДОВОЉАН УСЛОВ ЗА ЕСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА • Нека је М (а, b) стационарна тачка функције z = f (х, у). Тада: а) Ако је d2f (a, b)< 0, oнда је f(a, b) максимум функције f (х, у); b) Ако је d2f (a, b) > 0, oнда је f(a, b) минимум функције f (х, у); с) Ако је d2f (a, b) мења знак при проласку кроз (а, b), oнда је f(a, b) није екстремна вредност функције f (х, у);

21. 1.12. ЕКВИВАЛЕНТНА ТЕОРЕМА ЗА ДОВОЉАН УСЛОВ ЗА ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА • Нека је М (а, b) стационарна тачка функције z = f (х, у). Ако је А = fхх (а, b), В = fху (а, b) и C = fуу (а, b) и  = АС – В2. Тада за: а)  >0, функција f(х, у) има естремум и то * максимум ако је А < 0 (или С < 0); * минимум ако је А > 0 (или С > 0) b)  < 0, функција f (х, у) нема екстремум; с)  = 0, онда питање екстеремума функције у тачки М (a, b) остаје отворено и тражи додатна истраживања.

22. 1.13. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ • Пример 4: Дата је функција z = 3х + 4у + 5. Одредити екстремне вредности дате функције. • Пример 5: Дата је функција z = х2 + 4у2 – 2х – 24у. Одредити екстремне вредности дате функције. • Пример 6: Одредити екстремне вредности функције z = ху + 6.

23. 1.13. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ • Пример 7: Дата је функција z = х2 + у2 + 2. Одредити локални минимум дате функције. • Пример 8: Дата је функција z = 2х - х2 + 4у - у2 . Одредити локални максимум дате функције. • Пример 9: Одредити екстремне вредности функције z = х3 + 3ху2 – 15х – 12у.

24. 1.14. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ • Пример 10: Збир бројева а, b и с је 12. Одредити бројеве а, b и с тако да њихов производ буде највећи. • Пример 11: У једном послу функција добити у динарима је дефинисана релацијом z = 14ху (300 - х - у), где је х број број радних дана, а у број радника који реализују дати посао. Одредити број радника и број радних дана тако да се оствари максимална добит. Колика је та добит?

25. УСЛОВНА ЕКСТРЕМНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ

26. 1.15. УСЛОВНЕ ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА • Условним екстремумом функције z = f (х, у) назива се екстремум дате функције при чему променљиве х и у задовиољавају додатни услов (х, у) = 0. • За одређивање условних екстремних вредности формира се такозвана функција Лагранжа: F (x, y) = f (x, y) +  (х, у) где је  неодређена Лагранжова константа.

27. 1.16. ПОТРЕБАН УСЛОВ ДА ФУНКЦИЈА ИМА УСЛОВНИ ЕКСТРЕМУМ • Потребан услов за постојање условног екстремума своди се на систем од три једначине:  (х, у) = 0 . • Из овог система једначина се одређују вредности за х, у и , где одговарајуће тачке (х, у) представљају потенцијалне кандидате за тачке условног екстремума.

28. 1.17. ПОСТУПАК ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ УСЛОВНОГ ЕКСТРЕМУМА • Питање о постојању и карактеру условног екстремума у тачкама које потенцијално то могу бити решава се израчунавањем знака дугог диференцијала Лагранжове функције у тим тачкама при чему су dx и dy везани релацијама:

29. 1.18. ПОСТУПАК ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ УСЛОВНОГ ЕКСТРЕМУМА • Уколико је: • d2F (а,b) < 0, онда функција f(x,y) има условни максимум у тачки (а,b) • d2F (а,b) > 0, онда функција f(x,y) има условни минимум у тачки (а,b) • d2F мења знак при пролазу кроз тачку (а,b) , онда та тачка није тачка условног екстремума.

30. 1.19. ПРИМЕРИ • Пример 12: Дата је функција z = 3х + 4у + 5, при чему је х2 + у2 = 25. Одредити условне екстремуме дате функције. • Пример 13: Дата је функција z = х2 + у2 . Одредити условне екстремуме при услову 3х + 2у = 6. • Пример 14: Одредити условне екстремне вредности функције z = (х – 2)(у + 3) при услову х + у = 1.