IL SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE (SECONDA PARTE)

1. IL SISTEMA DI NUMERAZIONEDECIMALE(SECONDA PARTE) Prof. Daniele Baldissin

2. L’INSIEME N E L’INSIEME Z Tutti i numeri interi e positivi possono essere messi in un insieme che chiameremo N INTERO: senza resto, non c’è la virgola POSITIVO: con il segno +. Nota che il segno + non si scrive davanti a questi numeri N

3. Consideriamo ora l’operazione di somma. Se prendiamo due qualunque numeri appartenenti a N e li sommiamo, otteniamo sempre un numero appartenente a N: Numeri scelti: 3 e 6 Somma: 3 + 6 = 9 9 è intero e positivo. Dunque 9 appartiene ad N Si dice allora che l’operazione di somma è un’operazione interna ad N, perchè restituisce sempre un numero che appartiene a N E la moltiplicazione è un’operazione interna a N? Sì, prova a spiegare perchè.

4. Consideriamo ora l’operazione di differenza. Se prendiamo due qualunque numeri • appartenenti a N e li sottraiamo, cosa succede? • Si hanno due possibilità: • Il primo numero scelto è maggiore del secondo (es: 7 e 2) • Il primo numero scelto è minore del secondo (es: 2 e 7) • Nel primo caso la differenza è 5 perchè 7 - 2 = 5. 5 è intero e positivo. Dunque appartiene ad N. • Ma nel secondo caso, che succede? • 2 – 5 = ? Ma cosa mi sta chiedendo? Il professore è impazzito, non si può fare!

5. Nella scuola elementare ti hanno sempre detto che l’operazione non era possibile. Eppure pensiamoci un attimo: supponiamo che fuori ci sia una temperatura di 2 gradi e che durante il giorno essa scenda di 6 gradi. Quale sarà la temperatura adesso? Oops! Fa freddo! 2 – 6 = - 4 Ciò che voglio dire è che è possibile scendere al di sotto dello zero! E’ sufficiente mettere un segno “-” davanti al numero naturale.

6. Ci sono molti casi in cui i numeri con il segno meno (i numeri negativi) risultano molto utili. Ecco alcuni esempi: Se Marco presta ad Andrea 5 euro, Andrea si ritrova con un debito verso Marco di 5 euro. Questo in matematica si scriverà -5. Se sono al 5° piano e scendo con l’ascensore di 6 piani mi ritrovo al piano -1, cioè in cantina Se sono al mare e faccio un’immersione a 10 metri di profondità, mi troverò a 10 metri sotto la superficie del mare. Dirò che sono a -10 metri Come cambia la retta dei numeri che abbiamo studiato nelle lezioni precedenti?

7. In realtà prima non potevamo parlare di retta, ma solo di semiretta, dal momento che la linea aveva un punto di partenza in 0, detto origine della semiretta. Ora, tutto quello che dobbiamo fare è prolungare la semiretta a sinistra, mettere le tacche tutte alla stessa distanza l’una dall’altra e scrivere i numeri preceduti dal segno -. Ricorda una cosa importantissima. I numeri positivi insieme a quelli negativi vengono chiamati NUMERI INTERI RELATIVI e formano un nuovo insieme, detto Z, in cui N è contenuto.

8. In conclusione possiamo dire che la differenza non è un’operazione interna ad N, ma lo è rispetto a Z. Ciò significa che l’operazione differenza si può sempre fare in Z, anche se il primo numero è più piccolo del secondo, mentre questo in N non è vero. Andando avanti con gli studi scoprirai che esistono nuovi insiemi oltre a N e a Z che ti permetteranno di fare tutte le operazioni possibili. I NUMERI DECIMALI Abbiamo visto che nel nostro sistema numerico decimale ci sono 10 cifre (compreso lo zero). Abbiamo inoltre imparato a leggere numeri molto grandi raggruppandoli tre a tre. Abbiamo anche visto che il nostro sistema si dice decimale perchè usiamo 10 cifre, il che significa che servono 10 unità di un certo ordine per formare l’unità di ordine immediatamente superiore. Ora prendiamo la nostra retta e concentriamoci soltanto sulla prima tacca, quella che va da zero a uno. 0 1

9. Ingrandiamo tale tacca e, visto che il nostro sistema è decimale, la dividiamo in 10 parti uguali, ottenendo i decimi. 1 1 Ripetiamo il procedimento sulla tacca dei decimi, ottenendo così i centesimi 1 1

10. Se ripetiamo il procedimento sulla tacca dei centesimi, otterremo i millesimi. Ora osserva il tuo righello: fa la stessa cosa che abbiamo fatto noi, fermandosi ai millimetri. Ma in scienze noi siamo andati oltre. Abbiamo infatti incontrato l’unità di misura del micron (mm), detto anche micrometro. Questa grandezza era ottenuta prendendo un milllimetro (distanza tra la più piccola tacca del tuo righello e la successiva) e dividendolo ancora per mille. Quello che hai ottenuto è grossomodo la dimensione di una cellula.

11. Ora possiamo definire che cosa sono i numeri decimali: Non noti nulla di strano in questi numeri? Essi hanno la virgola. Dunque non sono interi. Dunque non appartengono nè a N nè a Z. A che insieme appartengono?

12. Appartengono ad un insieme che ancora non conosci e che contiene in esso sia N che Z: questo nuovo insieme, in cui metteremo tutti in numeri, anche quelli con la virgola, è chiamato insieme Q, l’insieme dei numeri razionali. Lo incontreremo spesso quando studieremo le frazioni. Per ora ricorda i simboli e la loro rappresentazione insiemistica.

14. RICORDA: 1)PER SCRIVERE IN ORDINE CRESCENTE I NUMERI DECIMALI DOVRAI GUARDARE LE CIFRE DOPO LA VIRGOLA ES: 4,315 > 4,305 perchè 1 (posizione del centesimo) è più grande di 0 2)UN NUMERO NATURALE PUO’ ESSERE CONSIDERATO COME UN NUMERO DECIMALE CHE HA LA PARTE DECIMALE COSTITUITA DA ZERI ES: 7 può essere scritto come 7,0 o come 7,00, etc.. Non cambia nulla. Ecco perchè N è incluso in Q