第八章磁场

第八章磁场 第一节磁场、磁感应强度一、磁场

同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引，磁铁或磁针间的相互作用是通过磁场来发生的。在磁铁周围存在着磁场，磁场也是一种特殊的物质，它具有能量，在空间也有一定的分布。除了磁铁周围存在着磁场，电流的周围也存在磁场。当然，地球表面也存在着磁场，我们习惯上叫做地磁场。同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引，磁铁或磁针间的相互作用是通过磁场来发生的。在磁铁周围存在着磁场，磁场也是一种特殊的物质，它具有能量，在空间也有一定的分布。除了磁铁周围存在着磁场，电流的周围也存在磁场。当然，地球表面也存在着磁场，我们习惯上叫做地磁场。

综上所述，在磁场和电流周围存在着磁场。磁铁与磁铁间，电流与电流将以及磁铁与电流见的相互作用都是通过磁场来发生的。为了描述磁场中各点磁场的强弱和方向，我们引入了磁感应强度这个物理量，它是一个矢量。 1822年安培提出了关于物质磁性的本质的假说，他认为磁性物质的分子中存在着回路电流——分子电流，这是一切磁现象的来源。

在磁场中放入一个正的试探电荷 ，当它以速度通过磁场中某定点P时，结果发现如下规律：由于磁场对运动电荷有力的作用，这个力我们叫洛伦兹力。在磁场中放入正的运动电荷，根据该电荷的受力情况来定义磁场中各点磁感应强度B的大小和方向。这一电荷称为运动试探电荷，简称运动电荷。运动电荷本身的磁场应该足够弱，以便使它不会影响我们所研究的磁场分布。二、磁感应强度

1、在点P，电荷 沿不同方向运动时，所受磁力F的大小不等； 3、当电荷的运动方向与P点的场强方向垂直时，所受磁力为最大，记为的大小与运动电荷和速度的大小成正比，但与乘积的比值却是确定的，与的值无关。由此可见，比值是位置函数，它反映了磁场的性质，于是，我们用比值定义该点的磁感应强度的大小，即： 2、当电荷的运动方向与P点的场强方向相同或相反时，所受的磁力为零；

磁感应强度的方向由正电荷 在该点所受到的最大磁力和速度的方向来确定的方向（右手定则）。综上所述，磁感应强度是描述磁场性质的物理量。磁场中某点的磁感应强度，在数值上等于单位正电荷以单位速度通过该点时所受的最大磁力。磁感应强度的单位是特斯拉（T）。

第二节电流的磁场 对于磁铁周围的磁场，如下图所示：

电流周围的磁场：对于一个特例，通电直导线电流产生的磁场，我们可以用右手（安培定则）来判断磁场的方向。电流周围的磁场：对于一个特例，通电直导线电流产生的磁场，我们可以用右手（安培定则）来判断磁场的方向。

一、毕奥-萨伐尔定律 为了求出任意形状的电流分布所产生的磁场，可以把电流分割成许多小段，每一小段中的电流强度为I ，我们称为电流元，它是一个矢量（），其方向为中的电流强度方向。为了定量地求出任意载流导线在空间某点所产生磁场的磁感应强度的大小，可以使用毕奥-萨伐尔定律。

电流元在真空中某点P的磁感应强度 的大小与电流元的大小成正比，与电流元到P点的距离r的平方成反比，与和径矢r的夹角（小于）的正弦成正比，即：（ --真空磁导率）的方向垂直于和所组成的平面，且、和三者满足右手螺旋法则(如下图)。

写成矢量形式： 毕奥-萨伐尔定律不可能直接用实验验证，因为实际上无法得到上述电流元。但应用它和场的叠加原理就可以计算载流导体所产生的磁场。

二、安培环路定理 安培环路定理的表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任意闭合曲线的线积分等于这闭合曲线所围绕的电流的代数和的倍。除了毕奥-萨伐尔定律以外，另外一个反映电流和磁场内在联系的重要规律就是安培环路定理，它也是电磁场理论的基本方程之一，用它同样可以求解电流周围空间的磁场。数学表达式：

应用安培环路定理可以求解 ，这个类似于静电场中的高斯定理，应用高斯定理可以求解。电流正负的规定：当电流方向与积分路线的绕行方向服从右手螺旋法则，即四指弯曲方向为积分路线的绕行方向，电流的方向与拇指的方向相同时，电流为正，反之电流为负。（解题步骤）

应用安培环路定理求解的方法步骤： 1、认真读懂并理解安培环路定理的表述； 2、根据磁场的分布选取合理的闭合曲线，一般来说，选取具有对称性的闭合曲线，例如：圆形、方形等。 3、规定闭合曲线的绕行方向（要么顺时针，要么逆时针）。 4、规定电流的正负，当电流方向与积分路线的绕行方向服从右手螺旋法则时，电流为正，反之电流为负。（积分路线的绕行方向即闭合曲线的绕行方向）返回

例：有一无限长直导线，通有I的电流。试用安培环路定理证明一下：距导线距离为 处的磁感应强度为。

三、磁通量 与电场中的电力线相似，人们常用假设的磁感应线来形象地描述磁场在空间的分布情况。在磁场中画一些曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点的磁感应强度方向相同，曲线的疏密反映磁感应强度的大小，这样的曲线叫做磁感应线。对于磁感应线的一个重要的结论：每一条磁感应线都是闭合的。磁通量：通过磁场中一个给定面积的磁感应线数。

在实际计算通过曲面S的磁通量时，是在曲面上取一微小面元 ，的法线方向n与该处矢量的夹角为，则通过的磁通量为：磁感应强度大小的另外一个规定：等于垂直通过单位面积的磁感应线条数。即：磁通量的单位：韦伯（wb）

此式叫做真空中磁场的高斯定理。

当电荷量为q的正电荷的运动速度 的方向与磁场平行时，洛仑兹力为零；当其运动速度的方向与磁场方向垂直时，洛仑兹力最大。第三节磁场对运动电荷的作用一、洛仑兹力

当电荷的运动速度与磁感应强度 之间成任意角度时，我们将速度分别分解在垂直于磁场方向和平行于磁场方向上的分量即：平行于磁场方向上的分量所受到的洛仑兹力为零。即此时洛仑兹力的大小为：写成矢量形式：

洛仑兹力的方向用右手螺旋法则确定（洛仑兹力的方向总垂直于由 和组成的的平面）。如果q是负电荷，则洛仑兹力的方向为由右手螺旋法则确定的方向（）的反方向。由于洛仑兹力的方向总是与运动电荷的速度方向垂直，因此它对运动电荷不做功，不会改变电荷运动速度的大小，只能改变它的运动方向。

分析：一个电荷量为q的正电荷以速度v垂直进入磁场后的运动情况。分析：一个电荷量为q的正电荷以速度v垂直进入磁场后的运动情况。结论2：在同一磁场中，q、m相同的带电粒子，尽管v不相同，但T和都是相同的。结论1：在同一磁场中，q、v相同的带电粒子，m越大，R就越大。 R又称作回旋半径

在一般情况下，如果带电粒子是倾斜进入一匀强磁场中，那么带电粒子将做螺旋线运动。在一般情况下，如果带电粒子是倾斜进入一匀强磁场中，那么带电粒子将做螺旋线运动。螺距：带电粒子运动一个周期，沿磁场方向运动的距离。

二、质谱仪 质谱仪：是利用磁场对运动电荷的作用，把电量相等而质量不同的带电粒子分开的一种仪器。它是研究同位素的一种重要工具。聚焦电场质谱仪由三部分组成速度选择器摄谱部分（如图）由粒子源发出的正粒子首先在聚焦电场中得到加速和聚焦获得一定初速度。

然后进入速度选择器当中，只有满足 的粒子才能无偏转地通过之间的空间。的粒子才能通过照相底片速度选择的结果是：返回

经过选择的具有一定速度的正离子穿过 后，进入一个只有匀强磁场的区域，的方向垂直图面向里。在这个区域内，离子在洛仑兹力的作用下作圆周运动。回旋半径：将代入得：

第四节磁场对电流的作用、磁矩 一、安培定律洛仑兹力告诉我们磁场对电荷有力的作用。电流是电荷定向移动形成的，以金属导线为例，导线中的电流是大量电子定向运动形成的。这样的通有电流的导线称为载流导线。将载流导线放在磁场中，载流导线要受到力的作用，这个力叫安培力，安培力实际上是导线中所有电子所受洛仑兹力的总和。接下来我们从洛仑兹力的角度出发推导一下安培力的求法。

在一载流导线上取一微分线元 ，并设载流导线横截面面积为S，导线中的自由电子数密度为n，则该线元中含有的自由电子的数目dN为：导线中每一个定向运动的电子所受到的洛仑兹力为：

那么，线元内所有的自由电子所受到的合力 为：安培力的方向用右手螺旋法则来确定，即右手四指由方向经小于的角度转向的方向，拇指的方向就是安培力的方向。又：得： —安培定律

例：用安培定律求垂直于磁场（匀强磁场）方向，长为L，电流为I的载流直导线所受的安培力。例：用安培定律求垂直于磁场（匀强磁场）方向，长为L，电流为I的载流直导线所受的安培力。即： F=IBL 安培力的方向是垂直于纸面向里的方向。

如果载流导线与磁场方向成一任意夹角 ，用安培定律同样可以得到：积分算安培力时，要先将矢量积分化为标量积分，即须将按坐标分解后，再积分。安培力的方向同样是垂直于纸面向里的方向。当载流导线处在非匀强磁场中，则各电流元受力的大小和方向都可能不同，则用：

例：一无限载流直导线与另一载流直导线AB互相垂直放置，电流强度分别为 和，AB长为，A端和长直导线相距为，求证导线AB所受的作用力为：

二、磁场对载流线圈的作用、磁矩 有一矩形线圈abcd，如果线圈的平面与磁场的方向成角，ab、cd这组对边与磁场垂直，电流方向如图所示。载流线圈在磁场中同样要受到安培力的作用，在安培力的作用下，载流线圈要发生转动，而转动的效应一般来说是用力矩来衡量的。接下来我们以矩形线圈为例来分析一下，它在磁场中受安培力的情况，及在安培力作用下的转动力矩。（如图）令：

与大小相等，方向相反，作用线在同一直线上，不会使线圈转动。与大小相等，方向相反，作用线不在同一直线上，这样的一对力我们叫力偶。返回

力偶可以表示为 ，力偶作用在刚体上，要使刚体发生转动，转动的效果我们用力偶矩来表示，简称力矩。则：

如果有N匝线圈，那么N匝线圈所受到的力矩为：如果有N匝线圈，那么N匝线圈所受到的力矩为：为了方便地研究载流线圈在磁场中的转动，我们常常给载流线圈的平面规定一个法线方向，使线圈平面成为一个有向平面。

若以线圈平面的法线的方向与 的方向的夹角代替角，则与的关系为：式中，N、I、S都是表示载流线圈本身特征的量，它们的乘积叫做线圈的磁矩，用表示。磁矩是一个矢量，其大小，它的方向是载流线圈平面的法线方向。则：

磁矩的单位是安·米2（A·m2） 磁矩写成矢量式为：线圈在磁场中受到安培力而转动的力矩写成矢量式为：磁矩是一个重要的物理概念。在原子中，核外电子绕核运动，因电子带电，从而形成一个环行电流，这电流与电流包围的面积之积，叫做电子的轨道磁矩。此外，电子和原子核都有自旋运动，与这些相对应地形成电子的自旋磁矩和原子核的自旋磁矩。这些概念在研究原子和分子光谱以及核磁共振现象中，都会经常提到。

第九章电磁感应 电流既然能够产生磁场，那么，能不能反过来利用磁场的作用来激发产生电流呢？电磁感应就是变化的磁场产生电场的现象，电磁感应现象的发现，不仅阐明了变化的磁场能够激发电场，而且还进一步地揭示了电和磁之间的内在联系。麦克斯韦在总结前人的理论和实践的基础上，指出变化的磁场产生电场，变化的电场又能够产生变化的磁场。进而建立了描述电磁场基本性质和规律的完整的电磁场理论—麦克斯韦方程组。这一理论预言了电磁波的存在，揭示了光的电磁本性。

第一节电磁感应定律 一、电磁感应的基本定律 1、电磁感应现象：当通过一个闭合回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生电流的现象。产生的电流叫做感应电流。产生感应电流的原因是：回路的磁通量发生了变化。

2、楞次定律：闭合回路中，产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去抵消或补偿引起感应电流的磁通量的变化。2、楞次定律：闭合回路中，产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去抵消或补偿引起感应电流的磁通量的变化。 3、法拉第电磁感应定律回路中出现感应电流，说明回路中存在电动势。这种由电磁感应产生的电动势，叫做感应电动势。法拉第指出：回路中所产生的感应电动势的大小与通过回路的磁通量对时间的变化率的负值成正比。

数学表达式： 式中的负号表示感应电动势的方向总是对抗引起电磁感应的磁通量的变化，这个公式同时也是楞次定律的数学表达式。对于N匝线圈：

例：长为L金属棒在匀强磁场中垂直切割磁感应线时所产生的感应电动势大小。例：长为L金属棒在匀强磁场中垂直切割磁感应线时所产生的感应电动势大小。设金属棒在dt的时间内移动了dx，回路的面积增加了，则在dt的时间内磁通量的的增加为：由法拉第电磁感应定律得感应电动势的大小：用楞次定律可以判断出感应电动势在回路中产生的感应电流的方向。感应电流的方向为逆时针方向。

金属棒垂直切割磁感应线时，产生的感应电动势的微观解释。金属棒垂直切割磁感应线时，产生的感应电动势的微观解释。电子在力的作用下将沿棒向下端移动，结果在棒的A端出现过剩的正电荷，下端出现过剩的负电荷这些正、负电荷在导体内产生一个静电场，方向由A指向D，平衡时：金属棒AD以速度v向右运动，棒内每个电子将受到洛仑兹力的作用，其大小为：力的方向指向D端。则导体内两端的电势差为：

感应电动势与感应电流的关系： 在一般情况下，磁场可以是不均匀的，在磁场中运动的导线的各部分速度也可以不同，并且v、B和导线的长度的方向三者也可以不相互垂直，这时可以在导线上选取线元矢量，的运动速度是，所在处的磁场为，则该线元所产生的感应电动势的大小为：（1）有感应电流就一定有感应电动势，但有感应电动势就不一定有感应电流；（2）只要导线的某一部分切割磁感线，则在导线的这部分中就要产生感应电动势；（3）当切割磁感线的那部分与外界构成闭合回路时，在回路中才会有感应电流。

使用上式计算时注意，当与 间呈锐角时，为正，即与原先所选定的同方向；当与间呈钝角时，为负，即与反方向。整个导线L所产生的感应电动势为：这种由于导线运动而产生的感应电动势，习惯上称为动生电动势。这就是发电机的工作原理，发电机是把机械能转化为电能的装置。

二、有旋电场 下图产生感应电动势的情况与导线在磁场中作切割磁感线运动产生的感应电动势的情况有相同之处，即线圈保持不动，而通过线圈回路的磁通量发生变化时，则回路中产生了感应电动势。这种感应电动势的起因不能用洛伦兹力来解释。

随时间变化的磁场所产生的电场与静电场不同，它的电力线是闭和的，与磁感线相似。这种电场是有旋场，叫做有旋电场，用 表示。在有旋电场的作用下，感应电动势等于单位正电荷沿闭和回路L移动一周时有旋电场所作的功，即：麦克斯韦首先分析了这种现象，他认为这是由于变化的磁场在它周围激发电场的缘故，只要磁场随时间变化，无论导体或回路是否存在这种电场总是存在的。

将上式代入法拉第电磁感应定律，得： 有旋电场和静电场的共同点是对电荷有力的作用。与静电场不同的是：静电场是有静止电荷激发的，而有旋电场是由变化着的磁场所激发的。静电场中电力线不闭合，总是从正电荷出发终止于负电荷，所以静电场的环流为零，即，式中是静电场，而有旋电场的电力线是闭合的，所以有旋电场的环流不为零，即：电子感应加速器就是利用这一原理来对电子进行加速，获得高能量的电子束的。

三、涡电流

第八章 磁场