第四章 矩阵

1. 第四章 矩阵 • §1 矩阵的概念 • §2 矩阵的运算 • §3 矩阵乘法的行列式与秩 • §4 矩阵的逆 • §5 矩阵的分块 • §6 初等矩阵

2. §1 矩阵的概念 • 在科学技术中，大量的各种各样的问题都提出矩阵的概念，甚至于有些性质完全不同的，表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是完全相同的。这就使矩阵成为一个极其重要的应用广泛的数学工具。当今国际上科学界最具影响力、也是最有活力的软件：

3. 下面先介绍提出矩阵概念的问题。 为什么引入矩阵呢？

4. 1、在解析几何中，平面直角坐标的转轴变换公式为：1、在解析几何中，平面直角坐标的转轴变换公式为： （1） 其中 为x轴与 轴的夹角。 此变换完全可由系数所 排成的2×2矩阵表示出来。 （2）

5. 2、在讨论国民经济的问题中，也常用到矩阵，如某物资有s 个产地 和n个销地 ，那么调用方案就可用一个矩阵来表示： • 其中 表示由产地 到销地 的数量。

6. 定义1 由 个数排成的s行n列的表 称为一个 矩阵。 • 以后我们用A,B,…或 来表示矩阵。有时也记为

7. 如果m=l,n=k，且 我们称A与B相等，记为A=B。 Back

8. §2 矩阵的运算 • 1、加法 • 定义1 设 则 称为A与B的和，记为C=A+B。 即对应元素相加。相加的矩阵必须有相同的行数及列数。满足 • 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C • 交换律：A+B=B+A。

9. 零矩阵 元素全为零的矩阵，记为 。 • A的负矩阵 A-B=A+(-B)。 • 2、乘法： 设 和 是两组变量，它们之间的关系为 怎么定义矩阵的乘法呢？

10. （1） • 又 与 关系为

11. （2） 由（1）、（2）不难得到 与 的关系

13. 定义2 那么 其中 称为A与B的乘积，记为C=AB。 • 注意：矩阵乘积要求A的列数与B的行数必须相等。

14. 如果用 令 则

15. 例1 设 • 那么

16. 矩阵的乘法满足结合律： A(BC) = (AB)C • 矩阵乘法不适合交换律。 （1）AB有意义，BA不一定有意义； （2）AB,BA都有意义，级也不一定相等； （3）即使AB,BA都是同级矩阵AB与BA也不一定相等。 如：

17. 矩阵乘法的消去律不成立。 即当AB=AC时， 不一定有B=C。 • 矩阵的乘法和加法适合分配律： A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA

18. 定义3 矩阵 称为n级单位矩阵，记为 ，或者在不致引起含混的时候简记为E。 • 定义矩阵的方幂：设A为n×n矩阵， • 满足 但 与 一般不相等。

19. 3、数量乘法 • 定义4 矩阵 称为矩阵 与数k的数量乘积，记作kA。 • 满足(k+l)A=kA+lA, k(A+B)=kA+kB k(lA)=(kl)A, 1A=A k(AB)=(kA)B=A(kB)

20. 数量矩阵： • 数量矩阵与所有的n×n矩阵是可以交换的，有 kA=(kE)A=A(kE). • 数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法，及有 kE+lE=(k+l)E, (kE)(lE)=(kl)E

21. 4、转置 • 定义5 所谓A的转置矩阵是指 或记为 。

22. 满足以下规律： • 下面验证第三条，设 AB中（i,j）元素为 所以 中（i,j）元素是

23. 其次， 中(i,k)的元素是 ， 中(k,j)元素是 ，因而， 中 (i,j) 的元素即为 比较上面两式即得第三式。 • 例 设 于是 Back

24. §3 矩阵乘积的行列式与秩 • 关于矩阵乘积的行列式有 • 定理1 设A,B是数域P上的两个n×n矩阵，那么 |AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积。 • 证明 在第二章定理7已证明。 • 推论1 设 是数域P上的n×n

25. 矩阵，于是 • 定义6 数域P上的n×n矩阵，A称为非退化的，如果 ；否则称为退化的。 • 显然一个n×n矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于n。 • 推论2 设A,B是数域P上的n×n矩阵，矩阵AB为退化的充分必要条件是A,B中至少有一个是退化的。

26. 关于矩阵乘积的秩有： • 定理2 设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上的m×s矩阵，于是 秩(AB) ≤min[秩(A)，秩(B)] （2） 即乘积的秩不超过各因子的秩。 • 证明 为了证明（2），只需证明 秩(AB) ≤秩(A)，同时秩(AB) ≤秩(B)。 设

27. 令 表示B的行向量， 表示AB的行向量.由计算可知，

28. 的第j个分量和 的第j个分量都等于 ，因而 即矩阵AB的行向量组 可经B的行向量组线性表示。所以AB的秩不超过B的秩，也即 秩(AB) ≤秩(B) 同样，令 表示A的列向量，

29. 表示AB的列向量，由计算可知 这个式子表明，矩阵AB的列向量组可以经矩阵A的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者的秩，即有 秩(AB) ≤秩(A) || • 推论 如果 ，那么 Back

30. §4 矩阵的逆 • 本节讨论矩阵乘法的逆运算。本节所讨论的矩阵是n×n的矩阵。 • E是n级单位矩阵，有AE=EA=A，所以E在方阵中的地位相当于1在复数中的地位。一个复数 ，则 。类似引入： • 定义7n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得 AB=BA=E (1)

31. 这里E是n级单位矩阵。 • 对于任意矩阵A，适合等式（1）的矩阵B是唯一的。 • 事实上，假设 是两个适合（1）的矩阵，有 • 定义8 如果矩阵B适合（1），那么B就称为A的逆矩阵，记为 。

32. 定义9 设 是矩阵 中元素 的代数余子式，矩阵 称为A的伴随矩阵。

33. 结论： （2） • d=|A|。如果d=|A|≠0,那么 （3） • 定理3 矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，且

34. 证明 当 时，由（3）可知，A可逆，且 （4） 反过来，如果A可逆，那么有 使 两边取行列式，得 （5） 因而 ，即A非退化。|| • 由定理3容易看出，对于n级方阵A,B，如果 AB=E，那么，A,B就都可逆，并且它们互为逆矩阵。定理3同时给出求逆阵的公式（4）。

35. 由（5）式可以看出，如果|A|=d≠0,那么 • 推论 如果矩阵A,B可逆，那么 与AB也可逆，且 • 证明 因为矩阵A,B可逆，所以 与AB的行列式不等于零，即可逆。将 两边取转置得 因此

36. 由 得 。 || • Cramer法则的矩阵推导： AX=B (6) 如果 ，那么A可逆。两边左乘 得 如果X=C，是（6）的另外一个解，那么由 AC=B，知 这就是说 是唯一的解。 • 定理4A是一个s×n矩阵，如果P是s×s

37. 可逆矩阵， Q是n×n可逆矩阵，那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ) • 证明 令 B=PA, 由定理2， 秩(B) ≤秩(A) ; 但是由 又有 秩(A) ≤秩(B) 。 所以 秩(A)=秩(B)=秩(PA)。另一个等式可以同样证明。|| Back

38. §5 矩阵的分块 • 本节我们介绍一个处理大型矩阵的方法，即矩阵的分块。我们把一个大矩阵看成一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成一样。在进行矩阵运算时，把这些小块当作数一样处理，这就是所谓矩阵的分块。 • 如

39. 其中

40. 因此

41. 一般，设 把A,B分成： （1）

42. （2）

44. 其中

45. 用矩阵分块证明r(AB) ≤min(r(A),r(B))

46. 所以AB的行向量可由B的行向量线性表出；同理，AB的列向量可由A的列向量线性表出。所以有所以AB的行向量可由B的行向量线性表出；同理，AB的列向量可由A的列向量线性表出。所以有 r(AB) ≤min(r(A),r(B))

47. 例 求矩阵

48. 的逆阵。其中 • 首先因为 |D|=|A||B| 所以A,B可逆时，D也可逆。设 于是 比较等式两边得到：

49. 解得 因此

50. 特别，当C=0，时，有 • 定义 形式为 的矩阵, 其中 是数, 称为对角阵。