结构化学习题解答

1. 结构化学习题解答

2. 第一章 量子力学基础知识

3. 第一章 量子力学基础知识 金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1，用它作光电池的阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？ [解]

4. 对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推导：对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推导： 结果得出的结论。错在何处？说明理由。 [解]：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达： 式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及力学公式： 知，1，2和4三步都是正确的。 微粒波的波长服从下式：

5. 式中， 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度，但3式中用了 ，显然是错的。 在4式中， 无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量，但5式中 仅仅是微粒 的动能部分，两个能量是不等的，因此5式中也是错的（若将E视为动能，则5式对，4式错）。

6. 电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度△ 为速度的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？ [解]：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为： 这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

7. 是算符 的本征函数，求本征值。 [解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 本征值和本征方程），得： 因此，本征值为 。

8. 下列函数哪几个是算符 的本征函数？若是， 求出本征值。 [解]：

9. 是否为本征函数？若是，求出其本征值。 [解]：

10. 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为： 式中 是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ ）。 计算： （a）粒子的能量； （b）粒子坐标的平均值； （c）粒子动量的平均值。

11. [解]：(a)由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量：[解]：(a)由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量： ①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量： 即

12. 将动量平方的算符 作用于波函数，所得常数即为 ： 即 将此式代入粒子的能量表达式，得：

13. 若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量：若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量： ①解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变分法的思路，选 为变分函数，用式： 进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍。

14. ② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件 ，箱长应该等于半波长的整数倍，即： 将此式代入de Broglie 关系式，得： 将此式代入粒子能量的一般表达式，得： 可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及△En随n,m及 等的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。

15. （b）由于 无本征值， 只能求粒子坐标的平均值： 粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱中心点是对称的。

16. (c)由于 无本征值.可按下式计算 的平均值。

17. 一维势箱中粒子的归一化波函数为： 式中 是势箱的长度， x是粒子的坐标 。 （a）分别画出n=1和n=2时粒子在势箱中的几率密度分布图； （b）计算粒子在区间出现的几率； （c）对照图形，讨论计算结果是否合理。

18. [解]：（a） 由上述表达式计算 ，并列表如下：

19. 根据表中所列数据作 图示于图1.17中。 （b）粒子在 状态时，出现在 间的几率为：

20. 粒子在 状态时，出现在 间的几率为：

21. (c)计算结果与图形符合。