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第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度. 一 . 斯托克斯公式 定理 1: 设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线 , Σ 是以 Γ 为边界的分片光滑的有向曲面 ,Γ 的正向与 Σ 的侧符合右手法则 , 函数 P(x,y,z) ,Q(xY,z),R(x,y,z) 在包含曲面 Σ 在内的一个 空间区域内具有一阶连续偏导数 , 则有 :. 注意 : 斯托克斯公式是格林公式的推广 ; 斯托克斯公式把曲面 Σ 上的曲面积分与 沿着 Σ 的边界曲线的曲线积分联系起来 . 证明 : 把斯托克斯公式分成三式. 现在证明 (1) 式 :. 条件 : 假定 Σ 与平行于 z 轴的直

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第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

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  1. 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 一.斯托克斯公式 定理1: 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ 的正向与Σ的侧符合右手法则,函数P(x,y,z) ,Q(xY,z),R(x,y,z)在包含曲面Σ在内的一个 空间区域内具有一阶连续偏导数,则有:

  2. 注意: 斯托克斯公式是格林公式的推广; 斯托克斯公式把曲面Σ上的曲面积分与 沿着Σ的边界曲线的曲线积分联系起来. 证明:把斯托克斯公式分成三式

  3. 现在证明(1)式: 条件:假定Σ与平行于z轴的直 线相交不多于一点,并设Σ为曲 面z=f(x,y)的上侧,Σ的正向边界 曲线Γ在xoy面上的投影为平面 有向曲线C,C所围成的闭区域为 Dxy.证明思路:先把(1)式左边化 为闭区域Dxy上的二重积分,再通 过格林公式与曲线积分联系. (1)式左边: z Σ:z=f(x,y) Γ y 0 Dxy x C

  4. 因为Σ的法向量的方向余弦为:

  5. (cosγds=dxdy) 上式右端曲面积分化二重积分时,z用f(x,y)代替, 由复合函数微分法,有 代入上式右端,得到

  6. 由格林公式,上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy的边由格林公式,上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy的边 界C的曲线积分,即 成立

  7. (此时,p[x,y,f(x,y)]在C上点(x,y)处的值与p(x,y,z)在Γ上对应(此时,p[x,y,f(x,y)]在C上点(x,y)处的值与p(x,y,z)在Γ上对应 点(x,Y,z)处的值是一样的,且两曲线上的对应小弧段在x轴上 的投影也一样) 若Σ取下侧,Γ也相应改成相反方向,上式仍 然成立,同样可证明其余二式: 成立

  8. 三式相加,得到 斯托克斯公式成立

  9. 2. 曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个的情况: 可作辅助曲面把曲面分为几部分,因沿辅助曲线而方向 相反的两个曲线积分相加时正好抵消,故对这一类曲面,公式 仍然成立. 3. 斯托克斯公式的行列式形式 为了便于记忆,斯托克斯公式可写为以下的形式 注意:在行列式展开 中,把“积”理解为

  10. 行列式的展开式为: 上式即为斯托克斯公式左端的被积表达式.当然,利 用两类曲面积分的联系,可得到斯托克斯公式行列 式的另一表达式:

  11. 其中n={cosα,cosβ,cosγ}为有向曲面Σ的单位 法向量.注意:若Σ是xoy平面上的一平面闭区域, 斯托克斯公式就变成格林公式,因此,格林公式是 斯托克斯公式的一个特殊情况

  12. 例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 z 1 n 被三个坐标面所截成的三角形 的整个边界,它的正向与这个三 角形上侧的法 向量之间符合右手法则. 解:按斯托克斯公式 被三个 y 0 Dxy 1 1 x

  13. 由于Σ的法向量的三个方向余弦都为正,又由于对称性,上式由于Σ的法向量的三个方向余弦都为正,又由于对称性,上式 右端为: 其中Dxy为xoy平面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成 被三个 的三角形闭区域.它的投影面积为1/2.故

  14. 例2 利用斯托克斯公式计算 曲线积分 z Γ (0,0,1) Σ y o (1,0,0) (0,1,0) 其中Γ是用平面x+y+z=3/2 截立方体:0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1的表面所得的截痕, 若从ox轴的正向看去,取逆时针方向 (1,1/2,0) x

  15. 解:取Σ为平面x+y+z=3/2的上侧被 Γ所围的部分,Σ的单位法向量 z Γ (0,0,1) Σ y o (1,0,0) (0,1,0) (1,1/2,0) x

  16. 因在Σ上,x+y+z=3/2 y X+y=3/2 1 1/2 x 1 1/2 X+y=1/2 其中Dxy为Σ在xoy平面上的投影区域, Σxy为Dxy的面积

  17. z n R L2 L1 y R x 例3 计算 其中L是x2+y2+z2=R2和x+z=R的交线,L的正向和矢量 n=i+k成右手系 分析:本题可为直接利用闭曲线积分计算,也可利用斯托克斯公式计算. 方法一: 把曲线积分化为对x的定积分.我们把积分曲线指明方向(如图,红的尖头)在L1(当x沿正向从R到0时),y为正的,在L2,x由0到R时Y为负的.

  18. z n R L2 L1 y R x

  19. 把闭曲线积分化为对x的定积分时,往往会出现双值函数(这里是y2=2xR-2x2 )积分需要 分段进行.显然是比较麻烦. 上面的计算是给大家一个最基本的处理这类问题的方法. 方法二 把积分曲线用参数方程表示,把原积分 表示为对参数的定积分

  20. 引入参数t,把曲线积分表示为如下的参数方程

  21. 方法三:利用斯托克斯公式,把闭曲线的积分化为在闭曲方法三:利用斯托克斯公式,把闭曲线的积分化为在闭曲 面上对坐标的曲面积分

  22. z n R L2 L1 y R x 因为平面x+z=R在xoz平面上 的投影为一直线 直线的面积为0

  23. 因为球和平面的交线在xoy平面 和yoz平面上的投影相同, 故它们相等 由上面分析,球面x2+y2+z2=R2和平面x+z=R的交线在xoy平面的投影是一椭圆,它的面积为πab,其中a为长轴的半径,b为短轴的半径

  24. 二.空间曲线积分与路径无关的条件 在第三节中,利用格林公式推出平面曲线积分与路径无关的条件完全类似地,利用斯托克斯公式,可推出空间曲线积分与路径无关的条件. 空间曲线积分与路径无关 相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零关于空间曲线 积分在什么条件下与路径无关的问题,有下面的结论

  25. 定理2 设空间区域G是唯一单连通域,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在G内具有一阶连续偏导数,则空间曲线积分 在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲 线积分为零)的充分必要条件是 在G内恒成立

  26. 证明: 如果等式 (5)在G内恒成立,则由斯托克斯公式(1) 立即看出,沿闭曲线的曲线积分为零,因此条件是充分的. 反之,设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零,若G内有一 点M0使(5)式中的三个等式不完全成立,例如 . 不妨假定 过点M0(x0,y0,z0)作平面z=z0,并在这个平面上取一个以 M0为圆心,半径足够小的圆形闭区域K使得在K上恒有

  27. 设γ是K的正向边界曲线.因为γ在平面z=z0上,所以设γ是K的正向边界曲线.因为γ在平面z=z0上,所以 按定义有 又由(1)式有 其中σ是K的面积,因为σ>0,η>0,从而

  28. 这结果与假设不符合,从而(5)式在G内恒成立.证明完毕.这结果与假设不符合,从而(5)式在G内恒成立.证明完毕. 应用定理2并仿照P149定理3的证明,便得到 定理3设区域G是空间一维单连通区域,函数P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数,则表达式 Pdx+Qdy+Rdz在G内成为某一函数u(x,y,z)的全微分的 充分必要条件是等式(5)在G内恒成立 当条件(5)满足时,这函数(不计一常数差)可用下式求出:

  29. 或用定积分表示为(按图取积分路径) M(x,y,z) z M0(x0,y0,z0) M2(x,y,z0) x y M1(x,y0,z0) 其中M0(x0,y0,z0)为G内某一定点 ,点M(x,y,z)∈G

  30. 例3 计算 其中Γ是螺旋线x=acosθ ,y=asinθ,z=hθ/2π (0≤θ ≤2π),从z轴正向看 为逆时针方向. z B y x o A 分析:Γ的起点为A(a,0,0),终点为B(a,0,h). 我们添加直线BA使它和Γ构成封闭曲线

  31. 三. 环流量与旋度 设斯托克斯公式中的有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法 向量为 而Σ的正向边界曲线Γ在点 (x,y,z)处的单位切向量为 则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线 积分表示为

  32. 设有向量场 在坐标轴上的投影分别为 的向量叫做向量场A的旋度,记作rot A,即

  33. 现在,斯托克斯公式可写成向量形式 其中

  34. 为rot A在Σ的法向量上的投影,而 为向量A在Γ的切向量上的投影沿有向闭曲线Γ的曲线积分 叫做向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量,斯托克斯 公式(9)现在可叙述为:向量场A沿有向闭曲线Γ的 环流量等于向量场A的旋度场通过Γ所张的曲面 Σ的通量,这里Γ的正向与Σ的侧应 符合右手规则.

  35. 为了方便记忆,rotA的表达式(8)可利用行列式记号为了方便记忆,rotA的表达式(8)可利用行列式记号 形式地表示为 而

  36. 最后,我们从力学角度来对rotA的含义作解释. 设有刚体绕定轴L转动,角速度为ω,M为刚体内 任意一点,在定轴L上任取一点O为坐标原点,作 空间直角坐标系,使z轴与定轴L重合,则Ω=ωk, 而点M可用向量r=OM=(x,y,z)来确定.由力学知道 ,点M的线速度v可表示为v=ω×r因此有

  37. 从速度场v的旋度与旋转角速度的这个关系 可见“旋度”这一名词的由来. 而

  38. 对坐标的曲面积分是同学容易丢分的内容之一,其原因是这部分内容中的概念与计算都比较复杂,在复习时没有把它真正搞清楚.对坐标的曲面积分是同学容易丢分的内容之一,其原因是这部分内容中的概念与计算都比较复杂,在复习时没有把它真正搞清楚. 对坐标的曲面积分和对面积的曲面积分不同,这里积分为有向曲面,它有两侧面之分,沿不同的侧面的曲面积分是不同的. 对坐标的曲面积分的基本方法仍然是化为重积分. (1)积分曲面为闭曲面时的计算方法 设积分曲面Σ为封闭曲面,则计算

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