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第六节 初 等 矩 阵. 主要内容. 初等矩阵的定义. 初等矩阵的性质. 两个矩阵的等价关系. 求逆矩阵的初等行变换法. 这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法. 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩. 阵的方法. 一 、初等矩阵的定义. 定义 13 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得. 到的矩阵称 为 初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 第 i 行. 第 j 行. 1. 对调两行或对调两列. 把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( r i  r j ), 得初.

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  1. 第六节 初 等 矩 阵 主要内容 初等矩阵的定义 初等矩阵的性质 两个矩阵的等价关系 求逆矩阵的初等行变换法

  2. 这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法. 一 、初等矩阵的定义 定义 13由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵.

  3. 第 i行 第j行 1. 对调两行或对调两列 把单位矩阵中第 i , j两行对调 ( ri rj ), 得初 等矩阵, 记为 P( i , j ) .

  4. 第 i行 2. 以数 c 0 乘某行或某列 以数 c 0 乘单位矩阵 E的第i 行 ( ri  c ) , 得初等矩阵, 记为 P( i(c) ) .

  5. 3. 以数k 乘某行(列)加到另一行(列) 以k乘E的第 j行加到第 i行上 ( ri + krj ) [或以k乘 E的第i 列加到第j列上 ( cj + kci ) ], 得 初等矩阵, 记为 P( i , j(k) ) .

  6. 第 i列 第 j列 第i 行 第j行

  7. 二、初等矩阵的性质 引理设 A是一个 s  n矩阵, 对 A施行一次 初等行变换, 相当于在 A的左边乘以相应的 s 级初 等矩阵; 对 A施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n级初等矩阵. 证明 我们只看行变换的情形，列变换的情 令 B = ( bij ) 为任意一个 s  s 矩阵, 形可同样证明. A1 , A2 , … , As为 A的行向量. 由矩阵的分块乘法,

  8. 第 i行 第 j 行 特别，令 B = P( i , j ) , 得 这相当于把 A的 i 行 与 j 行互换.

  9. 第 i行 第 i行 第 j 行 令 B = P( i (c) ) , 得 这相当于用 c乘 A的第 i行. 令 B = P( i , j(k) ) , 得 这相当于把 A的 j 行的 k 倍加到 i行.

  10. 2) 推论初等矩阵都是可逆知阵, 且 1)P( i, j )-1 = P( i, j ); 3)P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ). 在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化 如果同时用行与列的初等变换，那么还可 简矩阵. 为了方便，我们引入： 以进一步化简.

  11. 三、两个矩阵的等价关系 1. 定义 定义 14矩阵 A与 B称为等价，如果 B可以 由 A经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B . 2. 等价关系的性质 (i) 反身性A ~ A; (ii) 对称性若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.

  12. 4. 矩阵与其标准形的关系 定理 5任意一个 s n矩阵 A都与它的标准 形等价，并且其标准形的主对角线上 1 的个数等于 矩阵 A的秩 ( 1 的个数可以是零) . 证明 如果 A = O，那么它已经是标准形了. 经过初等变换，A一定可以 以下无妨假设 A O . 变成一左上角元素不为零的矩阵.

  13. 当 a11 0 时，把其余的行减去第一行的 ( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的 然后，用 乘第一行，A ( j = 2, 3, … , s ) 倍. 就变成

  14. A1是一个 ( s - 1 )  ( n - 1 ) 的矩阵. 对 A1再重复以 上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形. 显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1 的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个 数也就是矩阵 A的秩. # 例 1任意输入一个矩阵，用初等变换把它 化为标准形.

  15. 5. 两个矩阵等价的充要条件 根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应 的初等矩阵去乘这个矩阵. 因此，矩阵 A，B 等价 的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使 A = P1P2 … PlBQ1 Q2 … Qt.(1) n级可逆矩阵的秩为 n，所以可逆矩阵的标准 由 (1) 即得 形为单位矩阵； 反过来显然也是对的.

  16. 定理 6n级矩阵 A为可逆的充分必要条件是 它能表成一些初等矩阵的乘积： A = Q1 Q2 … Qm . (2) 由此即得 推论 1两个 s n矩阵 A，B等价的充分必 要条件是，存在可逆的 s级矩阵 P与可逆的 n级 矩阵 Q使 A = PBQ .

  17. 推论 2可逆矩阵总可以经过一系列的初等行 变换化成单位矩阵. 证明 设 A为可逆矩阵，则由定理 6 知，存 在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm使 A = Q1 Q2 … Qm , 把它改写一个，有 Qm-1Qm -1-1… Q1-1A = E . 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩 阵 A的左边乘初等矩阵就相当于对 A作初等行变 换，所以结论得证. #

  18. 四、求逆矩阵的初等行变换法 当 |A|  0 时, 由 A = P1P2 ... Pl, 有 Pl-1Pl-1-1 ... P1-1A = E, (i) 及 Pl-1Pl-1-1 ... P1-1E = A-1. (ii) (i) 式表明 A经一系列初等行变换可变成 E , (ii) 式表明 E经这同一系列初等行变换即变成 A-1 . 用分块矩阵形式, (i)、(ii) 两式可合并为:

  19. Pl-1Pl-1-1 ... P1-1(AE) = ( EA-1) , 即对 n× 2n矩阵 (AE) 施行初等行变换, 当把 A-1(AB) = (EA-1B) (AB) A变成 E时, 原来的 E就变成 A-1 . 利用初等行变换求逆矩阵的方法, 还可用于 求矩阵 A-1B. 由 可知, 若对矩阵 施行初等行变换, 当把 A变为 E时, B就变为 A-1B.

  20. 例 2设矩阵 用初等行变换法, 判断 A是否可逆? 若可逆, 求 A-1. 解

  21. 例 3用初等行变换法解矩阵方程 AX = B , 其中 解 初等行变换 故

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