Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники

1. Подготовка к ГИА модуль «Геометрия»Треугольники Соловова Светлана Алексеевна Полнякова Наталья Николаевна МБОУ СОШ №85 г. Ульяновск, 2014 г.

2. Высота, медиана, биссектриса треугольника Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника Перпендикуляр, проведенный из вершины треуголь-ника к прямой, содержащей противоположную сторону,называется перпендикуляром Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противопо-ложной стороны, называется медианой А А А М А1 Н АМ – медиана АА1 – биссектриса АН - высота

3. Средняя линия треугольника В Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. КМ – средняя линия Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны К М А С

4. Cерединный перпендикуляр а Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярна к нему А В а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ m Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему М m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, О – середина отрезка АВ М Є m АМ = ВМ А В О

5. Точка пересечения серединных перпендикуляров Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке В n m m, n, p пересекаются в точке О O С А p

6. Точка пересечения биссектрис треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке СК – биссектриса <С С АМ – биссектриса <А ВР – биссектриса <В О – точка пересечения биссектрис М Р О А К В

7. Точка пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке В Р О – точка пересечения высот О М А К С

8. Точка пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины С ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС О – точка пересечения медиан Р М О СО : КО = 2 : 1 АО : МО = 2 :1 ВО : РО = 2 : 1 А В К

9. Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним В В А С А С АВ = ВС АВ = АС = ВС

10. Свойства равнобедренного треугольника С В равнобедренном треугольнике углы при основании равны <А = <В В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой А В СК - биссектриса К АК = КВ, СК АВ АС = ВС Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

11. Прямоугольный треугольник Теорема Пифагора Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным В АВ и АС – катеты ВС - гипотенуза В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов А С ВС² = АВ² + АС²

12. Свойства прямоугольного треугольника Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90° В Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° 30° С А <A + < B = 90° < A = 30° CB = AB Если CB = AB, то <A = 30°

13. Признаки равенства треугольников I признак По двум сторонам и углу между ними II признак По стороне и прилежащим к ней углам III признак По трем сторонам B M В М B P А С К N К N А C А C K N Если <A = <K, AB = KM, AC = KN, то ∆ABC = ∆KMN Если <B = <P AB = KP, BC = PK, то ∆ABC = ∆KPN Если АВ = КМ, АС = KN, BC = MN, то ∆АВС = ∆KNM

14. Признаки равенства прямоугольных треугольников В М С К А N По двум катетам Если АВ = КМ, АС = KN, то∆АВС = ∆KMN По катету и прилежащему острому углу Если AB = KM, <B = <M, то ∆АВС = ∆KMN По гипотенузе и катету Если ВС = МN, АС = KN, то ∆АВС = ∆KMN По гипотенузе и острому углу Если ВС = MN, <B = <M, то ∆АВС = ∆KMN

15. Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон В АВ < ВС + АС АС < АВ + ВС ВС < АВ + АС А С

16. Сумма углов треугольника равна 180° A <A + <B + <C = 180° Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним <АВО – внешний C B О 16

17. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним <3 смежный с <4 <4 + <3 = 180° (<1 + <2) + <3 = 180° <1 + <2 = <4 2 1 3 4 17

18. Зависимость между величинами сторон и углов треугольника В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

19. Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого В1 В С А1 С1 А <A = <A1 , <B = < B1, <C = <C1, k – коэффициент подобия ∆АВС ∞ ∆ A1 B1 C1

20. Признаки подобия треугольников 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны Р В Если <A = <K, <B = <M, то ∆АВС ∞ ∆КРМ Если АВ : КР = АС : КМ, <А = <К, то ∆АВС ∞ ∆КРМ ∆АВС ∞ ∆КРМ А С К М

21. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180° Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе В Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему С А

22. Основное тригонометрическое тождество Теорема о площади треугольника sin² x + cos² x = 1 Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними a C b

23. Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов C а b B A c

24. Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними C а b B A c

25. Решение задач по готовым чертежам

33. №1. Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 15см. Найдите периметр этого треугольника. №2. Периметр равностороннего треугольника АВС равен 90см. Найти длину средней линии этого треугольника. №3. В равностороннем треугольнике АВС проведены средние линии. Найти периметр получившегося треугольника, если АВ=12см. №4. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите основание треугольника.

34. №5. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 20º. Найдите градусную меру угла при вершине. Ответ укажите в градусах. №6. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 96º? Ответ укажите в градусах. №7. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите площадь этого треугольника. №8. Основание равнобедренного треугольника равно 8, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника

35. №9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника. №10. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине В равен 110º. Найдите величину угла А. Ответ дайте в градусах.№11. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине С равен 117º. Найдите величину угла В. Ответ дайте в градусах. №12. В треугольнике АВС проведена высота СН. АВ=8, а СН= 5. Найдите площадь этого треугольника.

36. №13. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8√2. Найдите катет.№14. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6. Найдите площадь этого треугольника.№15. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота равна 3. Найдите площадь треугольника. №16. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу.

37. №17. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 9. Найдите площадь этого треугольника.№18. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а другой на 5 его больше. Найдите площадь треугольника. №19. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Найдите площадь треугольника.№20. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой. Найдите площадь треугольника.

38. Тестовые задания из КИМов части 1и части 2

39. 1.В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь равна . Найдите меньшую высоту.2. В прямоугольном треугольнике АВС высота, проведенная из вершины прямого угла равна 3, медиана, проведенная к гипотенузе равна 5. Найдите площадь фигуры, образованной вписанным и описанным кругами.3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.4.Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4, 5.5.Найдите площадь треугольника, медианы которого 10, 10 и 16.

40. 6. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что угол ВАС равен 60°, АВ =20, а медиана АМ равна 14.7.Найдите площадь треугольника две стороны, которого равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 5.8.треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 10. Найдите третью сторону. 9. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8, АС = 6, угол ВАС равен 60°. Найдите биссектрису АМ.10.треугольнике АВС известно, что АВ = х, АС = у, угол ВАС равен 120°. Найдите биссектрису АМ.

41. 11. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности. Если АМ = 6 и ВМ = 24.12. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12.13. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на части, равные 6 см и 4 см. Найдите радиус этой окружности14. В прямоугольном треугольнике с углом 60° вписана окружность радиуса .Найдите площадь этого треугольника.

42. 15. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины противолежащей стороны основанию, равно 5. Боковая сторона равна 10. Найдите длину радиуса. 16. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.17. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24, а радиус описанной около него окружности 13. Найдите боковую сторону треугольника. .

43. 18.Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ и углом 120° при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок, соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной окружности

44. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. 1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 120 м. Затем повернул на север и прошел 50 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик? Решение: Пусть мальчик находится в точке пересечения осей направлений. По т. Пифагора   х=√(1202 +502) = √16900 = 130     Ответ: 130   

45. 2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 240 м. Затем повернула на север и прошла 480 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 240 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка? 3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 42  минут? 1 час 42 мин = 1,7 часа 4*1,7 = 6,8 км - прошел мальчик 3*1,7 = 5,1 км - прошла девочка √(6,82+5,12)=√72,25 = 8,5 км - расстояние между ними

46. 4. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 30 минут? 1 час 30 мин = 1,5 часа 4*1,5 = 6,0 км - прошел мальчик 3*1,5 = 4,5 км - прошла девочка √(6,02+4,52)=√56,25 = 7,5 км - расстояние между ними

47. 8. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 9 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? Решение. Из подобия большого и маленького треугольников: х : (9+3) = 1,8 : 3 х : 12 = 0,6 х = 0,6*12= 7,2Ответ: 7,2

48. 9.Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 14 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? 10.Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,2 м. Найдите длину тени человека в метрах. Пусть х - длина тени.Из подобия маленького и большого треугольников следует: х / 1,7 = (х+15) / 10,2 10,2х = 1,7 (х+15) 8,5 х = 25,5 11. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.

49. №9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах. Решение: В <A + <B = 90° Пусть <A = x, тогда <B = 2х х + 2х = 90° х = 30° Ответ: 30° С А

50. № 9. (демонстрационный вариант 2013 г)В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. В Решение: <BAC = <BCA <BCA = 180° – 123° = 57° <ABC = 180° – 2·57° = 66° Ответ: 66° 123° С А