本学期课堂演讲学生的照片

1. 本学期课堂演讲学生的照片

2. 半开卷的期末考试 • 时间：12月22日（周日）晚7：00～8：40 • 地点：数学学院一楼第一教室 • 半开卷的含义： 不可以带入书和笔记等，但是可以 ——

3. “半开卷”的考试改革，学生带入考场的一张A4纸的正反面（请写姓名，考后回收）（ “半开卷”： 只允许带入考场一张A4纸， 可预先手写上任何东西—— 避免死记硬背； 提倡学懂学会 ）

5. 两道公开题（共30分） • 从素质教育的角度，具体谈谈你自己上“数学文化”课的体会。 • 结合具体例子来谈谈微积分学习中你印象最深刻的那种数学思想。 （每题的解答不少于300字。） 【请认真审题，独立完成。不要出现雷同答案。】

6. 数学的基本思想，主要可以有 • 数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想。 • 人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促进了数学科学的发展；通过数学审美，看到数学“透过现象看本质”、“和谐统一众多事物”中美的成份，感受到数学“以简驭繁”、“天衣无缝”给我们带来的愉悦，并且从“美”的角度发现和创造新的数学。

7. 当然，由上述数学的“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。 • 例如由“数学抽象的思想”派生出来的可以有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。 • 例如由“数学推理的思想”派生出来的可以有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，运筹的思想，算法的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。 • 例如由“数学建模的思想”派生出来的可以有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。 • 例如由“数学审美的思想”派生出来的可以有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等。

8. 举例说，“分类的思想”和“集合的思想”可以是这样由“数学抽象的思想”派生出来的： • 人们对客观世界进行观察时，常常从研究需要的某个角度分析联想，排除那些次要的、非本质的因素，保留那些主要的、本质的因素，一种有效的做法就是对事物按照其某种本质进行分类，分类的结果就产生了“集合”。把它们上升到思想的层面上，就形成了“分类的思想”和“集合的思想”。

9. 在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”。数学方法也是具有层次的。 • 处于较高层次的，例如有：逻辑推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分情况讨论的方法，等等。 • 低一些层次的数学方法，还有很多。例如有：分析法，综合法，穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方法，列表法，图像法，等等。

10. 数学方法不同于数学思想 • “数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的； • 而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。 • 数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。 • 数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。

12. 数学文化 第四章 第二节 “类比”的观点

13. 一、什么是类比 类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。 它是获得新思路，新发现的一种方法、一种手段、一种途径。

14. 合情推理不是证明 但是，类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，因为它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。 合情推理包括分类、归纳、类比、联想、猜测、直觉等，它们常常是得到新结论的方法和途径。合情推理对于探索规律和发现结论不可或缺；但是合情推理的结论可能正确，也可能错误，还需要依靠逻辑推理去证明或者证否。

15. “类比”举例 • “脑袋大、脖子粗，不是大款就是伙夫” • 把“分式”类比“分数”；把 “有理式的运算”类比“有理数的运算” • 把“多项式因式分解定理”类比“整数分解定理” • 一个固定的正四面体内任一点到4个面的距离之和,是否为一个定值？

16. A B n l P m C 类比：正三角形中任一点到三边的距离之和是一定值。 证明：可通过三角形面积去完成证明。如图： 三个距离 之和是一定值

17. 二、分割问题中的类比 1． 问题： 5个平面最多把空间分为几个部分？ 平面互相尽可能多地相交，才能分割最多。如果5个平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较少。但5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从“抓堆”和“抓三堆”趣味问题中学到的数学思想，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。

18. 2．问题一般化： n个平面最多把空间分为几个部分？ 记:分为 个部分;再令 把问题特殊化。

19. 3．问题特殊化： 从简单的情况做起，以便“类比” 4个平面的情况,如果类比得16，是错误 的（合情推理）；不易想清楚了。但想到要使 平面相交最多、最复杂，才能把空间分割最多。平面相 交最复杂，有两个含义，一是每个平面都与其它 所有平面相交，且任意三个平面都只交于一点；二是每个 平面都不过它以外任意三个平面的交点。

20. 由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？ 到底现在把空间分成了几个部分呢？ 暂难想象。曾经的实验…… 由此我们想到去类比 “直线分割平面”的情形。

21. 4． 类比3条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均 延长为直线，看这3条直线把平面分为几 部分。数一数，是7部分。这对我们有什 么启示？

22. ② ⑤ ⑦ ① ③ ④ ⑥

23. 我们观察并分析一下这7个部分的特点： 一个是有限的部分，在三角形内部，即① ；其余六个是无限的部分，其中②，③，④与三角形有公共顶点，⑤，⑥，⑦与三角形有公共边。 把它们加起来，于是1+3+3=7。 所以3条直线分割平面，最多分为7个部分。 这对我们有什么启示？能否由此运用“类比”的观点，思考“四个平面分空间”的问题？

24. ② ⑤ ⑦ ① ③ ④ ⑥

25. 5． 类比考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱（有6个部分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分空间总的部分数为 1+4+6+4 = 15 。 但是头脑要清醒：用的是类比；类比是合情推理，结论可能正确，也可能错误。 以下仍要考虑 这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间分为几个部分？

26. 这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是4条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，不如在“一般情形”下考虑问题： 个平面分割空间和 条直线分割平面。 条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任何两条直线都相交；任何三条直线都不共点。 个平面“处于一般位置”的要求是：任两平面都相交，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。

27. 进而，我们再类比直线上的问题： 个一般位置的点分割直线的问题。 这一问题的结论比较清楚： 个点最多把直线分为 个部分。 这对我们会有启发。 如果我们把极端情况——有零个分割元素的情况——也考虑在内，那么被“分割”成的部分数是1。 下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。

28. 6． 类比一般化 （解释记号 ，然后看图表）

29. 于是，我们得到了一系列待解决的问 题。弧立的问题有时难于理解，而解决系 列问题有时比解决弧立问题好入手。 现在，原问题 “ ” 已处在系列问题之 中，比之原来的情形，求解已有进展。

31. 7．（用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有什么规律性？ 从最右一列，先以为有“2的方幂”的规律，但8后边的 表明这个猜想不对。 反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有 3 4； 7 8 7 15， 以及联想到 3 + 4 = 7，7 + 8 = 15。 这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。

32. 表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。

33. 这是我们解决原问题的钥匙吗？我们 猜想它确是规律。那我们把该表按此规律， 顺沿到 ，原问题的解就是 ？

35. 类比不是证明 但这种类比不是证明，只是合理的猜测，是合情推理；它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比、归纳的方法去研究问题的决定性步骤。

36. 8．分析、推理 我们的分析从 “ 时直线分平面”入手。 2条直线最多把平面划分为4个部分。 3条直线分平面最多把平面分为7个部分，是我们数出来的，应该是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。 在2条直线分平面 为4个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），要想把平面分得部分数最多，这条直线就要与原来的每条直线都相交，但又不过原来两条直线的交点。

40. 3 + 4 = 7

41. 2条直线分平面为4个部分；3条直线就分平面为7个部分了，即增加了3部分；从2条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出3部分？分析一下：新添的直线与原来2条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了2个新交点，这2点把新添的直线分为3段，每一段把它穿过的（由前2条直线分成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了3个部分，这就是“3”的来历，而且这个分析表明，这个“3”也正是2点把直线分为3部分的“3”，也就是“7”左肩上的“3”。7=3+4原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。2条直线分平面为4个部分；3条直线就分平面为7个部分了，即增加了3部分；从2条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出3部分？分析一下：新添的直线与原来2条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了2个新交点，这2点把新添的直线分为3段，每一段把它穿过的（由前2条直线分成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了3个部分，这就是“3”的来历，而且这个分析表明，这个“3”也正是2点把直线分为3部分的“3”，也就是“7”左肩上的“3”。7=3+4原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。 下面对照表格，再说一遍。

43. 我们再分析 “ 时直线分平面”的情况，我们已经通过“顺沿上表”猜想：4条直线最多把平面划分为11个部分。它是正确的吗？我们在3条直线分平面 为7个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如下图。我们数一下，现在确实把平面分成了11个部分。所以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。

47. 4+ 7 = 11

48. 3条直线分平面为7个部分；4条直线就分平面为11个部分了，即增加了4部分；从3条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了3个新交点，这3点把新添的直线分为4段，每一段把它穿过的（由前3条直线分成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了4个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，这个“4”也正是3点把直线分为4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。3条直线分平面为7个部分；4条直线就分平面为11个部分了，即增加了4部分；从3条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了3个新交点，这3点把新添的直线分为4段，每一段把它穿过的（由前3条直线分成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了4个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，这个“4”也正是3点把直线分为4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。 下面对照表格，再说一遍。

50. 9．再类比得一般情形的公式 及 我们再类比分析 时平面分空间的情 况。这时我们不容易在平面的黑板或者PPT上作立体图 了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想 像。但是我们可以从思维上、语言上类比刚才 的情形。