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多項式方程式

多項式方程式. 網頁設計規劃書. 第四組 蔡瑋倫，吳柏萱，張哲誌. 教學內容大綱. 何謂多項式方程式 如何求一元二次方程式的根 有理根判定法 勘根定理 實係數多項式的代數基本定理 實係數多項式虛根成對定理. 1. 何謂多項式方程式？. 定義： f ( x ) = a 0 + a 1 x +…+ a n -1 x n -1 + a n x n ＝ 0 n Є N ， a 0 , a 1 , … , a n Є C ( 複數 ) 例子： 3 x 4 + x 2 - 7 = 0

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  1. 多項式方程式 網頁設計規劃書 第四組 蔡瑋倫，吳柏萱，張哲誌

  2. 教學內容大綱 • 何謂多項式方程式 • 如何求一元二次方程式的根 • 有理根判定法 • 勘根定理 • 實係數多項式的代數基本定理 • 實係數多項式虛根成對定理

  3. 1. 何謂多項式方程式？ • 定義：f (x) = a0 + a1x +…+an-1xn-1+ anxn＝0 nЄN ， a0 , a1 , … , anЄ C(複數) • 例子：3x4 + x2 - 7 = 0 • 反例：|x| + x2 + 3= 0

  4. 2.如何求一元二次方程式的根 • 因式分解法 將一元二次方程式整理成 ax2 + bx + c = 0(a,b,cЄ R且a≠ 0) 如果我們能將等號左邊因式分解成兩個一次多 項式的乘積，就可得此方程式的解。 下面的例子來說明這種解法。

  5. 2.如何求一元二次方程式的根 • 因式分解法 Example:求2x2 + 1 = 5x – 1 的解。 Sol:利用移項可把原方程式改寫為 2x2 - 5x + 2 = 0 因式分解後可得2x2 - 5x + 2 = (2x – 1)(x-2) 因此，原方程式可改寫為 (2x – 1)(x-2) = 0 可知2x – 1 =0 或x-2 =0 即 x = 或x =2。

  6. 2.如何求一元二次方程式的根 • 配方法 我們也可以利用平方根的概念來解方程式， 例如將x2 - 4x + 2 = 0 改寫為(x-2)2 = 2的形式 進而解得 x = 。

  7. 2.如何求一元二次方程式的根 • 公式解 雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較 為複雜，但觀察其過程，若避開繁複的運算 過程，直接將方程式的係數代入這個解的通 式，即可得到方程式的解，稱為公式解。

  8. 3.有理根判定法 設一方程式 f (x) = a0 + a1x +…+an-1xn-1+ anxn＝0 nЄN ， a0 , a1 , … , anЄ C(複數)，an ≠ 0 則 • 若 x = c 為 f (x) = 0的整數根→c∣ a0 • 若 x = 為 f (x) = 0 的有理根 →a∣an、b∣a0

  9. 3.有理根判定法 Example: 2x3 - 11x2 - 20x –7= 0有幾個有理根？ Sol：所有有理根有可能的值為 　± 1, ± 7, ± 1/2, ± 7/2 全部代入，發現只有-1/2為其根 故此方程式只有一個有理根

  10. 4.勘根定理 • 一元 n 次方程式，當n ≥ 3時，其解不容易求，但是我們可以利用勘根定理來判別其實數根之範圍。

  11. 4.勘根定理 • 設 f(x)為一個實係數n次多項式， a、bЄR 且 a < b。 若 f(a) × f (b) < 0， 則 f (x) = 0 在(a,b)之間至少有一實根。

  12. 4.勘根定理 S(-0.1) > 0 且S(-0.2) < 0 S(0.1)>0且S(0.3) < 0 S(0.3) < 0 且S(0.7)>0 則S(x)三次多項式 有三個實數解 x1 ， x2， x3分別在 -0.1 < x1 < -0.2 0.1 < x2 < 0.3 0.3 < x3< 0.7

  13. 5.代數基本定理 • 設 nЄN，對任意複係數 n 次多項式方程式必至少有一複數根。 • 推論： 設 nЄN，對任意複係數 n 次多項式方程式必恰有n 個根。(含重根與複數根)

  14. 6.實係數多項式虛根成對定理 • 若 f (x)為一實係數n次多項式方程式， 則 f(x)＝ 0 的虛根必成對出現，即： 若 f (a+bi) = 0 , a、bЄR , b ≠ 0 則 f (a-bi ) = 0

  15. 6.實係數多項式虛根成對定理

  16. 6.實係數多項式虛根成對定理例題 已知5及1  2i為實係數方程式 x3ax2bxc 0之二根，則 (A)另一根為1  2i (B) abc 10 (C) a 7 (D) b 15 (E) c 25。 【解答】(A)(D)

  17. 6.實係數多項式虛根成對定理詳解 實係數方程式有一根1  2i，則有一根1  2i 故x3ax2bxc 0三根為5，1  2i，1  2i ∴x3ax2bxc  (x 5)[x (1  2i)][x (1  2i)]  (x 5)(x2 2x 5) x3 7x2 15x 25 ∴a 7，b 15，c 25， 另一根為1  2i

  18. 7. 網頁設計想法與理念 • 簡單明瞭，不拖泥帶水 • 加深學生對概念的瞭解，而不是單純解題 • 將數學與生活做連結，進而引發學習興趣

  19. 8. 教學網頁教學目標 • 瞭解何謂多項式方程式，並知道求解的方法 • 學會活用勘根定理，並瞭解其原理 • 瞭解何謂代數基本定理，並能求出一個指定方程式所有的解

  20. 9. 網頁設計規畫與流程 • 第一步：蒐集資料 各組員獨立蒐集資料後，分析此章節所需要教學的目標，並深入探討彼此的關聯

  21. 9. 網頁設計規畫與流程 • 第二步：Do it! 著手架構網頁藍圖，並使用Word編輯方程式，以及GSP繪圖，再貼上至PowerPoint

  22. 9. 網頁設計規畫與流程 • 第三步： 著手建立網頁，並設計題目讓學生有獨立思考的空間，嘗試將互動教學融入其中。

  23. 10. 網頁教學設計流程 多項式方程式定義 如何求一元二次方程式的根 勘根定理 有理根判定法 實係數多項式的代數基本定理 實係數多項式虛根成對定理

  24. 11. 參考資料 • http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math2/93.htm • http://emath.kyu.edu.tw/formula/for06.html • http://www.ck.tp.edu.tw/xoops/custom/resource/article9612_3.doc • http://www.ck.tp.edu.tw/xoops/downloads1/98math_example.doc • http://w2.smsh.tpc.edu.tw/~hmath/1/3-5.doc • http://residence.educities.edu.tw/kuen/maths/roots.htm • http://tw.myblog.yahoo.com/jw!oqdI9ImfGRCf52tB2q0ALQ--/article?mid=88 • 98年課程綱要 • http://www.ck.tp.edu.tw/xoops/downloads1/98curriculum_math.pdf

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