笫三章气体分子统计分布率

笫三章气体分子统计分布率 §1、统计方法简介 §2、麦克斯韦分布律 §3、玻耳兹曼分布律 §4、能量均分定理

§1 统计方法简介 一、统计规律实验 A 1、掷骰子实验: 2、伽尔顿板实验: 伽尔顿板实验分布曲线统计规律是自然界中关于大量偶然事件的普遍规律。

二、概率及统计规律 1、概率：一定条件下，系列可能发生的事件中发生某一事件的可能性。 N 次实验, 出现 Ai 的次数 Ni 2、统计规律性：大量热运动分子组成的宏观物体系统，在一定宏观条件下系统所处的微观状态都是随机的，但每个随机事件出现的概率是一定的，与随机事件一一对应的任何量的统计平均值也是一定的。

3、概率归一化 归一化条件 4、平均值物理量的宏观量P是相应微观量 pi的统计平均值统计分布的最直接应用就是求平均值。

§2 麦克斯韦分布律 一、气体分子速率分布函数温度公式：设分子可能的速率值: 取速率区间: 第i个速率间隔中的分子数占总分子数的百分比或单个分子速率值落在区间内的概率。虽然单个分子的速率取值是偶然的, 但大量分子的速率满足一定的统计规律。例如温度T一定时, 大量分子的方均根速率是确定的.

平衡态时Ni/N是完全确定的,当v0时,Ni/(N v)与v无关, 仅是v 的连续函数，即速率分布函数。速率分布函数形式：物理意义：速率在 v附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比, 或某分子速率出现在v附近的单位速率间隔内的概率. 性质：满足归一化条件速率分布函数是概率密度函数，是单位区间上概率的大小。

速率范围v1～ v2内的分子数占总分子数的比率: 与气体热运动速率有关的物理量F(v)的平均值为: 已知f(v)是速率分布函数, 说明以下各式的物理意义：

二、麦克斯韦速度分布率 平衡态气体分子的速率及速度分布规律是Maxwell在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》中给出的。麦克斯韦速度分布率表达式为

麦克斯韦速度分布率及速率分布率的推导： ⑴以 dNvx 表示速度分量 vx 在 vx+dvx 之间的粒子数，用分布函数 g(vx) 表示在单位 vx 区间 dvx 宽度内出现的概率，则同理有

⑵假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出现在 vx ~vx+dvx， vy ~vy+dvy， vz ~ vz+dvz间的概率为: 式中为速度分布率

（3）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分布与粒子的速度方向无关，即速度分布函数只是速度大小的函数（3）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分布与粒子的速度方向无关，即速度分布函数只是速度大小的函数速度分布率可以写成要满足这一关系，函数应具有的形式，

具有无限大速率的粒子的概率极小，故A应为负值。具有无限大速率的粒子的概率极小，故A应为负值。令 A=-1/2 , 则分布函数应满足归一化条件，所以利用数学积分公式，可得麦克斯韦速度分布率：

三、麦克斯韦速率分布率 1、速度空间在半径为v，厚度为 dv、体积为的球壳内，粒子的速率v出现在同一速率区间 dv 内的概率相同。将速度分布率中的换成 ,得粒子在 v 到 v+dv 区间出现的概率由上式可得速率平方的平均值

2、确定常数α 压强微观公式理想气体状态方程速率平方的平均值麦克斯韦速度分布率及速率分布率表达式为：

f(v) A f(vp) dN 面积= N 0 vp v v+dv v 四、麦克斯韦分布律的特征 1、适用对象：平衡态的理想气体 2、分布曲线面积表示速度在该区间内的分子数占总数的比率

曲线的特点: f(v) A T1 f(vp1) T1<T2<T3 T2 f(vp2) T3 f(vp3) vp1 vp2 vp3 v a)有极大值vp，一边无限延伸, 最小值为0 ( v =0时)。 b)曲线随温度T变化: 当分子质量相同时, T升高，速率大的分子数增多，A点右下移, 分布变平坦。

f(v) A m1 f(vp1) m1>m2>m3 f(vp2) m2 m3 f(vp3) vp3 v vp1 vp2 c)曲线随质量m变化: 当温度相同时,粒子质量越大,大速率分子的数量越少，A点左上移, 分布变陡峭.

例氢气的温度是300K. 求速率在3000～3010ms–1之间的分子数与速率在1500～1510ms–1之间的分子数之比。解： Maxwell速率分布率： v～v+Δv区间内的分子数为：

蒸汽源 检测器 R D O  抽气抽气五、麦克斯韦速率分布的实验验证 1955年密勒(Miller)和库什(P.Kusch)的实验比较精确地验证了麦克斯韦速率分布定律。

密勒-库什实验装置及演示 当园柱体R以角速度ω旋转时，只有速率 v 满足速率选择条件的原子才能通过细槽。速率选择条件：改变ω，对不同速率范围内的原子射线测其强度，就可验证麦克斯韦速度分布率

应用麦克斯韦分布律计算有关问题时常用到的一些广义函数积分的递推公式应用麦克斯韦分布律计算有关问题时常用到的一些广义函数积分的递推公式

积分积分表

六、麦克斯韦分布律的应用 b.平均速率 1、平衡态下微观粒子的三种速率 a.最可几速率vp: 出现概率最大的速率 c.方均根速率三种速率在不同的问题中各有自已的应用

2、气体分子碰壁数与泻流 碰壁数(Γ): 单位时间内碰到单位面积容器壁上的分子数. 单位时间内速度在v～v+dv范围内碰撞器壁内表面(y-z面)面元dσ的分子数为：

单位时间内同dσ碰撞的各种速度的总分子数ΔN为：单位时间内同dσ碰撞的各种速度的总分子数ΔN为：利用积分公式

得碰壁数：把面元dσ挖掉成一小孔。当小孔很小，以致跑出的气体分子对容器内气体平衡状态的影响可以忽略，这样小孔的漏气现象称为泻流. Γ值就是单位时间内泄漏出单位面积小孔的分子数。

§3 玻耳兹曼分布律 一、气体分子在重力场中按高度的分布重力场中平衡态理想气体，考虑 z — z + dz 段: z z+dz p+dp z 即 p 两边积分： p0 0 p0 是 z＝0 时的压强。

由等温气压公式玻尔兹曼分子数密度分布率在登山运动和航空驾驶中常通过测压强p来估算高度.

保守力场中粒子按位置的分布率(玻耳兹曼数密度分布率)：保守力场中粒子按位置的分布率(玻耳兹曼数密度分布率)：在(x,y,z)～ (x+dx,y+dy,z+dz)空间内气体的分子数为：一个分子在(x,y,z)～ (x+dx,y+dy,z+dz)的概率为：玻尔兹曼位置分布函数（位置概率密度函数）

二、麦克斯韦－玻耳兹曼分布（MB分布） 保守力场中粒子按位置的分布率(玻耳兹曼分布率)：而粒子按速度的分布律（麦克斯韦速度分布率）为：

经典力学中位置和动量（或速度）互相独立，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相独立事件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒子按速度及位置的分布律为：经典力学中位置和动量（或速度）互相独立，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相独立事件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒子按速度及位置的分布律为：玻耳兹曼因子上式称为麦克斯韦－玻耳兹曼分布律，适用于保守场中的系统。

一、自由度 确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目. 刚性 i=5 非刚性 i=6 双原子分子：刚性: i=6 多原子分子：非刚性: i  3n §4、能量均分定理气体分子运动自由度：单原子分子：3个平动自由度, i=3

二、能量按自由度均分定理 理想气体的平均平动能为在平衡状态下每个平动自由度上的平均动能都等于kT/2

单原子 刚性双原子非刚性双原子刚性多原子非刚性多原子 i=3 i= 5 i= 7 i= 6 i= ? 平衡态时，各个自由度上运动的机会均等且能量均分，任何一种运动都不比另一种运动更占优势。能量均分定理：在温度为T的平衡态下, 物质分子的任何一个自由度上均分配有kT/2的平均热运动动能。分子的平均总能量 t：平动自由度数；r：转动自由度数；s：振动自由度数

三、理想气体的内能与热容 1mol理想气体的内能：  mol理想气体的内能：理想气体的内能是温度的单值函数 U =U(T) 理想气体定容摩尔热容：单原子分子气体双原子刚性分子气体

例求在温度为30℃时氧气分子的平均平动动能, 平均动能, 平均能量以及4.010-3 kg的氧气的内能(常温下可以认为是刚性分子，不考虑振动能)。解: 氧分子是双原子分子，平动自由度t=3，转动自由度r=2。平均平动动能平均动能平均能量内能

例星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中的逃逸速率与方均根速率之比。其中大气温度 T=290K, 地球质量Me= 6.0×1024kg, 地球半径Re=6.4×106m. 解: 设无穷远处引力势能为零,在地球表面附近大气层中的分子具有引力势能为：而对于气体分子，其方均根速率为分子逃逸条件：故两速率之比: 分子逃逸速率

◆气体的两速率比值愈小表明分子愈容易逃脱地球引力场作用空间，这是大气层中氢气和氦气成分远小于氮气和氧气的原因之一．◆气体的两速率比值愈小表明分子愈容易逃脱地球引力场作用空间，这是大气层中氢气和氦气成分远小于氮气和氧气的原因之一． ◆由K的表达式知，由臭氧层破坏形成温室效应及植被破坏等因素引起的温度升高都会降低地球周围大气的K值，从而改变大气结构并影响其稳定性，直接威胁到人类的生存环境。

本章基本要求 1、理解速率分布函数和麦克斯韦速率分布律，并能导出三种速率的统计值；了解速度分布律的意义； 2、了解玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼因子和粒子在重力场中按高度分布的公式； 3、掌握能量均分定理的意义及其物理基础，能由它导出理想气体内能公式；

笫三章 气体分子统计分布率