報告人：林琨和 指導老師：林再興 教授 謝秉志 助理教授

1. Type Curves for Dry CBM Reservoir With Equilibrium Desorption平衡(瞬間)脫附煤層甲烷氣層之典型曲線Gerami,S.,Pooladi-Darvish, M., Morad, K., Mattar, L.Journal of Canadian Petroleum Technology, Volume 47, Number 7, July  2008. 報告人：林琨和 指導老師：林再興 教授 謝秉志 助理教授 中 華 民 國 100 年 1 月

2. 大綱 • Introduction • Physical Model • Mathematical Model • Assumptions • Gas Desorption Model • Production Model • Validation • Discussion • Summary and Conclusion

3. Introduction • 煤層甲烷氣(CBM)是指從煤層生產的天然氣。煤層中的煤同時為生油岩(source rock)及甲烷氣的儲藏層。世界上CBM可能的資源總量預估約有143.2兆立方公尺(Gerling, 2004)。 • CBM地層為自然裂縫地層，其特性是有兩種不同的孔隙系統，包括有著極低滲透率的小孔(煤基)及大孔(自然裂縫或割理)。煤基中的孔徑小於 10埃，但煤基卻有極大的表面積(100~300 m2/g)(Marsh, 1965; Thimons, 1973)。因此，天然氣可大量吸附在煤表面。微孔中的氣很難流動至水中。但脫附氣可以擴散行為通過初級孔隙。大孔則接收微孔的天然氣，並提供滲透能力使流體流動。

4. Introduction (cont.) • 孔徑較大的孔隙系統，物質傳輸是以壓力梯度驅動，而在煤基中，物質傳輸是以濃度梯度驅動(Smith and Williams, 1984; Schwerer, 1984)。煤基中的擴散有三種不同的機制，擴散可以只受一個機制或兩個機制以上同時影響(Ahmed and Mckinney,2004)：(1)體擴散(bulk diffusion)，分子與分子相互作用影響；(2)努德森擴散(Knudsen diffusion)，分子與表面相互作用影響；(3) 吸附氣層的二維表面擴散(surface diffusion)。 • 煤層中甲烷氣為穩態時，擴散係數大多約為10-4~10-5cm2/s(Ahmed and Mckinney,2004)。這些實驗測定得到的擴散係數值是結合體擴散、克努森擴散和表面擴散而平均得到。 • 擴散效應可以藉著吸附時間來量化。吸附時間(sorption time)會等於脫附63.2%初始氣體體積所需的時間。這結果是由罐脫附試驗(canister desorption test)得到。試驗出來的時間會與裂縫間距與擴散係數有關(King and Ertekin, 1991)。

5. Introduction (cont.) • 從CBM地層生產天然氣主要有四個步驟，包括：(1)排水(dewatering)、(2)氣體從煤表面脫附、(3)氣體擴散至裂縫以及(4)氣體從裂縫流動至井眼(King and Ertekin, 1991)。 • 有兩種模式可模擬CBM地層天然氣生產(King and Ertekin, 1991; King and Ertekin, 1991; King and Ertekin, 1995)：數值模式及解析模式。 • 解析模式很適合機制研究進而提高對CBM生產過程的了解。但解析模式並不能模擬全部CBM生產過程中的複雜機制。 • 數值模式可以容納更多方程式的通式，可以處理CBM生產過程中更複雜的機制。

6. Introduction (cont.) • 回顧各種模式可知有兩種方法可以表達脫附/吸附的過程：平衡(瞬間) 和非平衡(time-dependent)脫附。 • 在非平衡模型中，必須考慮與時間有關的脫附/擴散過程，所以非平衡模型是雙孔隙模式再將煤基加上特別的儲存及傳輸機制。 • 平衡模型中是假設脫附/擴散的過程瞬間發生並且忽略脫附/擴散的力學機制。 • 本文的目的是建立在乾CBM地層中以平衡脫附的生產資料之分析技術。主要是解釋氣體脫附和與時間有關的井眼邊界條件造成的非線性。

7. Introduction (cont.) • Palacioand Blasingame(1993)與Agarwal et al.(1999)提到，使用物質平衡時間的概念，可以應用於在井眼的變動邊界條件，使壓力及產率的變化可以平滑及緩慢。 • 考慮到煤壓縮度在物質平衡和偽時間計算的影響，Jordan et al.(2006)將變動產率-壓力資料線性化，轉換成等同於定產率或定壓力的等值資料，也利用與傳統氣層相同的方法把CBM資料線性化。 Jordan等人利用單相CBM數值模擬器所產生的結果以Blasingame和Burdet典型曲線驗證此方法。 • Clarkson et al.(2006)也提出傳統單井分析技術分析單井乾CBM地層的適用性。

8. Introduction (cont.) • 本文介紹建立CBM地層有不可移棲初始水飽和度(可稱為乾CBM地層)之生產模式的方法。為此，生產模式是結合修正物質平衡方程式、擴散方程式和物質平衡偽時間，加上平衡脫附的過程得到。然後，結果是以數值CBM模擬器與各種地層參數進行驗證。

9. Physical Model • 本研究為圓柱形乾CBM地層，如圖-1。 • 在時間t = 0時，氣體從地層生產，造成的壓力逐漸減少，導致初始地層壓力(pi)降至低於吸附平衡壓力的壓力(p)。 • 隨著氣體的生產和壓力的下降，氣體從煤基表面脫附至裂縫。 • 因此，裂縫同時有著接收煤基內流體的作用及作為一個流至生產井的通道。 圖-1 圓柱CBM地層示意圖

10. Mathematical Model • 要建立乾CBM地層的生產分析方法需考慮到氣體流過地層中不同控容時，其脫附效應對連續方程式的影響(圖-1) 。 • 本文接下來詳述如何模擬天然氣井在不同操作條件之下的生產。 • 數學模式組成主要包含三個部分： • 一系列有助於模式建立的假設。 • 建立氣體脫附率受壓力影響之平衡脫附模式。 • 能描述地層動態的生產模式。

11. 1.Assumptions • 以下為有助於模式建立的假設： • 地層為均質且為水平地層。 • 地層為等厚。 • 地層為等溫。 • 煤層甲烷氣層為單相氣層。 • 忽略孔隙體積的壓實。 • 氣體脫附為瞬間發生，即平衡吸附。

12. 2.Gas Desorption Model • 煤層氣的吸附儲存行為在模擬時通常是用等溫吸附線來表達。等溫吸附線是氣體吸附體積對煤層壓力的數學關係式，最常用來模擬吸附行為的方程式為Langmuir等溫吸附線(King et al., 1986)，如下： 其中， VE為吸附氣體積(m3 gas/m3 coal)。 • 考慮到瞬間平衡的假設條件，任何時間脫附氣的體積可以式(2)表示： 其中Vd是煤單位體積的累積脫附氣量。

13. 3.Production Model • 生產模式由四個部分組成： • 物質平衡方程式 • 擴散方程式及其生產井以定產率或定壓生產之解 • 產能方程式(deliverability equation) • 物質平衡偽時間。 • 其中，每個部分都有進行修改，這是因為某些項原先適用於傳統天然氣層，但這時修改成適用於平衡脫附的過程。

14. 3-1.Material Balance • 傳統氣層利用真實氣體方程式推導出p/Z的方程式，同樣的方法一樣可用於CBM地層，只是還須額外考慮氣體在生產期間時的脫附行為。 • King (1990)建立兩種應用於煤層及Devonian頁岩氣層的物質平衡方程式。其中，煤層的模式是將Devonian頁岩氣層的非平衡脫附模式改為平衡脫附模式。根據King的方法，對平衡脫附的乾CBM地層的物質平衡方程式為： 其中Z*為修正氣體壓縮因子並定義為： • 式(3)是整個地層中(含煤基及裂縫)的物質平衡式，所用的假設與建立傳統天然氣物質平衡方程式所用的假設相同。

15. 3-2.Modified Diffusivity Equation • 油層的標準擴散方程式是考慮到流體流進及流出控容的質量流之差值來得到。而CBM地層的擴散方程式，除了需額外考慮脫附氣外，其餘得到擴散方程式的步驟是與傳統方法一樣。而由於CBM地層是氣層，所以需再考慮偽壓力，如此乾CBM地層之修正擴散方程式為： 其中，ct*是修改後的總壓縮度，可以式(6)表示(註：根據假設忽略地層壓縮度(cf )) ，ψ是偽壓力，可以式(7)表示。在式(5)中的(μct*)r, t項中的黏滯度則會受空間和時間影響(Lee, 1982)。

16. Modified Diffusivity Equation(cont.) • 式(6)中， cg是真實氣壓縮度 。此外，式(6)的cd是由Bumn and McKee (1988)提出的脫附壓縮度，定義如下： • 式(5)為一個非線性方程式。這是因為(μct*)r, t是受壓力及其偽壓力影響很大。Fraim and Wattenbarger (1987)指出，若能把壓力與時間定義為偽壓力及偽時間(以地層平均壓力估算)，則用於微可壓縮流體的流動方程式也可應用天然氣層。定義偽時間後(Lee and Holditch, 1982; Fraim and Wattenbarger ,1987; Spivey and Semmelbeck, 1995)，修改成考慮脫附行為的修正偽時間(ta*)並得到式(9)：

17. Modified Diffusivity Equation(cont.) • 利用修正偽時間，式(5)可近似線性擴散方程式(10)。因此，此微可壓縮流體的擴散方程式之解可適用於本模式。 • 修正擴散方程式(式(10))各項之定義，及在不同邊界條件下之解列於表-1和表-2。

18. Modified Diffusivity Equation(cont.) 表-1 Definition of important variables. 表-2 Solution of Equation(17) subjected to different boundary conditions (Sabet, 1991).

19. 3-3.Gas Deliverability • 修正方程式 (式(10))給定適合的邊界條件，可得地層中暫態或受邊界影響之解，但傳統產能方程式是用於預測受邊界影響的行為。 • 傳統氣層生產時是以定產率求解。給定定產率，在乾CBM地層的井底流壓變化一樣可以用傳統氣層的方法來得到，並可以修正物質平衡式(式(3))得平均地層偽壓力。乾CBM地層之產能方程式可以式(11)表示(Gerami, 2007)：

20. 3-4.Modified Material Balance Pseudo-Time • 井以定產率生產會得到井底流壓隨時間變化，而井以定壓生產則會得到產率隨時間變化，所以Palacio and Blasingame(1993)提出物質平衡時間的概念，目的在使生產時的變動流壓可與以定壓生產而得到的Fetkovich遞降典型曲線(Fetkovich, 1980)進行擬合。後來，Agarwal et al.(1999)證明物質平衡時間可將定壓力解轉換成更廣泛使用的定產率解，但是因為氣體的PVT特性，氣層的物質平衡時間需由偽壓力與偽時間來建立(Jordan et al.,2006)。 • 應用物質平衡的概念於乾CBM地層時，需考慮到修正物質平衡公式(p/Z*)及修正偽時間(ta*)。利用式(3)，所得之修正物質平衡偽時間即可以式(12)得到：(詳細推導過程於附錄B和Gerami(2007))

21. Validation • 接下來將進行數學模式分析生產資料的驗證。上面介紹的數學模式將與數值CBM模擬器(Fekete Associates, 2006)進行比較，此模擬器是一個氣水兩相且考慮黏滯度、毛細力及重力、煤基氣體吸附、氣體於煤基擴散且氣水於自然裂縫兩相流動的數值模擬器。 • 為了驗證建立的解析解，本研究比較數值模擬結果以及利用解析解建立的典型曲線。為此，計算出的壓力、產率和時間資料轉換成求解所需的偽值。Gerami(2007)有詳細說明如何轉換。

22. Validation(cont.) • 設計一圓柱乾CBM地層且井位於地層中心，地層半徑為1000英呎且厚度10英呎。在本案例中，地層溫度為 15.5°C，初始壓力為 3450 kPa(500 psia)。模擬計算所得之初始吸附氣為19.4*106std m3且自由氣為0.327*106std m3 。為了研究修正物質平衡偽時間的適用性，本文設計兩種生產操作條件，包括定產率和定壓生產。其他相關的物理特性列於表3。 • 進行模擬時，設計的單層地層劃分20圈。為了模擬平衡脫附，煤脫附時間設為0.01天。另外，為了確保數值結果的正確，本研究先前已比較兩種數值模擬結果一致(GEM和F.A.S.T. CBM)。

23. Validation(cont.) 圖-2(b) 定產率之解析解、模擬結果 與產能方程式之壓力比對。 圖-2(a) 解析解與模擬定產率 和定壓生產的p/Z*結果。

24. Validation(cont.) 圖-2(d) 解析解與模擬定產率 和定壓生產之結果。 圖-2(c) 定壓生產之解析解 及模擬結果之產率比對。 (產率呈現指數遞降)

25. Validation(cont.) • 結果的比對良好可代表暫態參數(transient parameters)(如滲透率和膚表因子)和邊界控制參數(boundary-dominated parameters)(氣埋藏量)的估算值可能是正確的。 圖-2(c) 解析解與模擬定產率 和定壓生產之壓力微分曲線

26. Discussion • 本文所建立的生產分析模式，其先決條件是煤基脫附氣體時是以瞬間脫附至裂縫。 • CBM地層要進行經濟開發，一般是受限於滲透率而非擴散能力(Hollub and Schafer, 1992)，這代表擴散對氣體生產能力的影響不大。若煤基的擴散時間遠小於地層中達西流動的時間，此種情況是合理的。在這種情況下，藉由氣體的達西流動和平衡脫附來得到的天然氣產量是可以計算得到。 • 對某些擴散為主要影響氣產量的情況，計算時則需要考慮到煤基和裂縫之間脫附/擴散的力學機制。此時需要使用雙孔隙模式(Ertekin and Sung, 1989; Anbarci and Ertekin, 1990)。

27. Discussion(cont.) • 本文建立的生產分析模型是假設滲透率是不隨壓力變化，但很多CBM地層的滲透率是受壓力/應力影響。對地層來說這種影響很重要，但本文的模式未考慮這種效應，若考慮則需定義不同的偽壓力以結合與滲透率有關的壓力。 • 雖然在本文模型建立中並未考慮地層壓縮度(cf)，但有些情況地層壓縮度影響很大，此時可將本文的總壓縮度(ct*)加上地層壓縮度做個簡單修正以考慮進去。

28. Summary and Conclusion • 本文已建立應用於瞬間脫附氣體的乾CBM地層生產之暫態壓力分析及生產資料分析的生產解析模式，其中，假設脫附行為是遵循Langmuir等溫吸附線。解析模式也與CBM模擬器進行比對並得良好的一致性。由此得出以下結論： • 利用以平均壓力計算所得之修正偽時間，可成功使擴散方程式線性化。 • 應用於傳統氣層的物質平衡偽時間一樣可以應用於瞬間脫附的乾CBM地層，其中脫附的影響是以平均地層壓力和總壓縮度來考慮。因此，本文建立的簡單模式可以用來分析乾CBM地層生產資料，並可以現有用於分析生產資料的方法來確定所有暫態參數(如滲透率及膚表因子)及邊界控制參數(氣埋藏量) 。

29. Appendix A: Modified Radial Diffusivity Equation • 附錄A介紹瞬間脫附之乾CBM地層中，氣體以徑向流動之線性擴散方程的推導。正如從圖1中可以看出，假設氣體的控容是由一個與氣從煤脫附速率相關的源項(source term)。根據前面假設，氣體的控容體積之物質平衡微分型式可表示為： 其中，qd*為氣體在時間為t、距離為r之下的氣體瞬間脫附率(每單位時間及每單位體積之氣體質量) 。 • 氣體瞬間脫附率(qd*)可以脫附氣體積的函數表示： 其中

30. Appendix A: Modified Radial Diffusivity Equation(cont.) • 式(A-3)代入式(A-2)，再代入式(A-1)可得： • 式(A-4)是假設徑向系統的壓縮流體遵循達西定律。式(A-4)等號右邊可用式(A-5)中氣壓縮的定義展開，並可得式(A-6)：

31. Appendix A: Modified Radial Diffusivity Equation(cont.) • 式(A-6)為CBM地層中氣體流動的主控方程式。式(A-6)等號左邊第一項是受流動影響，而第二項是受氣體脫附率影響。 • 主控微分方程式(式(A-6))因為氣體特性(如Z及μ)受壓力影響甚大，且式中有考慮脫附之影響項，所以為非線性。在數學上，非線性的方程式計算不容易，所以最好能線性化。若式(A-6)想進行減少非線性，則可使用Al-Hussainy and Ramey(1965)所提出的偽壓力，其定義為式(7) 。將式(7)代入式(A-6)後簡化可得式(A-7) ：

32. Appendix A: Modified Radial Diffusivity Equation(cont.) • 式(A-7)中含有Bumb and Mckee(1988)所定義的脫附壓縮度(cd)，並以式(A-8)表示為： • 修改總壓縮度傳統上的定義而寫成： • 接著，CBM的擴散方程式可定義為：

33. Appendix A: Modified Radial Diffusivity Equation(cont.) • 式(A-10)還是為非線性，因為其中的(μct*)r,t受壓力及其偽壓力影響很大。要達到完全線性，須先定義修正偽時間(ta*)為： 其中(μct*)p是以平均壓力所得的黏滯度與總壓縮度的乘積。 • 假設受時間空間影響的(μct*)r,t可用平均壓力所得的(μct*)p完全取代，即可定義修正偽時間。使用連鎖律和定義的偽時間(式(A-11))，可得式(A-12)為：

34. Appendix A: Modified Radial Diffusivity Equation(cont.) • 若式(A-10)等號右邊項可近似於(μct*)p ，擴散方程式即可線性化。藉此假設，可寫成(A-13)： • 式(A-13)成為線性方程，並可得到描述微可壓縮流體於乾CBM地層的線性方程式之解。 • 偽時間需要知道地層壓力隨時間變化，而地層壓力可從修正的物質平衡方程式(式(3))得到。

35. Appendix B: Material-Balance Pseudo-Time for Dry CBM Reservoirs with Equilibrium Desorption. • 為了建立乾CBM之物質平衡偽時間，式(3)必須根據偽壓力及時間重新編寫方程式。式(3)以導數形式可以得到式(B-1) ： • 式(B-1)中分子的一階導數和分母的導數是式(3)對時間和壓力的導數。式(B-1)中分子的二階導數是偽壓力對壓力的導數。接著可以得到式(B-2) 。

36. Appendix B: Material-Balance Pseudo-Time for Dry CBM Reservoirs with Equilibrium Desorption.(cont.) • 式(B-2)分母的導數項(∂Z*/∂p)，可根據流體及地層特性得到。其結果再代入式(B-2)且簡化為式(B-3)： • 其中修正總壓縮度(ct*)可由式(B-4)得到。 • 式(B-4)代入氣壓縮度(cg, 式(A-5))和脫附壓縮度(cd, 式(A-8)) ，修正總壓縮度為：

37. Appendix B: Material-Balance Pseudo-Time for Dry CBM Reservoirs with Equilibrium Desorption.(cont.) • 對於傳統氣層，Langmuir壓力(VL)為0且修正總壓縮度(ct*)為氣壓縮度(cg)。式(B-3)積分後並對q(t)移項可得： • 定義修正物質平衡偽時間(tca*)，列於式(B-7) 。 • 結合式(B-6)及式(B-7)，可得式(B-8) 。 • 從式(B-8) 可以看出在定產率生產的情況下，物質平衡偽時間會與偽時間相等，即tca*=ta*。

38. 報告結束敬請指教