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数学分析实验 － Mathematica 软件的应用

数学分析实验 － Mathematica 软件的应用. 自然数的倒数组成的数列 称为调和数列。它的前 n 项和数列 记作 H ( n ) 。. 数学实验实例一. 调和数列研究. 1 、调和数列. 2 、提出问题： H ( n ) 是否收敛？. 我们借助于数学软件 Mathematica 对 H ( n ) 的收敛性进行观察。. Step1 定义前 n 项和 H ( n ) H[n_]:=Sum[1/k,{k,1,n}]. Step2 列出 H ( n ) 随 n 变化的数据表

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数学分析实验 － Mathematica 软件的应用

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Presentation Transcript

  1. 数学分析实验－ Mathematica软件的应用

  2. 自然数的倒数组成的数列 称为调和数列。它的前n项和数列 记作H(n)。 数学实验实例一 调和数列研究 1、调和数列

  3. 2、提出问题：H(n)是否收敛？ 我们借助于数学软件Mathematica 对H(n)的收敛性进行观察。 Step1 定义前n项和H(n) H[n_]:=Sum[1/k,{k,1,n}] Step2 列出H(n)随n变化的数据表 t=Table[{n,N[H[n],6]},{n,1,100}]

  4. Step3 根据数据表画出H(n)的图形 ph1=ListPlot[t]

  5. 通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对数函数的图象。我们把它与对数函数 y=lnx的图象一起比较一下。 Step4 与对数函数 y=lnx 作比较 ph2=Plot[Log[x],{x,1,100}] Show[ph1,ph2]

  6. 根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H(n)的图象与ln(n)的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。这个常数约为根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H(n)的图象与ln(n)的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。这个常数约为 C=H(100)-ln100≈0.5822. 我们将 lnx 的图象向上平移C个单位后再进行观察。 c1=H[100]-Log[100] ph3=Plot[Log[x]+c1,{x,1,100}] Show[ph1,ph3]

  7. 猜测1 调和数列的前n项和H(n)是发散数列，它的数值与ln(n)+C 很接近。 猜测2 数列H(n)- ln(n)可能是收敛的。

  8. Step5 用计算数据作印证 对充分大的n，计算H(n)-ln(n)的值： t2=Table[N[{n,H[n],Log[n],H[n]-Log[n]},10], {n,1000,10000,1000}] 可以得到如下的数据表：

  9. 3、研究数列H(n)-ln(n)的收敛性 Step1 令C(n)=H(n)-ln(n)，通过图象观察其特性： Cup[n_] :=H[n]-Log[n] tup=Table[ {n, N[Cup[n],6]},{n,1,100}] ph4=ListPlot[tup,PlotStyle->RGBColor[0,0,1]] Step2 令c(n)=H(n)-ln(n+1)，通过图象观察其特性： Clow[n_] :=H[n]-Log[n+1] tlow=Table[ {n, N[Clow[n],6]},{n,1,100}] ph5=ListPlot[tlow,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

  10. Step3 比较C(n)和c(n)，在同一坐标系中作出它们的图象。 Show[ph4,ph5]

  11. 通过观察可知如下事实： 1、C(n)是单调递减数列； 2、c(n)是单调递增数列； 3、c(n) ≤ C(n)； 4、c(n)，C(n)都是收敛数列，而且它们有相同的极限。

  12. 结论： 极限 存在。 4、结论与证明 把这个极限值记为C，C ≈0.5772，称为欧拉（Euler）常数。

  13. 数学实验工具 常见的数学工具软件： 1、Mathematica； 2、Matlab； 3、Maple； 4、MathCad. 我们主要使用Mathematica这一数学工具软件。

  14. Mathematica介绍 Mathematica是一个功能强大的数学工具软件，具有数值计算、符号演算、图象制作、公式编辑和编程等各项功能。 1、运行和退出Mathematica系统。 2、界面介绍。 3、输入和计算表达式。 4、保存和打开文件。 5、使用帮助系统。

  15. 变量与函数 一、Mathematica中的数据类型 Mathematica系统中，数值分成四种类型：整数、有理数、实数和复数。 整数型数据可以表示任意长度的精确整数，不受计算机字长的限制。 如：264； 最大素数 21257787-1等。

  16. 有理型数据可以精确表示任意的既约分数，当两个整数相除而又不能整除时，就用有理数型表示。有理型数据可以精确表示任意的既约分数，当两个整数相除而又不能整除时，就用有理数型表示。 如：3/39. 实数型数据可以表示任意精度的近似实数。 如：Pi. 复数型数据可以表示复数，其实部和虚部可以是整数型、有理型或实数型。 如：I2；Arg[1+I].

  17. Mathematica中的数据类型

  18. 二、系统中的数据常数

  19. 三、函数与变量的命名规则 在Mathematica系统中，变量名和函数名遵从如下命名规则： （1） 以字母开头的任意长度的字符或数字串； （2） 区分大小写； （3） 为与系统函数相区别，通常以小写字母开头； （4） 函数的形式为f[x].

  20. 四、变量赋值与变量替换 举例如下： x=5; （ 赋值） x=. （取消赋值） /. x ->3 （变量替换，计算时用3暂时替换x的值） Clear[x] （清除x的定义及其赋值）

  21. 五、四则运算 优先级：乘方>乘除>加减；同级运算从左到右；乘方运算从右到左。

  22. 六、初等函数

  23. 例1 完成下列初等函数运算 1、 2、求 在x=3处的值，保留20位有效数字。 相应的命令如下： N[Sin[Pi/5+Tan[Pi/5]]] a1=Sin[x+Tan[x]]/.x->Pi/5 N[a1,10] t=Exp[-x^2/2]/Sqrt[2 Pi] N[t/.x->3,20]

  24. 七、自定义函数 (1) 出现在 f[x_]中的x是一类实体，用来表示函数定义中的变量。x_可以用任何形式的参数来替代，右端定义式中的x将会随之变化。看下面的例子：

  25. f[x_]:=2x-1 g[x]:=2x-1 f[10] f[x] f[Log[y]] g[10]+g[x]+g[y] f[10]+f[x]+f[y] 从这些例子中可以看出两者之间的差别。

  26. (2) 如果在定义函数时需要用几个命令才能完成，可以将几个命令依次排列，命令之间用分号分隔，用圆括号把首尾命令括起来。例如： h[x_]:=(y=Max[x];z=Min[x];y^2-z^2) a={1,2,4,6,8} h[a] 更恰当的方法是用模块形式来定义：其格式是： Module[{局部变量}, 函数表达式] 例如：上面的例子可以改写为： hh[x_]:=Module[{y,z}, y=Max[x];z=Min[x];y^2-z^2] a={1,2,4,6,8} hh[a]

  27. 例2 设 ，其中a, k是参数. 当 时， (1) 作出 f(x) 在x=0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3 处的数据表. (2) 画出函数 f(x) 的图形. g[x_,a_,k_]:=a Exp[-k^2 x^2] a=1/Sqrt[2 Pi]; k=1/2 Table[g[x,a,k],{x,0,3,0.5}] Plot[g[x,a,k],{x,-4,4}]

  28. 数学常数e的探讨 编制一个对数表，使任意给出的N都能简便地求出其对数值log a N . 借助于乘方运算容易得到如下对数表： 当 a =10时，得到下表：

  29. 问题1 怎样选择 a的值才能使 N 的取值间隔很小？ 由于N=ab，a 的取值越接近于1，N 的间隔就越小。例如，取 a =1.0001，可以作出下面的对数表： NBase[r_,b_]:=(1+r)^b Table[{NBase[0.0001,b],b},{b,0,100,10}] Table[{NBase[0.0001,b],b},{b,100,1000,100}] Table[{NBase[0.0001,b],b},{b,1000,10000,1000}] Table[{NBase[0.0001,b],b},{b,10000,100000,10000}] 相应的对数表可以从Mathematica中得出。

  30. 由于对给定的 N， b*实际上是以 为底的对数。当r→0时，a→e. 从而得到以e为底的对数 ln N。 问题2 如何解决 b 过大的问题？ 由于r 是一个已知的非常小的正数，取 b*=r b， b*的值就比较合适。

  31. 一位顾客在银行开设了一个1000元的存款帐户，银行每年支付10%的利息。用 an 表示 n 年后帐户中的存款总额。于是 其中a0=1000表示开户时的存款。 若银行改为每月结算一次利息，每月利率为r/12，n年后的本息之和为： 若每天结算一次利息，n年后的本息之和为： 连续利率与e

  32. 一般地，设银行每年结算m次利息，则n年之后的本息之和为一般地，设银行每年结算m次利息，则n年之后的本息之和为 设r为年利率，银行每年结算m次利息，每个结算周期的利率为r/m，n年后的存款总额为： 用Mathematica作如下的计算： 数学探讨

  33. 每年结算一次： a0=1;r=0.10;n=10; b[m_,n_,r_]:=a0(1+r/m)^(m n) b[1,n,r] 2.59374 每月结算一次： b[12,n,r] 2.70704 每天结算一次： b[365,n,r] 2.71791 每秒钟结算一次： b[365*24*3600,n,r] 2.71828

  34. 从计算结果可以看出，随着结算次数的增加，1元存款10年后的存款总额越来越接近e. 事实上，这是因为： 对一般情况，有： 结论： 连续结算方式下n年后的存款额计算公式为:

  35. 1.3 分段函数 Mathematica 的常用函数

  36. 例1 观察取整函数Round, Floor, Ceiling的用法。 Print[Round[1.4],Floor[1.4],Ceiling[1.4]] Print[Round[-1.4],Floor[-1.4],Ceiling[-1.4]] Print[Round[1.5],Floor[1.5],Ceiling[1.5]] Print[Round[-1.5],Floor[-1.5],Ceiling[-1.5]] 例2 观察符号函数Sign及Max, Min对函数的影响。 Plot[Sign[Cos[x]], {x,-2Pi,2Pi}] Plot[Max[Sin[x],Cos[x]], {x,-2Pi,2Pi}] Plot[Min[Sin[x],Cos[x]], {x,-2Pi,2Pi}]

  37. 用递归方法定义函数 Mathematica中可以利用递归方式定义函数。 例如，定义求阶乘的函数： fac[0]=1 fac[n_]:=n fac[n-1] 求前n个自然数的和： he[1]=1 he[n_]:=n+he[n-1] 注意：n应该是整数，否则出现无限循环。 系统默认的循环次数为256次。可设置系统 变量$RecursionLimit 的值修改这个缺省值。

  38. 例3 定义分段函数 定义分段函数 1、使用约束条件控制定义范围 y1[x_]:=3-Sqrt[-x]/;x<0 y1[x_]:=x^2

  39. 2、使用If 条件语句定义分段函数 y2[x_]:=If[x<0,3-Sqrt[-x],x^2,100]

  40. 3、使用Which条件语句定义分段函数 如： Which[x==2,1,x>3,3,True,0]

  41. 例3 定义分段函数 y[x_]:=Which[x<=0,0,x<=1,x^2,x<=2,1,x<=3,3-x,True,0]

  42. 4、关系判别和逻辑表达式

  43. 基本逻辑运算符有: Implies[p,q]等价于 !p||q.

  44. 个人所得税的纳税问题 1、实际背景 税法规定：公民的个人工资、薪金应依法纳税。所得税的计算办法为：在每个人的月收入中超过800元以上的部分应该纳税。应纳税款实行分段累积税率，按下列税率表计算：

  45. 若某人的月工资收入为x，请列出他应交纳的税款y与x之间的函数关系。若某人的月工资收入为x，请列出他应交纳的税款y与x之间的函数关系。

  46. 2、数学推导 • 按税法规定，当x≤800元时，不必纳税. y=0； • 当800<x≤1300元时，纳税部分是x-800. y=5%(x-800)； • 当1300<x≤2800元时， y=25+10%(x-1300)； • 以此类推，可以得出如下的纳税计算公式：

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