Introdução a Árvores

1. Introdução a Árvores Prof. Ernesto Lindstaedt

2. Introdução • Estrutura de dados adequada para representar e manipular informação hierárquica • Exemplos de aplicação: • Estrutura de diretórios (pastas) em um sistema de arquivos • Organograma de uma empresa/instituição • Expressão aritmética • Estrutura de classes de uma API

3. Definição • Uma árvore T é um conjunto finito de elementos denominados nós ou vértices tais que: • T = 0 é a árvore dita vazia ou • Existe um nó r, chamado raiz de T; os nós restantes constituem um único conjunto vazio ou são divididos em m1 conjuntos distintos não vazios que são as sub-árvores de r, cada sub-árvore a qual é, por sua vez, uma árvore.

4. Sub-árvores: definições • Notação: Se v é um nó de T,então a notação Tv indica a sub-árvore de T com raiz em v • Seja a árvoreTA = {A, B, ...} • A árvore TA possui duas sub-árvores: Tb e Tc onde Tb = { B } e Tc = {C, D, ...} • A sub-árvore Tc possui 3 subárvores: Td , Tf e Te onde Td = {D, G, H} Tf = {F, I} Te = {E} • As sub-árvores Tb, Te, Tg, Th, Ti possuem apenas o nó raiz e nenhuma sub-árvore.

5. Outro exemplo:

6. Mais definições... Seja v o nó raiz da subárvore Tv de T • Nós filhos • os nós w1, w2, ... Wj, raízes das subárvores de Tv, são chamados filhos de v. • Pais, tios, irmãos e avô • O nó v é chamado pai de w1, w2, ... wj. Os nós w1, w2, ...wj são irmãos. Se z é filho de w1 então w2 é tio de z e v é avô de z. • Nó descendente e ancestral • Se x pertence à subárvore Tv, então x é descendente de v e v é ancestral, ou antecessor, de x.

7. Exemplo:

8. Mais definições... • Grau de saída • Grau de saída: número de filhos de um nó; • Nó folha • Nó que não possui descendentes, ou seja, um nó folha é aquele com grau de saída nulo. • Nó interior ou interno • Nó que não é folha (isto é, possui grau de saída diferente de zero). • Grau de uma árvore • Valor máximo entre os graus de seus nós.

9. Exemplo:

10. Mais definições... • Floresta • Conjunto de zero ou mais árvores • Caminho na árvore • Seqüência de nós distintos v1, v2, ..., vk, tal que existe sempre entre nós consecutivos (isto é, entre v1 e v2, entre v2 e v3, ... , v(k-1) e vk) a relação "é filho de“ ou "é pai de" • Comprimento do caminho • Um caminho que passa por vk vértices é obtido pela seqüência de k-1 pares. O valor k-1 é o comprimento do caminho.

11. Exemplo de floresta:

12. Exemplo de caminho:

13. Mais definições... • Nível (ou profundidade) de um nó • O nível ou profundidade de um nó é o número de nós do caminho da raiz até o nó (raiz tem nível 1) • Altura de um nó v • Número de nós no maior caminho de v até um de seus descendentes (folhas têm altura 1) • Altura de uma árvore T ou h(T) • Máximo nível de seus nós (a altura da sub-árvore de raiz v é representada por h(v) )

14. Exemplo de níveis:

15. Caminhamento em Árvores - Amplitude • Breadth - First Search (BFS) Fila: 13 13 Fila: 10, 25 Fila: 25, 2, 12 10 25 Fila: 2, 12, 20, 31 Fila: 12, 20, 31 2 12 20 31 Fila: 20, 31 Fila: 31 29 Fila: 29 Percurso: 13, 10, 25, 2, 12, 20, 31, 29 Visitar cada nó começando no de menor nível e mover-se para os níveis mais altos, nível após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita:

16. Caminhamento em Árvores - Profundidade • Deapth - First Search (DFS) V – Visitar um nó L – Percorrer à esquerda R – Percorrer à direita VLR VRL LVR RVL LRV RLV 13 10 25 2 12 20 31 29 Percurso: 2, 12, 10, 20, 29, 31, 25, 13 O caminhamento em profundidade prossegue tanto quanto possível à esquerda (ou direita), então se move para trás até a primeira encruzilhada, vai um passo para a direita (ou esquerda) e novamente, tanto quanto possível, para a esquerda (ou direita).