نظریه زبان ها و ماشین ها

1. نظریه زبان ها و ماشین ها فصل پنجم Reducibilityِ دانشگاه صنعتی شریف بهار 88

2. Reducibility • A reduction is a way of converting one problem to another problem in such a way that a solution to the second problem can be used to solve the first problem. • If problem A reduces to problem B, we can use a solution to B to solve A. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

3. Undecidable Problems • Let • Then we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

4. Proof: by Contradiction • Assume machine R decides HALTTM. • Then we can construct S as a decider for ATM as follows: • Thus contradicting the fact of ATM ‘s undecidability. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

5. Undecidable Problems (continued) • Let • Then we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

6. Proof: by Contradiction • Let • Assuming R is a decider for ETM, we construct S as a decider for ATM as follows: نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

7. Undecidable Problems (continued) • Let • Then we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

8. Proof: by Contradiction • Assuming R is a decider for REGULARTM, we construct S as a decider for ATM as follows: نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

9. Undecidable Problems (continued) • Let • Then we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

10. Proof: by Contradiction • Assuming R is a decider for EQTM, we construct S as a decider for ETM as follows: نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

11. Reduction via Computation Histories نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

12. Linear Bounded Automata نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

13. Decidable Problems about LBA • Let • Then we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

14. Proof • Each configuration consists of • State (q) • The head position (n) • The tape content (gn) • Thus proving the lemma. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

15. Decidable Problems about LBA • Remember that • Finally, we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

16. Proof نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

17. Undecidable Problems about LBA • Let • Then, we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

18. Proof • We can determine whether a TM M accepts input w by constructing a certain LBA B and then testing whether L(B) is empty. • B recognizes all accepting computation histories for M on w. • M accepts w iff B’s language is nonempty. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

19. Proof (cont.) • An accepting computation history must satisfy three properties: نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

20. Proof (cont.) • This is how LBA B works: • On input x, break up x into C1, C2, …, Cl. • Determine whether Ci satisfy the three conditions of accepting computation histories. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

21. Reduction of ATM to ELBA • Construct TM S that decides ATM as follows: نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

22. Undecidable Problems about CFG • Let • Then, we have نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

23. Proof: Reduction of ATM to ALLCFG • For a TM M and an input w we construct a CFG G (or PDA D) that generates all strings if and only if M does not accept w. • G (or PDA D) generates all strings that • do not start with C1, • do not end with an accepting configuration, or • where some Ci does not properly yield Ci+1 under the rule of M. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

24. Proof: Reduction of ATM to ALLCFG The PDA has three branches corresponding to each of the three cases. The 3rd branch non-deterministically finds where Ci does not yield Ci+1 properly. Ci and Ci+1 are supposed to match except around the head position where the difference is dictated by the transition function of M. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

25. Proof: Reduction of ATM to ALLCFG To be able to recognize mismatch with a PDA, we assume that configurations are arranged as follows: نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

26. Post Correspondence Problem (PCP) Consider a Collection of dominos each containing two strings, one on each side. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

27. Match We want the string we get by reading the top strings to be the same as the bottom string. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

28. Formalizing PCP as a Language نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

29. PCP is Undecidable نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

30. Modified PCP Let’s instead focus on the following problem: We now prove that MPCP is undecidable. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

31. Reduction of ATM to PCP Letting R decide PCP, we construct S as a decider for ATM . We begin with constructing an instance for MPCP. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

32. Reduction of ATM to PCP نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

33. Reduction of ATM to PCP نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

34. MPCP is not harder than PCP • Suppose • Solving MPCP with is equivalent to solving PCP with نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

35. Mapping Reducibility نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

36. Mapping Reducibility This mapping provides a way to convert questions about membership testing in A to membership testing in B. If a problem is mapping reducible to a previously solved problem, this gives a way of solving the original problem. نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

37. Mapping Reducibility نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

38. Mapping Reducibility نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

39. Mapping Reducibility نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف

40. Proof (cont.) نظریه زبان ها و ماشین ها دانشگاه صنعتی شریف