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组合思想及 数学组合化猜想 (axXiv:GM/0606702). 毛林繁 ( 中国科学院数学与系统科学研究院 , 北京 100080 ) maolinfan@163.com 二 OO 六年八月 , 天津 南开大学. 摘 要. 组合学在二十世纪得到了突飞猛进的发展，已经成长 为处理客体之间关系的一种有效工具。作为数学工作者， 一项更重要的任务是应用组合学解决其他数学或其他科学 领域中的问题而不是单纯地研究客体间的组合结构。最近 几年，国际数学界和物理学界一些研究人员在大范围地应 用组合思想对经典数学进行组合重组，应用组合思想和爱
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组合思想及数学组合化猜想 (axXiv:GM/0606702) 毛林繁 (中国科学院数学与系统科学研究院,北京100080) maolinfan@163.com 二OO六年八月, 天津 南开大学
摘 要 组合学在二十世纪得到了突飞猛进的发展，已经成长 为处理客体之间关系的一种有效工具。作为数学工作者， 一项更重要的任务是应用组合学解决其他数学或其他科学 领域中的问题而不是单纯地研究客体间的组合结构。最近 几年，国际数学界和物理学界一些研究人员在大范围地应 用组合思想对经典数学进行组合重组，应用组合思想和爱 因斯坦场方程建立新的宇宙模型-组合宇宙，探寻宇宙的创 生。本报告拟就这一过程中的采用的组合思想作一个简单 综述，同时对作者在2005年提出的数学组合化猜想做一个 介绍，以期引起国内数学界，特别是组合学界的重视。
一、组合学的地位及问题重要程度的判定 组合学在数学中的地位 组合学研究的问题或是为解决某 一个数学问题而提出组合手段或 就是某一个图论或组合论问题的 深化与繁衍。 组合学是一类三流数学。 对问题三个提问： 1、研究什么？2、目标是什么？ 3、有什么用？ 数学问题重要程度判定 第1级：对自然科学及人类认识自然有贡献； 第2级：对整个数学发展有贡献； 第3级：对某一个数学分支，如图论或组合论有贡献。
二、组合的度量化与数学组合化猜想 • 科学认识的基础-度量 度量是科学认识自然、建立数学模型进行数学模拟 的基础。 • 组合学的特点 组合学是一门无度量的学科。
组合学引入度量应用于其他学科 For applying combinatorics to other branch of mathematics, a good idea is pullback measures on combinatorial objects again, ignored by the classical combinatorics and reconstructed or make the combinatorial generalization for classical mathematics, such as, those of algebra, differential geometry, Riemann geometry, Smarandache geometries … and the mechanics, theoretical physics, …. 摘自Linfan Mao： Automorphism Groups of Maps， Surfaces and Smarandache Geometries American Research Press 2005
公理化思想 给定一门数学分支，公理化思想假定可以通过选择出有限条公理，经过逻辑推理而得到整个学科的所有结果。 • 公理化思想的代表：Hilbert为初等几何建立的公理体系。 • 主要学派：法国的布巴基学派。
数学组合化猜想 任何数学学科均可以组合化或进行组合重建。 • 猜想释义： （1）通过选择有限条组合规则及公设，任何一门 数学学科均可以采用组合技巧进行组合重建。 （2）原学科是该学科组合化后的特例。 （3）组合化思想可以促成不同数学学科之间的组 合，从而发现新的规律与结果。
组合地图 —曲面组合化的一个成功范例 地图就是曲面的一种划分，使得沿着划分线 将曲面剪开后得到的每个面块均同胚于2维圆 盘。
曲面分类定理 每个曲面或者同胚于球面，或者同胚于球面 上挖去2p个洞，每两个洞之间采用一根管子 相连, 或者同胚于在球面上挖去q个洞，每个 洞的边界与麦比乌斯带的边界相粘合。前者 的亏格定义为p，后者为q。
采用地图的观点，曲面分类定理对应的地图就是单点单面地图。采用地图的观点，曲面分类定理对应的地图就是单点单面地图。 • 地图是任意图G在曲面上的嵌入—地图是曲面的组合化或组合细化。 • 经典数学问题的组合化：数学组合化猜想导致了组合学家对经典数学的一种组合重组的观点，在L.F.Mao: Automorphism Groups of Maps, Surfaces and Smarandache Geometries一书最后一章例举了许多这类问题。
三、组合思想对数学的贡献 • 代数组合化 n-重代数系统：对任意给定的整数n，设集合 Ai有运算集O(Ai）且( Ai ;O(Ai))为一个代数系 统，1≦i ≦n，则称并集 ( A1 ;O(A1))∪( A2 ;O(A2))∪…∪( An ;O(An)) 为一个n-重代数系统。
一个例子（n-重加法群） 设n为一个正整数。取Z1=({0,1,2,…,n-1};+) 为通常模n加法群，P=(0,1,2,…,n-1)为一个n- 置换，对任意整数i, 0≦i≦n-1 定义 Zi+1=PiZ1， 满足：若k+l=m, 则Pi (k) +i Pi (l)=Pi (m)，则 并集 Z1∪Z2∪…∪Zn为一个有限的n-重群。
几何组合化 m-重度量空间：
地图几何 地图几何首先出现在： L.F.Mao, On automorphisms of maps, surfaces and Smarandache geometries, Scientia Magna, Vol.1, No.2(2005).
3-维空间中的实现 定理. 有界与无界地图几何中均存在Smarandache 几何。
在伪度量空间中取U=W=n-维流形Mn，则得到伪流形（Mn,ω）。在伪度量空间中取U=W=n-维流形Mn，则得到伪流形（Mn,ω）。 • 定理. 伪流形几何，一般地，Smarandache几何中包含Finsler几何，特别地，包含Riemann几何。
几种几何的关系 详见： L.F.Mao, Smarandache multi-space theory, Hexis, America, (2006).
四、组合思想对理论物理的一些贡献 • 爱因斯坦的场方程
宇宙学原理 当度量尺度为104l.y时，宇宙中任何一点和一个点的任何 方向无任何差别。 • 标准宇宙模型（Friedmann模型）
M-理论 M-理论的出发点是假定粒子不是质点而是有p个方向的p- 膜。1-膜称为弦，2-膜称为面膜。下图中给出了1-膜、2-膜在 空间中的运动方式。
组合宇宙 文献Smarandache multi-space theory中给出的定义是代数几何 中的层与重空间概念的组合。
例如，M-理论中采用的宇宙模型就是一种最简单的组合宇宙，即在人类的可视宇宙外还存在高维宇宙并与人类的可视宇宙发生相互作用，如下图所示：例如，M-理论中采用的宇宙模型就是一种最简单的组合宇宙，即在人类的可视宇宙外还存在高维宇宙并与人类的可视宇宙发生相互作用，如下图所示：
5-维、6-维组合宇宙 特别地，5、6-维组合宇宙均是在爱因斯坦场方程中寻求在 Robertson-Walker度规基础上增加一个或两个 方向维x,y的度规 在不同条件下的解，进而研究宇宙动力学以及探寻宇宙的发 展规律。这里，Σk表示人类的可视3-维宇宙空间的度规，k= -1, 0, +1 分别对应双曲、平坦和椭圆空间。
宇宙学引申的组合问题 经典力学以研究单体，即质点问题为主，采用图的术语就 是K1的运动力学。多体问题虽有涉及，但进展不大。伴随着 宇宙物理学的深入研究，需要解决以下组合问题： 实际上，图的相空间动力学类似于经典物理学中的多体问 题，但不完全等同，因为这里的空间维数≧3。
例如，给定一组n个逐一包含的球面。一个图G在其上存在嵌入的充分必要条件为：例如，给定一组n个逐一包含的球面。一个图G在其上存在嵌入的充分必要条件为： 证明见 L.F.Mao, Smarandache multi-space theory, Hexis, America, 2006.
Call for Papers: • 受美国America Research Press的委托，下述数学、物理方面的论文可通过 电子邮件发给我，结集在美国出版： （1）与图论及组合论度量化相关或与数学组合化相关的论文； （2）重空间理论，包括代数重空间、重度量空间、非欧几何、微分几何等 以及相关的组合问题； （3）拓扑图论、地图理论及在其他数学物理领域的应用； （4）广义相对论及其在宇宙物理学中的应用； （5）弦理论及M-理论中的数学理论； （6）宇宙创生的其他数学模型及理论等。 联系人：毛林繁 电子邮件：maolinfan@163.com 通讯地址：中国科学院数学与系统研究院 邮编：100080
报告就到这里， 谢谢大家！
