Jan Obdržálek 2013-03-25T14:00:00,000

Jan Obdržálek 2013-03-25T14:00:00,000 Relativita Obdržálek Relativita graficky U3V

19.3.2012 U3V Vztažná soustava; pojem absolutní a relativní Newtonovská mechanika Grafické zobrazení polohy a pohybu Galileiho transformace Idea STR (speciální teorie relativity) Dva principy STR Lorentzova transformace Konkrétní příklady; „paradoxy“ Relativistická hmotnost: srážka Pohybové rovnice STR Konec Program

19.3.2012 U3V Jak popsat polohu závisející na pozorovateli? • 1 bod – počátek O (origō), a z něj vycházejí • 3 osy (x, y, z) k sobě kolmé, se stupnicemi (René Descartes – Cartesius, 1596 – 1650) I jiné soustavy: polární, sférická, ..., ale vždy: pro spojitý popis v prostoru 3D: (x, y, z) na ploše 2D: (x, y) na čáře 1D: (x) „Předmět či událost nepatří žádné vztažné soustavě“ Poloha: vztažná soustava S

19.3.2012 U3V • Absolutní (nezávislý na pozorovateli, S) • teplota T kamen • síla F jako taková (nikoli její složky!) • elektrický náboj Q apod. • vzáj. vzdál. d v klidu (jsou 0,5 m od sebe) • Relativní (vůči pozorovateli, vůči S) • Složka Fx • poloha r (vpředu, na 5. km nalevo) • pojem klidu či pohybu (usneme ve vlaku) • rychlost v (na Zemi letící kolem Slunce) Absolutní × relativní

19.3.2012 U3V • Další veličina: čas t • Pohyb: poloha r se mění v závislosti na čase t • Klasická fyzika: prostor a čas jsou nezávislé • Relativistická fyzika: prostor a čas spolu souvisejí a vytvářejí prostoročas • Popis pohybu bodu s polohou r • matematický: funkce r = r(t) • grafický: 1 osa pro čas t, 1 osa pro polohu x Popis pohybu

19.3.2012 U3V Newton (klasická mechanika) • Existuje absolutní prostorAP(v něm: poloha); • Existuje absolutní čas AČ (okamžik, doba); • 1NZ:měříme-liv APČ, pohybuje se volná částice rovnoměrně přímočaře (nebo stojí) • Galileův princip: inerciální vztažná soustava IS; i v ní platí stejné zákony jako v APČ • 2NZ:měříme-liv APČ, pohybuje se částice pod vlivem sil zrychleně. m a= ∑ F nebolidp / dt = ∑ F (časová změna hybnosti) • 3NZ: FAB= - FBA(zákon akce a reakce)

19.3.2012 U3V Graf (nádražní grafikon) t/min (kdy tam je) ☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 6 s♥☼ 6 5 ☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 5 s☼♥ ☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 4 s☼♥ 4 3 ☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 3 s☼♥ ☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 2 s☼♥ 2 ☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 1 s☼♥ 1 ☺☼♠♣♥♦♪♫ okamžitý snímek tratě v čase t = 0 s☼♥ 0 x/km (kde je) 1 -2 -1 0 2 3 4 5

Graf (nádražní grafikon) 19.3.2012 U3V t/min (kdy tam je) vlak 5 Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb vlaku v čase a 1D prostoru. 4 stojí 3 2 jede 1 stojí 0 x/km (kde je) 1 -2 -1 0 2 3 4 5 (cíl) (nádraží)

Graf (nádražní grafikon) 19.3.2012 U3V t/min (kdy tam je) vlak rychlík 5 4 stojí 3 jede rychleji 2 1 jede stojí stojí 0 x/km (kde je) 1 -2 -1 0 2 3 4 5 (cíl) (nádraží)

Poloha vůči vlaku 19.3.2012 U3V CD: současné (vlak, Země) t/s já ve vlaku CB: soumístné (Země) DB: soumístné (vlak) Přede mnou: 0 m 5 5 s 1 m 2 m 3 m 4 4 s (5 m; 4 s) vůči Zemi B (3 m; 4 s) vůči Vlaku 3 3 s E xBZ = 5 tBZ = 4 xBV= 3 tBV = 4 rychlost Vlaku vůči Zemi: VVZ xBV= xBZ – VVZtBZ tBZ = tBV Galileiho trafo 2 2 s C D 1 1 s F 0 x/m (kde je) 1 -1 0 2 3 4 5 (nádraží) -2

19.3.2012 U3V • Délka vozu = poloha začátku – poloha konce!! Pohybuje-li se vůz, je nutno měřit v tomtéž čase !! Délka vozu; současnost • Dvě události A ≡ {rA, tA}; B ≡ {rB, tB} jsou • současné, když tA = tB (např. v 7h ráno) • soumístné, když rA = rB (např. v mé pravé ruce) • Klasická fyzika: • současnost je absolutní • soumístnost je relativní • (Relativita: • současnost i soumístnost jsou relativní)

19.3.2012 U3V Částice (hmotný bod): určena jen polohou r = r(t) Volná částice (VČ): bez vnějších sil a bez vazeb Inerciální soustava: vztažná soustava, vůči níž každá VČ se pohybuje bez zrychlení; neboli VČ má stálou rychlost (směr i velikost); neboli VČ letí rovnoměrně přímočaře nebo stojí Na grafikonu: světočárou VČ je přímka. Inerciální soustava S, S’,… 12

19.3.2012 U3V Newton:„Hlavní inerciální soustavou“ je absolutní prostora absolutní čas. Ale: Již Galileo věděl, že je-li S inerciální a S’se vůči ní pohybuje rovnoměrně přímočaře, pak je také S’ inerciální. Einstein:Všechny inerciální soustavy jsou si zcela rovnoprávné. Žádná nemá zvláštní nárok na označení „absolutní“. První Newtonův zákon (1NZ) Existuje inerciální soustava. 13

19.3.2012 U3V Díky Galileově principu nelze mechanickými jevy najít mezi inerciálními soustavami, která z nich je „absolutní prostor“ (a čas) – APČ. Jak najít absolutní prostor a čas? Elektromagnetismus:Rychlost světla (= vln v éteru) je podle Maxwellovy-Lorentzovy teorie rovna c0 = 1 / √(ε0μ 0) vůči éteru, tedy v soustavě, v níž je éter v klidu → APČ ! Úkol pro fyziky: Měřte rychlost světla! Vyjde-li vám c = c0 – w, pohybujete se rychlostí w vůči éteru. !?!?! Světlo má v každé IS tutéž rychlost c0! 14

Princip stálé rychlosti světelné 19.3.2012 U3V Světelná rychlost je táž v každé IS. Světelnou rychlostí c0se rozumí rychlost světla ve vakuu, cca 300 000 km/s. (Zde jen c.) Experiment:Rychlost světla je stejná ráno i večer (± 400 m/s), ale i na jaře a na podzim (± 30 km/s). Nezávisí na rychlosti zdroje. Ostatní fyzikové: Jak se chová světlo? Einstein: Jak se chová prostor a čas? Nejde o vlastnost světla a materiálů (Lorentz, Poincaré), ale o vlastnost prostoročasu. 15

19.3.2012 U3V Klasická fyzika: Galileox’ = x – V t v’ = v – V t’ = t Přechod mezi S a S’(mající vůči S rychlost V) Relativita: Lorentzx’ = γ(x – Vt)γ = 1/√(1 – V2/c2) t’ = γ(t – Vx/c2) x’γ(x –Vt)v – Vt’=γ(t – Vx/c2)=1 – vV/ c2 Odtud plyne pro v = c opět v’ = c. 16

19.3.2012 U3V x0 = ct – měříme délky a časy konzistentně, prostřednictvím vhodné „standardní rychlosti“ c. Nové značení času v S: x0 Lorentz dříve:x’ = γ(x - Vt)γ = 1/√(1 – V2/c2) t’ = γ(t – Vx/c2) Nyní přehledněji: β = V/c x0 = ct x’ = γ(x –βx0) x0’ = γ(x0 –β x)y’ = yz’ = z 17

19.3.2012 U3V Jedinečný Lorentz Lze dokázat, že to jinou trafo nejde: 1) Aby rovnoměrný přímočarý pohyb přešel opět v rovnoměrný přímočarý pohyb, musí být transformace lineární. Zaveďme jistou rychlost c a značme β = V/c; x0 = ct. x’ = γ(x –Bx0)x0’ = γ(Cx0 –Dx) 2) Najdeme potřebné 4 parametry γ, B, C, Dze 4 „přirozených“ podmínek . 18

19.3.2012 U3V Podmínky pro trafo S’ má vůči S rychlost V S má vůči S’rychlost –V Která rychlost c je samodružná? (c= ∞: Galileo; c = 1: Lorentz) Zpětná trafo má tvar jako přímá s V↔ –V x’ = γ(x –Bx0)x0’ = γ(Cx0 –Dx) 19

19.3.2012 U3V S’ má vůči S rychlost β: Počátek x’ = 0 ve všech časech x0’ vyhovuje podmíncex = V t = β x0 Lorentzova trafo (odvození, 1.krok) Odtud plyne B = β (ostatní γ, C, D zatím libovolná). x’ = γ(x –βx0)x’ = γ(x –Bx0)x0’ = γ(C x0 – D x) x0’ = γ(Cx0 –Dx) Hledáme 3 parametry γ, C, D. 20

19.3.2012 U3V S má vůči S’ rychlost – β: Počátek x= 0 ve všech časech x0 vyhovuje podmíncex’ = – V t’ = –β x0 ’ Lorentzova trafo (odvození, 2.krok) Odtud plyne C = 1 (ostatní γ, D zatím libovolná). x’ = γ(x –βx0)x’ = γ(x –Bx0)x0’ = γ(x0 – D x) x0’ = γ(C x0 –Dx) Hledáme 2 parametry γ, D. 21

19.3.2012 U3V Rychlost c = 1 se zachovává: x/x0= 1 → x’/x0’ = 1 Lorentzova trafo (odvození, 3.krok) x’γ(x –βx0)(x –βx0)(1–β)x0’=γ(x0 – D x)=(x0 – D x)=(1 – D) Odtud plyne D = β (γzatím libovolné). x’ = γ(x –βx0)x’ = γ(x –Bx0)x0’ = γ(x0 –βx) x0’ = γ(C x0 – D x) Hledáme 1 parametr γ. 22

19.3.2012 U3V Zpětná transformace má stejný tvar jako přímá Lorentzova trafo (odvození, 4.krok) x’ = γ(x –βx0)×1 ×β x0’ = γ(–βx + x0) ×β× 1 x’ + β x0’ = γ x(1 –β2) β x’ + x0’ = γ x0(1 –β2) prohodíme nalevo členy 2. rovnice a roznásobíme obě rovnice γ : γ(x ’ + βx0’) = xγ2(1 –β2)inverzní trafo γ(x0 ’ + βx’) = x0γ2(1 –β2) pokud γ 2 = 1 /(1 – β2 ), má zpětná trafo stejný tvar jako přímá (se záměnouβza –β, xza x’, x0za x0’). (levá strana napravo) 23

19.3.2012 U3V Přímá Lorentzova transformace: x’= γ(x–βx0) = γ( x–βx0) x0’= γ(x0–βx) = γ(–βx + x0) Lorentzova trafo (shrnutí) Označme (Lorentzův činitel) Inverzní Lorentzova transformace:β’ = –β x= γ(x’+ βx0’) = γ( x’+ βx0’) x0= γ(x0’+ βx’) = γ(βx’ + x0’) 24

19.3.2012 U3V Relativistická kinematika graficky S x’0=ct’ x0=ct světlo S’ x’; současnost x; současnost x0’= γ(x – β x0) x’= γ(x0 – β x)

19.3.2012 U3V Jednotky na osách x0=ct světlo x’0=ct’ jednotka x02 –x2 = ± 1 x’; současnost 1 1 1 1 x; současnost 0 1 1 1 1 x0’= γ(x – β x0) x’= γ(x0 – β x) 26

19.3.2012 U3V Metrová tyč stojící x0=ct světlo x’0=ct’ x’; současnost 1 1 1 x; současnost 0 1 1 1 x0’= γ(x – β x0) x’= γ(x0 – β x) 27

19.3.2012 U3V Metrová tyč letící x0=ct světlo x’0=ct’ x’; současnost 1 1 1 1 1 x; současnost 1 1 1 x0’= γ(x – β x0) x’= γ(x0 – β x) 28

19.3.2012 U3V Hodiny stojící x0=ct světlo x’0=ct’ x’; současnost 1 1 1 1 1 x; současnost 1 1 1 x0’= γ(x – β x0) x’= γ(x0 – β x) 29

19.3.2012 U3V Hodiny letící x0=ct světlo x’0=ct’ x’; současnost 1 1 1 1 1 x; současnost 1 1 1 x0’= γ(x – β x0) x’= γ(x0 – β x) 30

19.3.2012 U3V „Paradox dvojčat“ x’0=ct’(zpět) x0=ct x’současnost (zpět) světlo x’0=ct’(tam) 2 2- x’; současnost (tam) 1 1 1 1 1 x; současnost 1 1 1 31

19.3.2012 U3V „Dlouhé auto v krátké garáži“ x’0=ct’ x0=ct 1 x’; současnost 1 1 1 1 x; současnost 1 1 1 garáž Auto 32

19.3.2012 U3V • Čtverec intervalu (> 0: prostoru, < 0: času podobný) I2 = x2 +y2 +z2 – c2t2 Invarianty Lorentzových trafo • I2 = x2 +y2 +z2 – x02x0 = c t • I2 = x2– x02 • H. Minkowski:I2 = x2 +y2 +z2+x42x4 = i c t • Pseudoeuklidovská metrika (I2AB = 0 i pro různé události A, B). 33

19.3.2012 U3V • Čtyřvektor polohy R (posunutí ∆R ): R = {x;y; z; ict} Vektor vůči Lorentzovým trafo • R = {x1;x2; x3; x4} • R = {x1;i x0} • Pozor: čas t není invariant! Je jen jednou ze složek.Invariantem je ale vlastní čas τ = t / γ. • Vlastní čas τ = t / γje invariantní vůči Ltrafo. 34

19.3.2012 U3V • Časová změna čtyřpolohy podle τ: w = ∆R/ ∆ τ = γ∆ R/ ∆ t = {γ v; iγc} Čtyřrychlost w • Obyčejná rychlost: v = {v1;v2; v3} • Velikost čtyřrychlosti je konstantní: • w2 = γ2v2–γ2c2= γ2c2(v2/c2– 1) = –c2 • Proto je čtyřzrychlení vždy kolmé na čtyřrychlost. 35

19.3.2012 U3V • Zkoumejme zde jen hmotnost setrvačnou. Ta se vyskytuje v klasické mechanice hlavně • v hybnosti p = mv, • ve 2NZ: ma = ∑F anebo dp/dt = ∑F Hmotnost m • Hledáme relativistický ekvivalent klasické veličiny hmotnost m. Uvažme proto, kde se hmotnost vyskytuje. • Jak známo, hmotnost se vyskytuje • v gravitačním zákoně jako hmotnost gravitační, • v pohybových rovnicích jako hmotnost setrvačná. 36

19.3.2012 U3V Hmotnost m • Vyřešíme nepružnou srážku dvou stejných částic, a to • v soustavě S, v níž stojí druhá koule, • v soustavě S’, v níž stojí první koule. • Obě řešení pak porovnáme Lorentzovou transformací. S S’ -u u Mu Mu v -v mv m0 mv m0 čas 37

19.3.2012 U3V • Předpokládejme při popisu srážky v kterékoli IS toto: • částice má hmotnost mv, která závisí na rychlosti: mv = mv (v), • zachovává se celková hmotnost M = ∑mv ; • zachovává se celková hybnost P = ∑p , kde p = mvv, Nepružná srážka dvou částic • V soustavě S má první koule rychlost v, druhá koule rychlost 0 a po srážce mají obě koule společnou rychlost u. • Soustava S’má vůči S rychlost v. 38

19.3.2012 U3V Nepružná srážka dvou částic S S’ -u u Mu Mu -v v mv m0 mv m0 Lorentzova transformace: • p = mvv + m00 = Muu • Mu = mv + m0 , takže • mvv = (mv + m0)u, odkud • u = vmv /(mv + m0) 39

19.3.2012 U3V Nepružná srážka dvou částic Relativistická hmotnost m: 40

19.3.2012 U3V Klidová hmotnost m0 • Veličinu mv značíme prostě m. Platí m = γ m0 a hraje v relativitě roli (setrvačné) hmotnosti m částice z klasické mechaniky, měřené při rychlosti v. • V různých systémech S je m různě velká; nejmenší je v systému, kde částice stojí (v = 0). • Tato veličina m0=m/γ , tj. klidová hmotnost, je proto nezávislá na rychlosti v částice pohybující se vůči S, a je tedy invariantem. 41

19.3.2012 U3V Čtyřhybnost p = m0 w • Veličina p = m0w (čtyřvektor s „prostorovou složkou“γm0u) hraje v relativitě roli hybnosti p částice z klasické mechaniky. • Protože vlastní čas τ je invariantem (je stejně velký v různých systémech S), je časová změna (počítaná podle vlastního času) čtyřhybnosti částice čtyřvektorem, a má stejný význam v každém S. • Toto nám umožňuje formulovat relativisticky invariantní pohybovou rovnici relativistické mechaniky: 42

19.3.2012 U3V Další pohybové zákony STR • 2NZ: Časová změna čtyřhybnosti částice (podle vlastního času) je rovna výsledné čtyřsíle působící na částici. • Druhý Newtonův zákon (s časovou změnou čtyřhybnosti) tedy platí i ve STR. • Pro úplnost: 3NZ (zákon akce a reakce) zůstává rovněž v platnosti, pokud akce i reakce působí v tomtéž místě. • „Přesouvání sil“ v rámci tuhého tělesa však není možné, protože STR vylučuje pojem tuhého tělesa 43

19.3.2012 U3V  Děkuji vám za pozornost

Jan Obdržálek 2013-03-25T14:00:00,000