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一、前言 在國小的時候，老師在上課提過田字方塊，因此就對田字方塊感到很好奇。升上了國中，剛好也有同學對田字方塊有興趣，最後就決定以這個題目來做研究。. 二、 摘要 這是一個有趣又新奇的塡字遊戲，首先我們必須在一個 5×5 的方陣內，將 1 ～ 25 的數字填入方格中，並維持方陣中 4 組 4×4 方陣內的數字和相等。. 三、研究動機 在國小的時候，老師在上課提過田字方塊，因此就對田字方塊感到很好奇。升上了國中，剛好也有同學對田字方塊有興趣， 所以就決定以這個題目來做研究。 ( 目前只有 4×4 的方陣有人研究過，因此以 5×5 的方陣為研究對象。 ). 四、研究目的
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一、前言 在國小的時候，老師在上課提過田字方塊，因此就對田字方塊感到很好奇。升上了國中，剛好也有同學對田字方塊有興趣，最後就決定以這個題目來做研究。 二、摘要 這是一個有趣又新奇的塡字遊戲，首先我們必須在一個5×5的方陣內，將1～25的數字填入方格中，並維持方陣中4組4×4方陣內的數字和相等。 三、研究動機 在國小的時候，老師在上課提過田字方塊，因此就對田字方塊感到很好奇。升上了國中，剛好也有同學對田字方塊有興趣， 所以就決定以這個題目來做研究。(目前只有4×4的方陣有人研究過，因此以5×5的方陣為研究對象。) 四、研究目的 1.在5×5的方陣中任意填入1～25的數字，是否可以找到，其中左上、左下、右上、右下，四組4×4方陣 內部數字和相等的組合？ 2.在5×5方陣中的4×4方陣其數字和的最大值為254，最小值為162，理由何在？ 3.在最大值和最小值間，是還否有其他值存在的可能性？ 五、實驗設備及器材 1.原子筆、螢光筆 2.計算機 3.電腦(Excel、Word、網際網路) 4. A4白紙(列印方格用) 5.加減乘除的基本運算能力 6.對田字方塊和數學的熱情 7.加減消去法、代入消去法的能力 8. 不等式的運算能力 六、研究方法及過程 算式： 左上：A＋B＋C＋D＋F＋G＋H＋I＋K＋L＋M＋N＋P＋Q＋R＋S —① 右上：B＋C＋D＋E＋G＋H＋I＋J＋L＋M＋N＋O＋Q＋R＋S＋T —② 左下：F＋G＋H＋I＋K＋L＋M＋N＋P＋Q＋R＋S＋U＋V＋W＋X —③ 右下：G＋H＋I＋K＋L＋M＋N＋P＋Q＋R＋S＋U＋V＋W＋X＋Y —④ ①＋②＋③＋④＝ (A＋E＋U＋Y)+2(B＋C＋D＋F＋J＋K＋O＋P＋T＋V＋W＋X)+4(G＋H＋I＋L＋M＋N＋Q＋R＋S) ( 1 )求最大值 若要求最大值，就要將A.E.U.Y以1、2、3、4填入。B.C.D.F.J.K.O.P.T.V.W.X以5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16填入，G.H.I.L.M.N.Q.R.以17、18、19、20、21、22、23、24、25填入。可得(1+2+3+4)+2(5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)+4(17+18+19+20+21+22+23+24+25)＝1018 為4組方陣的和。1018÷4＝254.5，不可以超過 254.5，又其和為整數，所以最大值取 254。 ( 2 )求最小值 若要求最小值，就要將A.E.U.Y以25、24、23、22填入，B.C.D.F.J.K.O.P.T.V.W.X以9、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21填入。G.H.I.L.M.N.Q.R.S以1、2、3、4、5、6、7、8、10填入。可得(25+24+23+22)+2(21+20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10)+4(9+8+7+6+5+4+3+2+1)＝646 為4組方陣的和。 646÷4＝161.5不可以低於 161.5，又其和為整數，所以最小值取 162。 因此，在5×5方陣中，維持四組4×4方陣的數字和最小值為162，最大值為254。 我們要先找出最大值，將1、2、3、4分別放在四個角落，再將25、24、23、22、21、20、19、18、17放入中間九格，可以隨便放，因為中間的九格在每個4×4中都會被相加。最後的12個數字，就必須依照和角落數字的平衡。可是我們發現了一個問題，4個 4x4方格無法相等。 因此，我們嘗試把角落的3換掉，換成5， 即可得到4個 4x4方格平均數 為254的最大值。 (三)最小值162的數字分配 同此方法，我們要找最小值，將25、24、23、22各放在四個角落，再將1、2、3、4、5、6、7、8、10放入中間九格，可以隨便放。四周放入最大數 22、23、24、25，即可完成最小數162。 (四)分析最小值162的組合情形 上列四式相加＝(A+E+U+Y)+2(B+C+D+F+J+KO+P+T+V+X)+4(G+H+I+L+M+N+Q+R+S) 令 甲＝A+E+U+Y （甲代表四個角的數字和） 令 乙＝G+H+I+L+M+N+Q+R+S （乙代表中間的3x3方陣的數字和） 令 丙＝B+C+D+F+K+P+J+O+T+V+W+X（丙代表四周扣除角落，12個數字的和） 可以得到 甲+2丙+4乙=4組方陣的數字和 已知：維持5×5方陣內左上、右上、左下、右下4組4×4方陣的數字和相等時， 最小的數字和為162
甲+(2丙)+(4乙)=162 × 4=648------① 由①移項後可得(2丙)=648 –甲–(4乙)------② 再將1～25的數字填入5×5的方陣可得其和為 甲＋乙＋丙＝(1+25) ×25/2=26×25/2=325------③ ①－ ③ 丙+(3乙)＝323 丙=323－(3乙) ----④③×2-①甲－(2乙)=2 甲=(2乙)+2----⑤ 分析 乙=G+H+I+L+M+N+Q+R+S 的值範圍， 並且可知最小值的情形為填入1+2+...+9 ＝(1+9)×9/2=45 也可知最大值的情形為填入17+18…+25=(17+25)×9/2=189 最後45≦乙≦189由④丙＝323-3乙 探討丙的最小值 將1～12填入1+2+3+...+12=(1+12)×12/2=13×6=78 再將丙以最小值78代入④丙＝323-3乙，又可得乙的最大值為81.6 並將45≦乙≦189 改乙的範圍為45≦乙≦81.6 又因為乙必須為整數，所以修正為45≦乙≦81 由④式 丙=323-3乙 又45≦乙≦81188≧323-3乙≧80 可得 188≧丙≧80 由45≦乙≦81 又甲＝2乙＋290≦2乙≦16292≦2乙+2≦164 可得 92≦甲≦164 由45≦乙≦81 且丙＝323-3乙 甲＝2乙＋2分別可得， 當最小值為162時 表一：甲、乙、丙的組合情形如下 最小值162，以甲＝94、乙＝46、丙＝185 所找到的組合如下： 作法： 不要動外面的 25.21.9.15.23.14.20.11.17.24.12.18.22.1.4.7 只要動裡面的9個數字就可以成功了 七﹑研究結果 1. 在5×5的方陣中任意填入1～25的數字，其中左上、左下、右上、右下四個4×4數字的和，在某些組合中，其左上、左下、右上、右下四個4×4數字的和是可以相等的。 2. 5×5方陣中的4×4方陣其數字和的最大值為254，最小值為162。 (A＋E＋U＋Y)+2(B＋C＋D＋F＋J＋K＋O＋P＋T＋V＋W＋X)+4(G＋H＋I＋L＋M＋N＋Q＋R＋S) 因為最大值只要將(1+2+3+4)+2(5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)+4(17+18+19+20+21+22+23+24+25)＝1018，1018÷4＝254.5，不可以超過 254.5，所以最大值取 254。 相同的，最小值也只要填入(25+24+23+22)+2(21+20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10)+4(9+8+7+6+5+4+3+2+1)＝646，646÷4＝161.5，不可以低於 161.5，所以最小值取 162。 3.在最大值和最小值間，有其他值的存在，因為只要能夠使4×4方陣內的，數字和相等就可以。我們有找到數字和為165、183、205、212、206等。 4.針對最小值162的情形，可分為37大類，每一大類又可分出數種情形。（參照表一） 5.嘗試將圖表一裡的一種其中一組裡面中間的3x3的9個數字,放入方陣能有幾種? 結果有太多種,無法找出將此移至到討論中再行討論 八﹑討論 (一) 在研究過程中，我們發現了一個方法， 就是將1換成25，2換成24，3換成23，4換成22， 5換成21，6換成20，7換成19，8換成18，9換成17， 10換成16......以此類推，也能成功。如右。 例如：4×4方陣數字和為254 (二) 我們發現最大值254與最小值162，他們加起來的 值為416（254+162=416）。 當確認有4×4方陣數字和有175的情形，以 416－175＝241，再換 241來看看，我們也可以找到 4×4方陣數字和241的情形。 因此，只要先確認一者數字和，再可用416減去該值，就能夠得到另一組的數字和。可以找到 4×4方陣數字和241的情形。
(三) 3x3的擺飾方法因為太多種 所以先降低成2x2,在過程中有人猜20種也有人猜24種結果，最後的結果是24種 找出來的方法是: 先把四格裡面訂住一格，所以本來有四個數字選擇但是寫上一個，數字後剩三個數字可選擇，三個數字再填上一個就剩兩個數字選擇，最後剩兩個數字後再填上一個數，最後就只剩一個數可填。 (四) 由於我們光說中間的3x3裡就有362880種,但是我們發現的不只那些,因為我們沒算出其他的16個數的變動,因為外面的16個數的組合似乎還有一些情形,但因為我們的主題不在這,而且還要更深的數學知識,所以我們討論到此。 九.結論 (一) 在5×5方陣中任意填入1～25的數，其左上、左下、右上、右下四個4×4數字的和是可以相等的。 (二) 5×5方陣中的4×4方陣其數字和的最大值為254，最小值為162。 (三) 在研究過程中，我們發現了一個方法， 就是將1換成25，2換成24，3換成23， 4換成22，5換成21，6換成20，7換成19， 8換成18，9換成17，10換16......以此類推， 也能成功。如右。 (四) 最大值和最小值之間的組合都存在 (五) 我們在過程中找出162組合和情形找出37種 (六) 在過程中我們找出3X3裡共有362880種的擺法方法如下 十.參考文獻 (一)國中組第39屆科展第三名 田字方塊深探密~田字區等值遊戲的一般解探索與擴張，說明在原先的4×4的方陣中, 用1到16填入,使方陣中每個3×3的數字和相等。 (二)高小組第42屆新光國小田字填數，數字乘法的捷徑，在自然科學的學習當中，數學是不可或缺的工具，在這個科 展中，以乘法速算的演練、直覺邏輯的思考，對於科學教育有極大的幫助。 (三)國小組第42屆解開數字方塊的秘密，觀察方陣中的每一行數字，其中每一個數字與下一個數字都差4，每個數都可被分解成行數和列數合成，所以4個數字的和都寫成1＋2＋3＋4＋0＋4＋8＋12＝34，也就可得到任選4個數的和為34。或者是在3×3階數字方塊中，按照相同的規則取三個數，和為1+2+3+0+3+6=15。另外，5×5階數字方塊中，也可以按照相同的規則取五個數，和為1+2+3+4+5+0+5+10+15+20=65。
