Nemlineáris programozás Játékelmélet

1. Nemlineáris programozásJátékelmélet Alkalmazott operációkutatás 8. előadás 2007/2008. tanév 2008. március 31.

2. Gyakorlás – tk. 124. oldal • 6 munkafeladat, 4 munkás • 4. és 6. munkafeladatot mindenképpen el kell végezni • Az 1. munkás a 3. és 6. munkafeladatot nem végezheti. • A 2. munkás az 1. és 4. munkafeladatot nem végezheti. • Határozzuk meg az elosztási tervet úgy, hogy az összköltség a legkisebb legyen!

3. Feladat – tk. 126. oldal • Lovasverseny – 4 lovas – 4 ló • Tibi, Béla, Pali, Zoli – A, B, C, D ló • Pontátlagok az eddig szerzett pontok alapján • Mi az a minimum pontszám, aminek az elérése mindenképpen várható? • Mennyi pontot szerezhetnek maximum?

4. Nemlineáris programozás • Célfüggvény nem lineáris (feltételek lineárisak) • Közgazdaságtanban ez szinte mindig így van, pl. ár-keresleti görbe • Nincs közös megoldási algoritmus (speciális megoldási algoritmusok) • Osztályozás: célfüggvény alapján • Célfüggvény másodfokú => kvadratikus programozás • Célfüggvény lineáris törtfüggvény => tört vagy hiperbolikus programozás

5. Kvadratikus célfüggvény Optimális megoldás nem csúcspont!

6. Tört vagy hiperbolikus program • Definíció: Hiperbolikus programozásról beszélünk akkor, ha lineáris feltételrendszer nemnegatív megoldásait tartalmazó halmaz felett olyan racionális törtfüggvény maximumát keressük, amelyben mind a számláló, mind a nevező első fokú függvény. • Megoldás: • Martos-féle módszer • Lineáris programozási feladattá transzformálás

7. Játékelmélet

8. Játékelmélet – alapfogalmak I. • Definíció: A játékelmélet olyan matematikai elmélet, amely vetélkedési helyzetek általános jellegzetességeivel foglalkozik. • kétszemélyes játék • n-személyes játék • Feltételek: • Racionális gondolkodás • Saját érdekek • Stratégia választás az ellenfél stratégiájának ismerete nélkül • Definíció: A stratégia egy előre kimondott szabály, amely meghatározza, hogyan válaszol a játékos a játék minden egyes szakaszában minden egyes körülményre. • Szóba jövő stratégiák összessége = stratégia halmaz Smahó Melinda

9. Játékelmélet – alapfogalmak II. • Definíció: Ha a játékosok egymástól függetlenül, csak a saját érdekük figyelembevételével választanak stratégiát, akkor nemkooperatív, egyébként kooperatív játékról beszélünk. • Játék kimenetele • Értékelő függvény • Kifizető mátrix • Ha a stratégiák halmaza véges, akkor véges játékról, egyébként végtelen játékról beszélünk. Smahó Melinda

10. Kétszemélyes zérusösszegű játékok • 2 játékos, az egyik játékos azt nyeri, amit a másik elveszít • Példa: egy J1 játékos és egy J2 játékos felmutatja egyszerre egy vagy két ujját. Ha az ujjak száma megegyezik, akkor J1 játékos nyer, ha nem, akkor veszít.A játék kifizetési táblázata J1 játékos számára: Smahó Melinda

11. Mátrixjáték egyensúlyi pontja / nyeregpontja • Mátrixjáték: kétszemélyes zérusösszegű véges játék

12. Kevert stratégiájú mátrixjátékok • Tiszta stratégia: ha játékos a játékban egy oszlopot vagy sort választ és végig ezzel a stratégiával játszik. • Kevert/súlyozott stratégia: a játékosok változtatják a stratégiát a játék során.

13. Kétszemélyes nem konstans összegű játékok • Kooperatív nem konstans összegű játék: játékosok együttműködnek, együttes nyeremény szétosztása (J. Nash, R. Selten, Harsányi J.) • Nem kooperatív nem konstans összegű játék: játékosok nem működnek együtt 1928 - 1930 - 1920 - 2000

14. Nash-egyensúly: J2 adott választása mellett J1 döntése optimális és J1 döntése esetén J2 döntése optimális. (egyik sem tudja előre, hogy mit választ a másik).

15. B játékos Vall Tagad Vall A játékos Tagad Fogoly-dilemma Nash-egyensúly: ha mindketten vallanak Pareto-hatékony: ha mindketten tagadnak (mindketten jobban járnak) Nash-egyensúly nem mindig Pareto-hatékony!

16. Szállítási feladat Az R1, R2, R3, R4 jelű vegyesboltok péksüteménnyel való ellátását az F1, F2, F3 jelű pékségekből biztosítják. Az egyes boltok napi péksütemény-igénye rendre (sorrendben) 30, 80, 50, 40 kg. A pékségek napi teljesítménye rendre (sorrendben) 90, 70, 40 kg. Az egyes Ri-Fi viszonylatokban érvényes fajlagos szállítási költséget (Ft/kg) az alábbi táblázat mutatja. • Feladatok: • a) Oldjuk meg a feladatot sor-oszlopminimum módszerrel! • b) Határozzuk meg az előállított lehetséges megoldáshoz tartozó szállítási költséget!

17. Köszönöm a figyelmet!