Επιστημονικός Υπολογισμός Ι

1. Επιστημονικός Υπολογισμός Ι Τρίτο Εργαστήριο Αραιά Μητρεία 22 Δεκεμβρίου 2010

2. Γενικά • Μικρός αριθμός μη μηδενικών στοιχείων εν σχέσει με τον συνολικό αριθμό. • Κατά μέσο όρο σταθερός αριθμός ανά γραμμή. • Ενδέχεται να υπάρχουν περιοχές ενδιαφέροντος ανάλογα με την χωρική κατανομή των μηδενικών και το πεδίο προέλευσης του μητρείου.

3. Προέλευση (ενδεικτικά) Γενικά αραιά μητρεία: • Διακριτοποίηση διαφορικών εξισώσεων (Οι ολοκληρωματικές δίνουν πυκνά). • Μάθηση μηχανής (νευρωνικά δίκτυα). Δυαδικά αραιά μητρεία: • Αραιά γραφήματα (φασματική θεωρία). • Χωρικές/λογικές βάσεις δεδομένων. • Ασπρόμαυρες εικόνες

4. Ζητούμενα (ενδεικτικά) • Εξοικονόμηση χώρου. • Ταχύτητα πράξεων. • Εντοπισμός αλγεβρικών ιδιοτήτων. • Εκμετάλλευση υποκείμενης δομής / εξαρτήσεως / συσχετίσεως μεταξύ των στοιχείων. • Εντοπισμός περιοχών ενδιαφέροντος.

5. Συμπίεση – Απλός Τρόπος Ι Απαιτούνται τρία διανύσματα: - Γραμμή μη μηδενικού στοιχείου. - Στήλη μη μηδενικού στοιχείου. - Τιμή μη μηδενικού στοιχείου. - Δεν προσφέρει κάποια ερμηνεία για το υποκείμενο μητρείο. - Χρησιμοποιείται εσωτερικά από το MATLAB (τουλάχιστον στις παλαιότερες εκδόσεις).

6. Συμπίεση – Απλός Τρόπος ΙΙ Τι παράγεται όταν εφαρμοστεί ο αλγόριθμος στο μητρείο T = [ 1 0 0 0 -1 0 ... 0 0 0 0 -1 1 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 0 -1 -1 0 0 ... 0 0 0 0 0 -1 ... 0 1 0 0 0 0 ]

7. Συμπίεση – CSR Απαιτούνται τρία διανύσματα: - Συμπιεσμένη γραμμή μη μηδενικού στοιχείου - Σημειώνεται έμμεσα η γραμμή κάθε μη μηδενικού στοιχείου αριθμοδεικτοδο-τώντας το διάνυσμα των στηλών. - Στήλη μη μηδενικού στοιχείου. - Τιμή μη μηδενικού στοιχείου.

8. Συμπίεση - CSC • Ίδια λογική με την SCR αλλά αριθμοδεικτοδοτείται το διάνυσμα των γραμμών. • Ισοδύναμη με την CSR στο ανάστροφο μητρείο.

9. CSR και CSC I • Η επιλογή εξαρτάται από την χωρική κατανομή των στοιχείων. • Απαιτείται προσοχή για κενές (μηδενικές) γραμμές / στήλες. • Καλύτερη συμπίεση εν σχέσει με την απλή. Απαιτούνται όμως δύο επίπεδα αριθμοδεικτοδότησης (κώδικας, χρόνος). • Προσφέρουν περιορισμένη ερμηνεία.

10. CSR και CSC II Τι παράγεται όταν εφαρμόζονται οι csr και csc στο μητρείο T = [1 0 0 0 -1 0 ... 0 0 0 0 -1 1 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 0 -1 -1 0 0 ... 0 0 0 0 0 -1 ... 0 1 0 0 0 0 ]

11. Συμπίεση–Δυαδικά Μητρεία • Μέθοδος λεξικού. - Κάθε στήλη / γραμμή θεωρείται ως λέξη και αποθηκεύεται η θέση της λέξης στο λεξικό. • Παραγοντοποίηση. • Γινόμενο (πυκνών;) παραγόντων. • Χρήση κλασσικών μεθόδων. • Δεν χρειάζεται το διάνυσμα των τιμών.

12. Δημιουργία I S = sparse(A) • Εξάγει τα μη μηδενικά στοιχεία του A και τα αποθηκεύει στο S. • Συνεργάζεται κανονικά με τις εντολές του MATLAB.

13. Δημιουργία ΙΙ • S = sparse(A) - Στο S μπορούν να προστεθούν στοιχεία. - Από το S μπορούν να αφαιρεθούν στοιχεία. - Όσο το S τείνει να γίνει πυκνό, τόσο ασύμφορη καθίσταται η συμπιεσμένη μορφή.

14. Ειδικά Αραιά Μητρεία Ι • speye - Αραιό ταυτοτικό μητρείο. • sprand - Αραιά τυχαία μητρεία (ομοιόμορφη κατανομή). • sprandn - Αραιά τυχαία μητρεία (κανονική κατανομή).

15. Ειδικά Αραιά Μητρεία ΙΙ • sprandsym - Αραιό συμμετρικό μητρείο (ομοιόμορφη κατανομή).

16. Απεικόνιση Μητρείου • spy(A) • Ο καθιερωμένος τρόπος στο MATLAB για την γραφική απεικόνιση αραιών μητρείων. • Εύκολη εποπτεία της δομής ενός μητρείου (όχι απαραιτήτως αραιού). • Easter egg: spy (χωρίς ορίσματα)

17. Ειδικές Συναρτήσεις Ι • spones - Αντικαθιστά τα μη μηδενικά στοιχεία ενός αραιού μητρείου με μονάδες. • spfun - Εφαρμόζει μια δεδομένη συνάρτηση στα μη μηδενικά στοιχεία ενός αραιού μητρείου.

18. Ειδικές Συναρτήσεις ΙΙ • spdiags - Εξαγωγή διαγώνιων στοιχείων • nnz - Πλήθος μη μηδενικών στοιχείων. • full - Μετατρέπει ένα αραιό μητρείο σε πυκνό.

19. Αντί μελομακάρονου Ι • Υπάρχει μια βέλτιστη μέθοδος αναπαράστασης / συμπίεσης (Σ/Λ). • Η συμπίεση συνεπάγεται ερμηνεία (Σ/Λ). • Η θέση των μη μηδενικών στοιχείων είναι σημαντική για την συμπίεση (Σ/Λ). • Η φύση των τιμών των μη μηδενικών στοιχείων είναι σημαντική για την συμπίεση (Σ/Λ). • Η nnz επιστρέφει τον αριθμό των μηδενικών στοιχείων ενός αραιού μητρείου (Σ/Λ). • Το μητρείο της επόμενης διαφάνειας

20. Αντί μελομακάρονου ΙΙ Α = [ 0 -1 0 1 ; 0 0 0 1 ; .... 0 0 -1 0 ; 1 0 0 -1 ] όταν συμπιεστεί κατά CSC δίδει τα i = [1 1 2 3 4] j = [] v = [-1 1 1 -1 1 -1] (Σ/Λ)