ASINTOTI

1. ASINTOTI CONCETTO DI ASINTOTO La retta r si dice ASINTOTO per la curva C del piano cartesiano se la distanza tra un punto P(x,y) della retta e la curva C tende a zero al tendere all’infinito di una delle due coordinate di P COS’E’ LA DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA?

2. ASINTOTI ASINTOTO ORIZZONTALE Data la curva C di equazione y=f(x) si dice che la retta r di equazione y=L è ASINTOTO ORIZZONTALE per la curva C se:

3. ASINTOTI ASINTOTO ORIZZONTALE Infatti, se f(x) tende ad L, allora la distanza tra la curva e la retta, pari a |f(x)-L|, tende a zero, secondo la definizione di asintoto f(x) y=f(x) |f(x)-L| L y=L

4. ASINTOTI OSSERVAZIONE Si potrebbe obiettare che quella presa non è la distanza tra la curva e la retta, che infatti risulta essere PH e non PA. A f(x) H |f(x)-L| L P

5. ASINTOTI OSSERVAZIONE Risulta però evidente che: PA>PH>0 E se PA tende a zero anche PH vi deve tendere per il teorema del confronto A f(x) H |f(x)-L| L P

6. ASINTOTI ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO E SINISTRO Più in particolare, se x tende a più infinito si parla di asintoto orizzontale destro, mentre se x tende a meno infinito si parla di asintoto orizzontale sinistro

7. ASINTOTI ASINTOTO VERTICALE Data la curva C di equazione y=f(x) si dice che la retta r di equazione x=Xo è ASINTOTO VERTICALE per la curva C se:

8. ASINTOTI ASINTOTO VERTICALE Infatti, in questo caso la distanza tra la curva e la retta è |x-Xo|; e se al tendere di x a Xo la y tende all’infinito, è anche vero che al tendere all’infinito di y x tende a Xo, cioè la distanza |x-Xo| tende a zero, secondo la definizione di asintoto f(x) Xo x

9. ASINTOTI ASINTOTO VERTICALE Infatti, in questo caso la distanza tra la curva e la retta è |x-Xo|; e se al tendere di x a Xo la y tende all’infinito, è anche vero che al tendere all’infinito di y x tende a Xo, cioè la distanza |x-Xo| tende a zero, secondo la definizione di asintoto f(x) Xo x

10. ASINTOTI ASINTOTO obliquo Un asintoto che non sia né orizzontale né verticale si dice OBLIQUO y=f(x) P y=mx+q f(x) mx+q A x

11. ASINTOTI ASINTOTO obliquo Posto che l’equazione dell’asintoto sia y=mx+q allora la distanza AP sarà: P f(x) mx+q A x

12. ASINTOTI ASINTOTO obliquo Poiché AP tende a zero al tendere di x all’infinito, per definizione di asintoto, allora ovvero:

13. ASINTOTI ASINTOTO obliquo Dividendo entrambi i membri per x e poiché q/∞=0 si ottiene il risultato finale:

14. ASINTOTI ASINTOTO obliquo Per determinare q basta considerare ancora l’equazione: e portare q a sinistra (siccome q è costante non serve scrivere limite)

15. ASINTOTI ASINTOTO obliquo In conclusione: se esistono e sono finiti i due limiti: allora la retta y=mx+q è asintoto obliquo per la funzione f(x)

16. ASINTOTI DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA La distanza d tra un punto P e una curva C è la lunghezza del minore di tutti i segmenti tracciati dal punto alla curva P H d = PH TORNA