חוקי ניוטון

1. חוקי ניוטון

2. חוקי ניוטון • חוק I – גוף יתמיד במצבי התנועה שלו, הן של מנוחה והן של תנועה על קו ישר במהירות קבועה, כל עוד שקול הכוחות החיצוניים שפועלים עליו הנו אפס. • החוק הראשון של ניוטון כולל אימפליקציות על הסימטרייה היסודית של היקום והיא שמצב תנועה על קו ישר ובמהירות קבועה הנו "טבעי" באותה מידה כפי שמצב מנוחה הנו טבעי.

3. אם גוף נמצא במנוחה במערכת ייחוס אחת הוא יראה בתנועה לצופה במערכת ייחוס שניה הנעה ביחס לראשונה במהירות קבועה לאורך קו ישר; לא ניתן לקבוע איזו מבין המערכות היא "מיוחדת", כך שכל מערכות הייחוס שנמצאות בתנועה יחסית ובמהירות קבועה האחת ביחס לשניה הן שוות ערך (אקויולנטיות).

5. במערכת O החלקיק B נע במהירות קבועה. במערכת O’ שנעה ימינה ביחס למערכת O, חלקיק במנוחה ב- O יראה בתנועה שמאלה ביחס לצופה ב- O'.

6. חוקי ניוטון • תנועה במהירות קצובה במעגל אפשרית אך ורק אם על הגוף פועל כוח סנטריפוגלי (פונה אל המרכז). במידה ועל הגוף לא יפעל כוח המתיחות T ינוע הגוף במהירות קבועה בכיוון המשיק. • אם החוט נקרע, המסה M תנוע על קו ישרבאותו כיוון תנועתו בזמן קריעת החוט.

7. חוקי ניוטון • חוק II- שקול הכוחות החיצוניים שפועלים על הגוץ שווה למכפלת מסת הגוף בתאוצתו. • בניסוח זה החוק תקף בתופעות פיסיקליות רבות, אבל הוא אינו עיקרון יסוד כמו חוק שימור התנע. {תאוצת הגוף} {מסת הגוף} = {שקול הכוחות החיצוניים}

8. תנאים מגבילים • לא ניתן להשתמש בחוק ישירות במצבים שבהם המסה משתנה, בשל איבוד חומר, או בגבול היחסותי (רלטיביסטי) כאשר הגוף נע במהירויות גבוהות (קרובות למהירות האור). • החוק אינו תקף למערכות אטומיות, מולקולאריות, או גרעיניות. כאשר מדובר במערכות קטנות יש להשתמש במכאניקה קוונטית.

9. 3) החוק השני של ניוטון מאפשר לנו להשוות תוצאות הפעלת אותו כוח על שני גופים שונים:

10. חוקי ניוטון • החוק השני מאפשר חישוב מסלול כפונקציה של המקום והזמן התנועה של גוף אם ידוע שקול הכוחות החיצוניים שפועלים עליו,. • משוואה דיפרנציאלית שמקשרת בין הכוח לתאוצה. והיא שקולה לשלוש משוואות סקלאריות: • פיתרון המשוואה כולל את כל האינפורמציה הדרושה לתיאור מצב התנועה של הגוף.

11. חוקי ניוטון • חוק III- לכל פעולה יש תגובה השווה לה בגודלה והפוכה בכיוונה. במילים אחרות: כל הכוחות ביקום מופיעים בזוגות כוחות שעוצמותיהם שוות וכיווניהם הפוכים. אין כוחות מבודדים • אם הסביבה מפעילה על גוף כוח חיצוניFextיפעיל הגוף כוח - Fext על סביבתו. • אם על גוף אחד במערכת של גופים פועל כוח פנימיFint יפעיל הגוף על שאר חלקי המערכת כוח Fint - . • מערכת כלשהי אינה יכולה להתניע עצמה אר ורק ע"י הכוחות הפנימיים שבה.

13. m M מאזני קפיץ החוק השלילי-דוגמא • משקלי הגופים w ו- Wמיצגים את כוח הכבידה שמפעיל הארץ על הגופים. הבלוקים מפעילים בתגובה כוח על הארץ השווה ל- w- ול- W-. • המסה m מפעילה כוח כלפי מטה על M ובתגובה M מפעילה כוח על m כלפי מעלה. • המסות מפעילות כוח כולל של W+w כלפי מטה על המאזניים והמאזניים מפעילים כוח W+w כלפי מעלה על שתי המסות.

14. m m M M מאזני קפיץ החוק השלילי-דוגמא זוגות של כוחות מאוירים בצבע זהה.

15. התנע שמוסר 2 ל – 1: התנע שמוסר 1 ל – 2: • הערות: • חוק הפעולה והתגובה הנו מסקנה מתחייבת מחוק שימור התנע במערכת מבודדת של שני גופים התנע הכולל הנו קבוע • נחלק ב- Δt – זמן האינטראקציה

16. בגבול 0 Δt ונשתמש בהגדרת הכוח ונקבל: • השוויון מתקיים בו זמנית: הכוח אשר בו הגוף השני פועל על הגוף הראשון שווה להיפוך הכוח אשר בו הגוף הראשון פועל על הגוף השני. • נהוג לקרוא ל (21)F ול- (12)F "פעולה" ו"תגובה".

17. נדגיש שמדובר בפעולת גומלין הדדית בין שני הגופים. לפיכך רצוי להשתמש על אינטראקציה בין שני הגופים.קיימת סימטריה בין שני הגופים: אין כאן גוף יוזם וגוף מגיב. • שני הכוחות (21)F ול- (12)Fוכל זוג "פעולה" ו"תגובה" כנ"ל אינם מאזנים זה את זה כי הם פועלים על גופים שונים.

19. 1 2 מד - כוח • לא נוח תמיד לחזור ולמדוד מסירת תנע. אם נתבונן במערכת אשר בה קיימת אינטראקציה בין שני גופים המועברת באמצאות קפיץ, נמצא כי כל עוד עיוות הקפיץ קטן הוא בקירוב פרופורציוני לכוח הפועל בין שני הגופים:

20. לפיכך אפשר לכייל קפיץ תקן, (אפילו לא ליניארי) אם נסמן לכל עיבור את הכוח המתאים הנמדד (ע"י מדידת מעבר תנע), באופן כזה בנינו מד-כוח. • מכאן ואילך נניח שנוכל למדוד כוחות באמצאות מד-כוח.

21. תנועה בתווך מתנגד • נדון בתנועת גוף בתווך מתנגד. זאת דוגמא ליישום משוואת התנועה של ניוטון אשר אינה לגמרי טריוויאלית אך עדיין פשוטה למדי. • לעיתים כוח החיכוך המתנגד לתנועתו של גוף גדל עם מהירות הגוף. דוגמאות ידועות לכך הן התנגדות האוויר וצמיגות הנוזלים. כללית כוח ההתנגדות (V)Fresהוא פונקציה די מסובכת של מהירות בתוך V, אך לעיתים קרובות אפשר להסתפק בהנחה כי כוח ההתנגדות פרופורציונאלי לחזקה של גודל המהירות ומנוגד לו.

22. כאשר מהירות הגוף קטנה בגודלה אפשר לקרב את כוח ההתנגדות ע"י: • כוח מסוג זה נקרא צמיגי. הקבוע k (קבוע הצמיגות) תלוי בגודלו וצורתו של הגוף ובתכונות הזורם. • נצמצם כאן את הדיון למקרה הפשוט של נפילת גוף בתווך צמיגי, כגון אוויר, מים או שמן.

23. משוואת התנועה: • יהי rוקטור המקום של הגוף, V מהירות הגוף:

24. נפתור למקרה של נפילה בהשפעת הכובד • כוח הכובד • כוח החיכוך • נצמצם את הדיון לנפילה אנכית.

25. משוואה דיפרנציאלית מסדר שני לא הומוגנית; אך רק מסדר ראשון במהירות • הגוף משוחרר ממנוחה: • או

26. מהירות גבולית כאשר 0=a • מייצג זמן אופייני של הבעיה.

27. נציב במשוואת התנועה כאשר

28. נחזור ונציב את x,x0 בפיתרון שמצאנו • התאוצה או

29. המקום

30. נבחר Z0=0 ונחזור ונציב ונקבל: נסכם אפוא:

31. ניסוח פרמטרי של הפתרון • מתוך הסתכלות במשוואה עצמה ניתן ללמוד הרבה על הפיתרון. אם הגוף מתחיל את נפילתו ממנוחה כי אז ולכן: או

32. קצב השינוי במהירות בזמן 0=t שווה לתאוצה g. כוח העילוי עם זאת מתנגד לתנועה. התאוצה תלך ותקטן עוד אשר הכוח הצמיגי (כוח העילוי) ישתווה למשקל הגוף. במצב הזה תאוצות הגוף תהייה אפס והגוף יגיע למהירות גבולית v∞. • את הערך של v∞ נוכל לקבוע שוב מתוך המשוואה ע"י שנציג את התנאי במשוואת התנועה:

33. נשים לב שלמקדם • יש מימדים של זמן • הגדלים • ונוסיף להם גם את הם גדלים אופינים של הבעיה הנדונה. זמן, מקום, מהירות ותאוצה נוכל למדוד ביחידות של:

34. אלה הן היחידות הטבעיות של הבעיה שלנו. זה נותן לנו אפשרות לכתוב את המשוואה בצורה פרמטרית שבה לנו אפשרות לכתוב את המשוואה בצורה פרמטרית שבה אין מימדים. נעשה זאת:

35. נציב את ההגדרות האלה במשוואת התנועה: • או

36. קיבלנו אפוא משוואה פרמטרית מן הצורה • משוואה חסרת מימד- מספרית אוניברסאלית. פיתרון פורמלי:

37. חישוב מקום ותאוצה:

38. מקום-הצגה גרפית z z4 z1=T; z2=-1; z3=exp(-T); z4=z2+z3; zt=z1+z2+z3; t

39. מהירות-הצגה גרפית v1=1; v2=-exp(-T); vt=v1+v2 v t

40. התאוצה-הצגה גרפית a t

41. פקודות MATLAB להצגה גרפית של הפיתרון t=0:0.01:3; m=10; k=10; tau=m/k; g=10; figure(1); z1=((m*g)/k)*t; z2=((m^2*g)/k^2); z3=-z2*exp(-(t*k)/m); zt=z1+z2+z3; plot (t,z1); hold on; plot (t,z2,'red'); plot(t,z3,'black'); plot (t,zt,'green'); hold off; figure(2); v1=((m*g)/k); v2=-((m*g)/k)*exp(-((t*k)/m)); vt=v1+v2; plot(t,v1); hold on; plot(t,v2,'red'); plot(t,vt,'green'); hold off; figure(3); a=g*exp(-(t*k)/m); plot (t,a,'green');

42. פקודות MATLAB להצגה גרפית של הפיתרון הפרמטרי T=0:0.01:3; m=10; k=10; tau=m/k; g=10; figure(1); z1=T; z2=-1; z3=exp(-T); z4=z2+z3; zt=z1+z2+z3; plot (t,z1); hold on; plot (t,z2,'red'); plot(t,z3,'black'); plot (t,zt,'green'); plot (t,z4,'yellow'); hold off; figure(2); v1=1; v2=-exp(-T); vt=v1+v2; plot(t,v1); hold on; plot(t,v2,'red'); plot(t,vt,'green'); hold off; figure(3); a=exp(-T); plot (t,a,'green');

44. נשים לב: U – מהירות הגז הנפלט (v+dv) – מהירות הגז שנפלט ביחס לצופה במערכת האינרציאלית O(x,y,z) Mv=-dMU+(M+dM)(v+dv) Mv=-dM(U-v-dv)+M(v+dv) 0=-dM(U-v-dv)+Mdv המהירות היחסית של הפלטה ביחס לחללית

45. וקטור המקום של הגז שנפלט ביחס לרקטה וקטור המקום של הגז שנפלט בזמן t וקטור המקום של הרקטה בזמן t

46. הגדרה: כוח הדחף של רקטה מוגדר כמכפלה-uR כאשר dM/dt=R קצב הפליטה של המסה וקיים:

47. כוח הדחף נובע מפליטה מהירה של חומר מן הרקטה, ופעילותו על הרקטה אינה מחייבת תווך חומרי להעברתו. שימור התנע מחייב שאם החומר נפלט בכיוון אחורה, הרכיב של תנע הרקטה בכיוון הקדמי חייב לגדול.

48. מהירות הרקטה כפונקציה של מסתה • נשתמש במשוואה (1) כאשר -

49. רקטה שמשולחת אנכית מפני כדור הארץ • במקרה זה על הרקטה פועל בנוסף לכח הדחף גם כוח גרביטציה בקירוב נקבל תאוצה בשל כוח הדחף תאוצה גרביטציונית