离散数学

离散数学 武夷学院数学与计算机系教授张廷枋 2

第二章二元关系 2.1 二元关系一、序偶和笛卡尔积 1.序偶的定义与相等：由两个元素 x, y 按照一定的次序组成的二元组称为一个有序对或序偶，记作〈x, y〉。称 x 为它的第一元素，y 为它的第二元素。〈x, y〉=〈u, v〉当且仅当 x=u 且 y=v。

第二章二元关系 2.1 二元关系一、序偶和笛卡尔积 1.序偶的定义与相等：推广：由 n 个元素按照一定的次序组成的 n 元组称为 n 元有序组，记作。当且仅当。

第二章二元关系 2.1 二元关系一、序偶和笛卡尔积： 2.笛卡尔积的定义与性质：定义：设 A, B 是两个集合，称集合为集合 A 和 B 的笛卡尔积（Descartes product）。

第二章二元关系 2.1 二元关系一、序偶和笛卡尔积： 2.笛卡尔积的定义与性质：推广：设是 n 个集合，称集合为集合的笛卡尔积。当时，记。

第二章二元关系 ▲笛卡尔积运算性质：（1）（2）一般地不满足交换律：（3）一般地不满足结合律：

第二章二元关系 ▲笛卡尔积运算性质：（4）对并与交运算满足分配律： ① ② ③ ④

第二章二元关系 ▲笛卡尔积运算性质：（5）（6）当都是有限集时

第二章二元关系 二、关系的定义 “关系”这个词使人联想关系的某些熟悉的例子，例如，父亲对儿子、兄弟对姐妹等等。在算术中熟悉的一些例子是两实数间的“大于”，“小于”或相等的关系。我们也知道园的面积和它的半径之间的关系。这些例子都提出两个对象之间的关系。

第二章二元关系 二、关系的定义两个对象之间的关系可以利用把两个对象列成一个有序对来定义。所有这样的有序对的集合描述一种特定的关系，其中每一有序对的第一个成员对第二个成员都有着某一确定的关系。从而任意有序对的集合，也就是笛卡尔积的子集定义一种二元关系。

第二章二元关系 二、关系的定义 1.关系的定义：对于集合 A 和 B，A×B 的子集叫做从 A 到 B 的一个二元关系，简称关系。当 A=B 时，A×A的任一子集叫做 A 上的一个二元关系。

第二章二元关系 二、关系的定义 1.关系的定义：对于关系，若序偶，记为，读作“ x 对 y 有关系 ”。对于关系，若序偶，记为，读作“ x 对 y 没有关系 ”。例：

第二章二元关系 二、关系的定义 2.空关系、全关系和恒等关系：当时，称为空关系；当时，称为全关系；当时，称为 A 上的恒等关系。

第二章二元关系 三、关系的表示法 1.集合表示法： 2.关系图法（对有限集合）：（1）A≠B （2）A=B 3.关系矩阵（对有限集合）：

第二章二元关系 三、关系的表示法 3.关系矩阵（对有限集合）：设 A= ,B= , R 是从 A 到 B 的一个二元关系，称矩阵为关系 R 的关系矩阵（又称邻接矩阵）。其中，否则。当 A=B 时，A 上的二元关系 R 的关系矩阵为方阵。

第二章二元关系 2.2关系的运算一、关系的定义域、值域设R是二元关系，（1）R 中所有的有序对的第一元素构成的集合称为 R 的定义域，记为（2）R 中所有的有序对的第二元素构成的集合称为 R 的值域，记为

第二章二元关系 2.2关系的运算二、关系的交、并、差、补运算由于关系是以序偶为元素的集合，它是笛卡尔积的子集，因此关系可以作为集合进行交、并、差、补等运算。设 R, S 都是集合 A 到 B 的两个关系，则

第二章二元关系 2.2关系的运算二、关系的交、并、差、补运算根据定义 A×B 是相对于 R 的全集（全关系），所以，且有。

第二章二元关系 2.2 关系的运算三、关系的复合运算 1.关系的复合运算定义：设 R 是从 A 到 B 的二元关系， S 是从 B 到 C 的二元关系，则 R 与 S 的复合关系是从 A 到 C 的二元关系。运算 “ ”称为复合运算。（右复合，R 先作用，S 后作用）

第二章二元关系 2.2 关系的运算三、关系的复合运算 1.关系的复合运算定义：例1.设集合求，并作出关系图。

第二章二元关系 2.2 关系的运算三、关系的复合运算 1.关系的复合运算定义：例2.设集合都为上二元关系，计算：（1）和。（2）和。

第二章二元关系 2.2 关系的运算三、关系的复合运算 2.复合运算性质：（1）满足结合律：（2）其中和分别为 A 和 B 上的恒等关系。

第二章二元关系 2.2 关系的运算三、关系的复合运算 2.复合运算性质：设为关系，（3）复合与并运算的分配律： ① ② （4）复合与交运算不满足分配律，但有： ① ②

第二章二元关系 2.2 关系的运算四、关系的逆运算 1.逆关系的定义：设为 A 到 B 的二元关系，则的逆关系，记作，为 B 到 A 的二元关系

第二章二元关系 2.2 关系的运算四、关系的逆运算 2.逆运算的性质：（1）① ② ③ ④

第二章二元关系 2.2 关系的运算四、关系的逆运算 2.逆运算的性质：（2）设都是从 A 到 B 的二元关系，则 ① ② ③ ④ 这里 ⑤

第二章二元关系 2.2 关系的运算四、关系的逆运算 2.逆运算的性质：（3）设 T 是从 X 到 Y 的关系，S 是从 Y 到Z 的关系，则证明：

第二章二元关系 2.2 关系的运算五、关系的幂运算 1.关系幂的定义：设 R 是集合 A 上的二元关系，则可定义 R 的 n 次幂，该也是 A 上的二元关系。（1）（2）（3）例：

第二章二元关系 2.2 关系的运算五、关系的幂运算 2.关系幂运算的性质： R 是 A 上的关系，（1）（2）（3）设 A 为 n 元集，则存在自然数 s 和 t 使（4）设 A 为 n 元集，则

第二章二元关系 作业：P67—P69, 习题二 • 2.1，2.5，2.18，2.21，2.26 • 预习：第2章 §2.3 关系的性质， §2.4 关系的闭包。（ P46—P58）

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