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第 七 講

第 七 講. 常態分配及其他連續分配. The Normal Distribution and Other Continuous Distributions. 學習目標. 1. 定義連續型隨機變數 2. 均等 (uniform) 、常態 (normal) 以及指數 (exponential) 分配的介紹 3. 連續型隨機變數機率的計算 4. 以常態分配機率近似二項分配機率. 資料的獲得. 實驗 (experiment) 例如 1 : 丟擲一個骰子

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Presentation Transcript


  1. 第 七 講 常態分配及其他連續分配 The Normal Distribution and Other Continuous Distributions

  2. 學習目標 • 1. 定義連續型隨機變數 • 2. 均等(uniform)、常態(normal)以及指數 (exponential)分配的介紹 • 3. 連續型隨機變數機率的計算 • 4. 以常態分配機率近似二項分配機率

  3. 資料的獲得 • 實驗(experiment) 例如 1 : 丟擲一個骰子 2 : 長度的測量(公分,英吋 等) • 調查(survey) 例如 1 : 某公司新推出的產品在市場上的反應情形 2 : 對某年齡學童身高的測量 ( 150cm, 130cm, 145cm, …)

  4. 資 料 類 型 Data Types 資 料 屬 質 屬 量 連續 離散

  5. Continuous Random Variables 連續型隨機變數

  6. 連續型隨機變數 Continuous Random Variables • 1. 隨機變數 (Random variable, r.v.) • 將隨機實驗的結果(outcomes)以實數值來表達 例如:學生體重 (65.5公斤、51公斤等等) • 2. 連續型隨機變數(Continuous r.v.) • 對應實數的數值 • 經由量測得來(obtained by measuring) • 對應於某區間必定為無限多數值 (Infinitive number of values in an interval) • 無法一一計數列出 (uncountable)

  7. 連續型隨機變數範例Continuous Random Variable Examples

  8. 例題: 連續型隨機變數 可能數值 隨機變數 實 驗

  9. 例題: 連續型隨機變數 可能數值 隨機變數 實 驗 實驗 100個人的體重 重量 45.1, 78, ...

  10. 例題: 連續型隨機變數 實 驗 可能數值 隨機變數 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ...

  11. 例題: 連續型隨機變數 實 驗 可能數值 隨機變數 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ... 詢問每次食物的花費 金錢花費 54.12, 42, ...

  12. 例題: 連續型隨機變數 實 驗 可能數值 隨機變數 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 小時 900, 875.9, ... 壽命的測量 詢問每次食物的花費 金錢花費 54.12, 42, ... 間隔時間 0, 1.3, 2.78, ... 到達時間

  13. 連續型隨機變數 x 值 (小時) 例如:燈泡壽命的時間測量

  14. 連續型隨機變數之密度函數(density function) • 連續型隨機變數之數值(x)變化,為整個實驗之結果,具有不可數且無限多的實數,可以用一條曲線來表示整個實驗結果的分布情形。以座標橫軸表示x值,則該曲線定會在橫軸(x)的上方,且該曲線和其 x 值之間所圍繞的區域面積為1。此時以一個數學函數 f(x) 來表示該曲線與x值之間的關係,則該函數 f 即為此隨機變數之密度函數。

  15. 連續型隨機變數之機率與機率密度函數 • 在任一給定的 x 數值區間,與其對應於密度函數 f(x) 的面積即為機率。此時又稱該密度函數為機率密度函數(probability density function)。 • f(x) 本身僅代表於 x 值上的一個密度曲線高度,並非機率(probability) 。   f(x) x c d

  16. 機率密度函數 • 1. 數學模式。 • 2. 該函數可清楚的表達出連續型隨機變數(X)之所有實驗結果的機率分配。 • 3. 當代入數值 x 後,對應到該密度函數的值為密度曲線之高度。 • f(x)並非機率probability 密度函數 (x, f(x)) 密度曲線 f(x) x a b x 數值

  17. 機率密度函數 密度函數值 • 基本性質 • 1. f (x)  0 • 2. 曲線下總面積為1, (x, f(x)) f(x) x a b (圖形下Area under curve面積為1) x 數值

  18. 連續型隨機變數的機率 機率為密度曲線下的面積 ! f(x) c d X

  19. 分配函數Distribution function 機率 分配函數

  20. 分配函數性質 1. 0  F(x)  1 2. F(- )=0 , F( )= 1 3. F(x)  F(y) , 若  x  y 4. F(x) =P( X ≤ x )= 1 – P( X > x ) 5. P( x < X  y ) = F(y) - F(x) ,若 x < y

  21. 連續型隨機變數 變數值 、 密度曲線 機率密度函數 、 函數分配 例如:燈泡壽命的時間測量 x 值 (小時)

  22. 一些常見連續型機率分配

  23. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 欲在某經常發生事故路段,設置緊急救護中心。若發生事故的地段距離為100公里,試問中心設在離路口20公里,50公里,或80公里處,何者較為適合?

  24. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 身高

  25. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 等車時間

  26. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配 抽菸者在不同年齡染患肺癌的風險 f(x)=0.03+0.0003(x-35)2 , x  35

  27. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配

  28. 均 勻 分 配Uniform Distribution 某工廠的研究部門相信,在廠中機器所生產的產品,每件多少重量有一些差異,且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。產品重量落在該區間內任一段區間的頻率或可能性均相同。

  29. 均 勻 分 配 f(x) c d x 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同

  30. 均 勻 分 配 f(x) c d x 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同 機率密度函數

  31. 均 勻 分 配 f(x) • 1. 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同。 • 2. 機率密度函數為 x c d x • 3. 分配函數

  32. 均 勻 分 配4. 平均數 (μ) 及 標準差 (σ)

  33. 均 勻 分 配 f(x) x c d 平均數及中位數相同

  34. 均 勻 分 配 範 例 某工廠的研究部門相信,在廠中機器所生產的產品,每件多少重量有一些差異,且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間,試問該公司有多少產品符合此要求。

  35. 範 例 解 f(x) 某工廠的研究部門相信,在廠中機器所生產的產品,每件多少重量有一些差異,且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。 x

  36. 範 例 解 1 10 f(x) 某工廠的研究部門相信,在廠中機器所生產的產品,每件多少重量有一些差異,且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。 x 20 30

  37. 範 例 解 f(x) 某工廠的研究部門相信,在廠中機器所生產的產品,每件多少重量有一些差異,且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間,試問該公司有多少產品符合此要求。 x 24 28 30 20

  38. 範 例 解 f(x) • P(24  X  28) = (底 Base) (高 Height) = (28 - 24) (1/10) = 0.40 1/10 x 30 20 24 28

  39. 均 勻 分 配 範 例 28 28 1 28 2 8 – 2 4 x 某工廠的研究部門相信,在廠中機器所生產的產品,每件多少重量有一些差異,且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間,試問該公司有多少產品符合此要求。 解 : P(24 X  28)=24 f(x) d x = 2410d x = 10 24= 1 0 = 0.4

  40. 均 勻 分 配 範 例 c+d 20+30 2 2 30-20 121/2 某工廠的研究部門相信,在廠中機器所生產的產品,每件多少重量有一些差異,且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。試問該產品的平均重量與標準差。 解 : E(X)= = = 25  =  2.89

  41. 範 例 二 • 當您是銘傳飲料公司的生產經理時, 您知道公司將飲料充填量設定為 450克,但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? Ming Chuan

  42. 範 例 二 解 f(x) • 當您是銘傳飲料公司的生產經理時, 您知道公司將飲料充填量設定為 450克,但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? x 430 470

  43. 範 例 二 解 f(x) • 當您是銘傳飲料公司的生產經理時, 您知道公司將飲料充填量設定為 450克,但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? x 430 440 470

  44. 範 例 二 解 f(x) • P(430 X 440) = (底Base)(高Height) = (440- 430)(0.025) = 0.25 1/40 1 470-430 x 430 440 470

  45. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配

  46. 常態分配Normal Distribution

  47. 常態分配的重要性 • 1. 常態分配數學式為「常態機率密度函數」 • 2. 可用來描述許多隨機程序或連續現象 • 3. 離散或連續分配計算機率值時可用它求近似值 • 例如 : 二項分配 (Binomial distribution),經驗法則 (Empirical Rule) • 4. 傳統的統計推論基礎

  48. 常態分配的一些性質 • 1. 鐘型 (bell-shaped),且圖形對稱 。

  49. 常態分配的一些性質 • 1. 鐘型 (bell-shaped) ,且圖形對稱 。 Mean Median Mode

  50. 常態分配的一些性質 • 1. 鐘型 (bell-shaped) • 2. 對稱函數﹔平均數( mean), 中位數 (median),眾數 (mode) 均相同 • 3. X 值定義在(-, )﹔且雙尾漸近水平軸 • 4. 代入不同的 x 值對應到的 f(x) 高低不同; 且曲線下總面積=1 平均數中位數 眾數

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