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Chapter 11

Chapter 11. Part I : 反應曲面技術 (Response Surface Methodology). Why/When to Use RSM?. 已知此反應變數 (Response Variable) 受數個因子之影響 . 必須經由實驗設計所證實 . 吾人想知道此反應變數之最佳值 目標值 最大值 最小值 目的 : 如何設定因子之水準 ( 區間 ), 使反應變數 達到最佳值 . RSM 之基本原理. 真正的函數關係 Y = f(x 1 , x 2 ) + e

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Chapter 11

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Presentation Transcript

  1. Chapter 11 Part I :反應曲面技術 (Response Surface Methodology)

  2. Why/When to Use RSM? • 已知此反應變數(Response Variable)受數個因子之影響. • 必須經由實驗設計所證實. • 吾人想知道此反應變數之最佳值 • 目標值 • 最大值 • 最小值 • 目的: 如何設定因子之水準(區間), 使反應變數 達到最佳值. DOE Class_90a

  3. RSM之基本原理 • 真正的函數關係 Y = f(x1, x2) + e 反應曲面(Response Surface)  = f(x1, x2) • 若因子之區間縮小, 則 f(x1, x2) 可用多項式來趨近. 如: Y = b0+b1x1+b2x2+…+bkxk+e (first order) Y = b0+bixi+biix2i+  bijxixj+e (second order) DOE Class_90a

  4. 反應曲面 - Example DOE Class_90a

  5. The Method of Steepest Ascent • 目的: 為能快速達到最佳反應變數值之鄰近區域. • 假設: 在遠離最佳反應變數值的地方, 一般而言, 使用 First-order Model已經足夠. • Steepest Ascent是一種沿著最陡峭的路徑(亦即反應變數增加最快之方向), 循序往上爬升的方法. • 若用以求極小值, 則稱為 Steepest Descent. DOE Class_90a

  6. Steepest Ascent - 圖解 DOE Class_90a

  7. Steepest Ascent - Example • “525.DX5” • 因子: 1: 反應時間 (35 min.) 2: 反應溫度 (155 oF) 反應變數 Y: 平均產出水準 (40%) • Coded Variable (X1;X2) = (-1 ~ 1; -1 ~ 1) • Natural Variable (1; 2) = (30 ~ 40; 150 ~ 160) DOE Class_90a

  8. Example 525 之實驗數據 • 重複中心點 • Error 之估算 • First-order Model 是否合適 ( Fit? ) DOE Class_90a

  9. Example 之 ANOVA Table DOE Class_90a

  10. Example之分析結果 • 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為 y = 40.44 + 0.775x1 + 0.325x2 • x1與x2之係數(0.775 and 0.325)相對於係數之standard error = sqrt(MSE/d.f.e) = 0.10大的多; 故兩係數均顯著. • 下次實驗之移動方向: • 以移動係數最大之因子一個單位 (以Coded Variable 為基礎), 故選擇 x1 = 1, 則x2 = (0.325/0.775) x1 = 0.42 DOE Class_90a

  11. Example 之後續實驗結果(一) DOE Class_90a

  12. Example 之後續實驗結果(二) DOE Class_90a

  13. Example 之後續實驗結果(三)-ANOVA • 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為 y = 78.97 + 1.00x1 + 0.50x2 • 需進一步之實驗以求取最佳點. DOE Class_90a

  14. Steepest Ascent 步驟 • 2k + nc center point 或CCD 或 其他 • First-order Model顯著, 且Curvature不顯著; 否則已在最佳點附近. • 取係數之絕對值最大者; 選定其Step Sizexi. • 其他因子之Step Size => xi / bi = xk / bk • 將xi換算成Natural Variable; 回到第一步驟. DOE Class_90a

  15. Second-order Model 之分析 • 當非常接近最佳點時, First-order Model便不再適用; 此時應用 Second-order Model 或更高階之Model來趨近真實反應曲面的曲線(曲面)情形. DOE Class_90a

  16. Central Composite Design (CCD) - Example • “534.DX5” DOE Class_90a

  17. CCD 結構圖 DOE Class_90a

  18. CCD Example 之 ANOVA DOE Class_90a

  19. CCD Example 之反應曲面 DOE Class_90a

  20. CCD Example 之反應曲面_Contour Plot DOE Class_90a

  21. Chapter 11 Part II: 反應曲面技術 - 設計之選擇 - Optimization - EVOP

  22. 反應曲面技術選擇設計之原則 • 在試驗區間內, 提供合理的資料點分布 • 允許 Model 適合度之分析 (Lack of Fit) • 允許區隔化 (Blocking) • 允許高階 Model 被循序漸近式的建立起來 • 提供自然誤差 (Pure Error)之估計 • 較少的實驗次數 • 較少的因子水準數 • 估計 Model參數之計算過程應儘量簡單 DOE Class_90a

  23. 一階 Model 之 RSM 設計 • 考慮因素: 直交(Othogonal) • 2k + nc center point • 2k-p + nc center point, 但必須為解析度III以上, Why? • Simplex Design • k 個因子, 使用 k+1 次(頂點)實驗 DOE Class_90a

  24. Simplex Design DOE Class_90a

  25. 設計之比較 - Example • 23 • 無法估算 Pure Error - 4 d.f. 之 Lack-of-fit • 缺點 : Model是否合適無法得知 • 23-1 + 4 center point • 3 d.f. 之Pure Error - 1 d.f. 之 Curvature • 缺點: 交互作用無法得知 • 23-1, n = 2 • 4 d.f. 之 Pure Error - 無法估算 Lack-of-fit • 缺點: 交互作用及二次項無法得知 • 最好用23 + 4 center point DOE Class_90a

  26. 二階 Model 之 RSM 設計(1/4) • 考慮因素: 直交 (Orthogonal) 與 可旋轉性 (Rotatable) • Central Composite Designs (CCDs) • 2k 或2k-1 (解析度V) + 2k 個軸點 (Axial Points) + nc center point • Factoral Points [2k或2k-1 (解析度V) ]: 估算主作用及兩因子交互作用 • Axial Points: 估算純粹之二次項 • Center Points:估算純粹之二次項及 Pure Error DOE Class_90a

  27. Information Surfaces and Contours_22 Design DOE Class_90a

  28. Information Surfaces and Contours_32 Design DOE Class_90a

  29. Information Surfaces and Contours_Second-order Rotatable Design DOE Class_90a

  30. CCD 圖示 DOE Class_90a

  31. 常用之 CCDs DOE Class_90a

  32. DOE Class_90a

  33. 二階 Model 之 RSM 設計(2/4) • Face-centered Central Composite Design (FCCD) • 除了 a = 1以外, 其餘與CCDs同 • 當部份因子之水準數只有三個, 或為離散性質時 • 可旋轉性 (Rotatability) 較差, 應儘量避免使用 DOE Class_90a

  34. 二階 Model 之 RSM 設計(3/4) • Box-Behnken Design • 各因子皆為三水準(-1, 0, 1) • 任意兩因子做22, 而其他因子固定在說水準, 在加上 nccenter points • Rotatability 較CCDs 來得差些, 但亦不錯 • 當 k = 3 時, 實驗次數較 CCD 來得少 12+nc Vs. 14+nc. 當 k = 4 時, 實驗次數與 CCD 同 => 24+nc. 當 k = 5 以上時, 實驗次數較 CCD 來得多. DOE Class_90a

  35. Box-Behnken Design (k = 3) DOE Class_90a

  36. Box-Behnken Design (k = 4, 5) DOE Class_90a

  37. 二階 Model 之 RSM 設計(4/4) • Hybrid Designs • 前面k-1 個因子水準組合利用CCDs, 最後一個 (kth) 因子之水準運用對稱之原理來決定 • 非常有效率 (Small Sample Size) • 適用因子數 k = 3,4,6,7 DOE Class_90a

  38. Hybrid Design 範例 Hybrid 310 Hybrid 311A DOE Class_90a

  39. Hybrid Design 範例 • Hybrid 416A, 416B, 416C DOE Class_90a

  40. Design Optimality Criteria • D-Optimality and D-Efficiency • Rotatability • Model 中係數估算之準確性 • A-Optimality • Model 中係數之變異程度 • G- and Q-Optimality • 用 Model 來預測實驗區間之準確性 DOE Class_90a

  41. 適用之二階 RSM Designs DOE Class_90a

  42. Evolutionary Operation (EVOP) • 當吾人運用實驗設計及反應曲面技術得到最佳之因子水準組合之後, 在某些情況下, 最佳值的位置會漂移 (drift). 以致於所求得之因子水準組合不再適用. • EVOP 即是一種實驗方法, 直接在線上操作, 用以對應此種漂移現象, 確保得以產生最佳值之因子水準組合. • 2k + center point, 以 cycle之方式進行. DOE Class_90a

  43. EVOP 之圖示 DOE Class_90a

  44. EVOP Example (1/5) DOE Class_90a

  45. EVOP Example (2/5) DOE Class_90a

  46. EVOP Example (3/5) DOE Class_90a

  47. EVOP Example (4/5) DOE Class_90a

  48. EVOP Example (5/5) DOE Class_90a

  49. Chapter 11 Part III: 混合設計 (Mixture Designs/Experiments)

  50. 混合設計之目的 • 前所提及的反應曲面技術設計, 每一因子水準之選擇皆與其他因子無關 (Independent); 然而, 實際的系統中, 常會因為某一因子水準之選擇, 而使得另一因子的水準必須固定在某一數值上 (Dependent). 此時, 吾人便必須使用混合設計 (Mixture Designs)才能將此種現象呈現出來. • Example: • 化學/醫藥的配方中各元素之水準. DOE Class_90a

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