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6.3 用变分法求解最优控制问题

6.3 用变分法求解最优控制问题. 引言：. 1 、动态最优控制中目标函数是一个泛函数，最优控制问题就是求泛函数的极值问题。. 2 、对无约束的最优控制：通常用变分法求解； 对有约束的最优控制：通常用以变分法为基础的极小值原理求解。. 以上两种最优控制，都可以用动态规划法求解。. 3 、 无约束是指控制 u(t) 不受不等式的约束，可以在整个 r 维向量空间 R r 任意取值。. 一、变分法的基本概念. 变分法－－求泛函极值的方法.

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6.3 用变分法求解最优控制问题

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  1. 6.3 用变分法求解最优控制问题 引言： 1、动态最优控制中目标函数是一个泛函数，最优控制问题就是求泛函数的极值问题。 2、对无约束的最优控制：通常用变分法求解； 对有约束的最优控制：通常用以变分法为基础的极小值原理求解。 以上两种最优控制，都可以用动态规划法求解。 3、无约束是指控制u(t)不受不等式的约束，可以在整个r维向量空间Rr任意取值。

  2. 一、变分法的基本概念 变分法－－求泛函极值的方法 1、泛函定义：对某一类函数集合中的每一个函数y(x)，有一个确定的数J与之对应，就称J为依赖于函数y(x)的泛函，记J=J[y(x)]。 讨论： （1）性能指标J取决于向量函数x(t)及u(t)的选取而定，称指标泛函，记作J[u(t),x(t)]。 （2）因为x(t)和u(t)必须满足一定的关系（状态方程），u(t)的选取又影响到x(t)的选取，一般又将指标泛函记作J[u(t)]

  3. （3）函数u(t)称为泛函J[u(t)]的宗量。（或自变量）（3）函数u(t)称为泛函J[u(t)]的宗量。（或自变量） （4）泛函与函数的区别： 泛函宗量是函数，而函数的宗量是变数。 （5）求最优控制u*(t)，就是求使J[u(t)]取极小值的u(t)。

  4. 2、泛函的极值

  5. 3、泛函的变分（相当于函数的微分）

  6. 4、泛函极值定理：

  7. 二、端点固定时的Euler方程

  8. 讨论：

  9. 三、多元泛函的极值条件（变量为向量的情况）三、多元泛函的极值条件（变量为向量的情况）

  10. 联立求解上述方程可求得x*(t),u*(t)

  11. 四、求解连续系统最优控制 思路：由于泛函J所依赖的函数总要受到受控系统状态方程的约束，应用拉格朗日乘子法，将有约束泛函极值问题转化为无约束的泛函极值问题。

  12. 2、求解最优控制的步骤

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