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数制和逻辑函数的基本概念

数制和逻辑函数的基本概念. 制作：浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院. 一、数制. 进位制： 表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。 基 数： 进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。 位 权（位的权数）： 在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。. 1 、二进制. 数码为： 0 、 1 ；基数是 2 。

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数制和逻辑函数的基本概念

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  1. 数制和逻辑函数的基本概念 制作：浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制工程学院

  2. 一、数制 进位制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。 基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。 位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。

  3. 1、二进制 数码为：0、1；基数是2。 运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。 如：(101.01)2＝ 1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1 ×2－2 ＝(5.25)10 各数位的权是２的幂 二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。 运算规则 加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 乘法规则：0.0=0， 0.1=0 ，1.0=0，1.1=1

  4. 2、八进制 数码为：0～7；基数是8。 运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。 如：(207.04)10＝ 2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4 ×8－2 ＝(135.0625)10 各数位的权是8的幂 3、十六进制 数码为：0～9、A～F；基数是16。 运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。 十六进制数的权展开式： 如：(D8.A)2＝ 13×161＋8×160＋10 ×16－1＝(216.625)10 各数位的权是16的幂

  5. 二、数制转换 将N进制数按权展开，即可以转换为十进制数。 1、二进制数与八进制数的相互转换 （1）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。 0 0 1 1 0 1 0 1 0 . 0 1 ＝ (152.2)8 0 （2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。 (374.26)8 = 011 111 100 . 010 110

  6. 2、二进制数与十六进制数的相互转换 二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 1 0 ＝ (1E8.6)16 (AF4.76)16 = 1010 1111 0100 . 0111 0110 3、十进制数转换为二进制数 • 采用的方法 — 基数连除、连乘法 • 原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。 • 整数部分采用基数连除法，小数部分 • 采用基数连乘法。转换后再合并。

  7. 小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。 整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。 所以：(44.375)10＝(101100.011)2 采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。

  8. 例1、将下列二进制数转换为等值的十进制数。例1、将下列二进制数转换为等值的十进制数。 （1）（1100110011）2 （2）（101110.011）2 （3）（0.001011）2 解：分析，用展开式化简 （1）（1100110011）2=1×29+1×28+1×25+1×24 +1×21+1×20=512+256+32+16+2+1 =（819）10 （2）（101110.011）2=1×25+1×23+1×22+1×21 +1×2-2+1×2-3=32+8+4+2+0.25+0.125=（46.375）10 （3）（0.001011）2=1×2-3+1×2-5+1×2-6 =0.125+0.03125+0.015625=（0.171875）10

  9. 例2、将下列十六进制数转换为十进制数。 （1）（6CF）16； （2）（8ED.C7）16 解： （1）（6CF）16=6×162+12×161+15×160 =1536+192+15 =（1743）10 （2）（8ED.C7）16=8×162+14×161+13×160+12×16-1 +7×16-2 =2048+224+13+0.75+0.0273 =（2285.7773）10

  10. 三、 编码 数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。 用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。 用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。 二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的 0 ~ 9 十个数码。简称BCD码。 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421 BCD码。 2421码的权值依次为2、4、2、1；余3码由8421码加0011得到；格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个码字，仅有一位代码不同，其它位相同。

  11. 四、逻辑函数及其相等概念 1、原变量、反变量：在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。 2、逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为 注意：逻辑变量A、B、C、或Y的取值都只能是0或1，并且 这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量大小的含义。

  12. 3、逻辑函数相等的概念： 若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。 因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。 证明等式：

  13. 五、 逻辑函数的表示方法 1、真值表 　 真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。 真值表列写方法：n个变量共有2i种不同的取值，将这2i种（一般）按二进制递增规律顺序排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。 例如：当B=C=1 、A=B=1或则A=B=C=1时，函数Y=1；否则Y=0。

  14. 3、逻辑图 2、逻辑表达式 逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。 逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非三种运算符连接起来所构成的式子。 Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ 函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为1的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。 ＡＢ Ｙ ＢＣ

  15. 4、卡诺图 卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。 逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为1的变量取值组合所对应的小方格内填入1，其余的方格内填入0，便得到该函数的卡诺图。

  16. 六、 逻辑函数表示方法之间的转换 1、由真值表到逻辑表达式的转换 真值表 例1： 1 逻辑表达式或卡诺图 或 1 化简 2 2 最简与或表达式

  17. B A C & ≥1 & & ABC AB 2、逻辑表达式到逻辑图转换 最简与或表达式 例2： 1 B 1 Y A 画逻辑图 AC A C

  18. ≥1 B C A B & A Y ≥1 A ≥1 C 3、由逻辑图到逻辑表达式的转换 逻辑图 例3 从输入到输出逐级写出 1 1 逻辑表达式 化简 2 最简与或表达式 2

  19. 4、逻辑表达式到真值表的转换 逻辑表达式 例4 1 1 真值表

  20. 例5 已知逻辑函数的真值表，试写出逻辑函数的表达式，并画出逻辑图。 解：

  21. 小结： 1、常用的数制有十进制、二进制、八进制、十六进制，它们之间可以相互转化。8421码是它是用四位二进制数组成一组代码，表示一位十进制数。 2、逻辑函数有四种表达方式，分别是真值表表示法、逻辑函授表达式、逻辑图和卡诺图表达方式。表达方式之间可以相互转换。 作业：参考书2 P148 课堂练习 2 、3

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