“ Связь логарифмов с музыкой ”

1. “Связь логарифмов с музыкой” Работу выполнила: ученица 11”А” класса МОУ СО школы 36 Калининград 2007

2. Введение • Звуки умертвив, • Музыку я разъял как труп, • Поверил я алгеброй гармонию… • А.С. Пушкин • Математика и музыка – два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

3. Математическое объяснение • Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда в отношении частот в октаве 1:2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино).

4. Греческая лира ОРОРЕЙ • По свидетельству историков древнейшая греческая лира (Орорея) имела четыре струны. Первая струна – основа, у второй струны число колебаний относится к числу колебаний первой струны 4:3 (как у катетов «священного» египетского треугольника). Это кварта основного тона. Число колебаний третьей струны по отношению к основному типу равно 3:2, это – квинта основного тона. Четвертая струна – октава, число колебаний у нее в два раза больше, чем у основы (как отношение катетов в треугольнике 1:2: 5)

5. Семиструнная греческая гамма • Значительно позже появилась семиструнная греческая гамма, которая является развитием четырех струнного строя. В семиструнной гамме отношение частот рядом расположенных звуков 1, 12 (например, ре/до=294/262; соль/фа=392/349). Но очень близкое отношение имеют стороны треугольника 1:2:, оно равно 5/2=1,118 =1,12. • Естественно возникает вопрос, не явились ли закономерности в геометрическом прямоугольном треугольнике со сторонами 1:2: основой для разработки музыкальной гаммы? Если же связь сторон треугольника и отношения частот звуков в семиструнной гамме не случайна, то в таком случае построение музыкальной гаммы связано с золотой пропорцией. Однако трудно допустить, что музыкальная гамма явилась итогом «научной разработки», более вероятно, что она была найдена эмпирическим путем, на основании интуиции музыкантов.

6. Взаимосвязь математики и музыки • Взаимосвязь математики и музыки является одной из самых актуальных тем. Она до сих пор полностью не раскрыта и не изучена, чем и привлекает к себе внимание многих ученых и математиков. Поверхностно рассмотрев значение этих двух наук, нам кажется, что они совершенно несопоставимы, ведь разве может быть сходство между математикой- царицей всех наук, символом мудрости и музыки - наиболее отвлеченным видом искусства. Но если всмотреться вглубь, то нетрудно заметить, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом. В своей работе я попытаюсь установить связь между математикой и музыкой и найти их общие элементы.

7. В музыкальной октаве семь звуков почему? • Давно уже ученые занимались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков – столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Еще, ничего не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие.

8. Ритм в музыке • Ритм • Во всем царит гармонии закон • И в мире все суть ритм, аккорд и тон. • Джон Драйден • Ритм в музыке • 1. Ритм – один из важнейших элементов музыки. Ритм – чередование длительностей. Рассмотрим ритм 3/4 . В такте могут встречаться такие чередованиядлительностей:

9. Ритм в математике • От правильно подобранного ритма зависит звучание мелодии. • Ритм в математике. • Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Взять хотя бы дробь 2/82. Ее можно записать в виде 2/82=0,0243902439…или кратно 2/82= 0,(02439) • Здесь мы обнаруживаем ритм. Дробь 2/82 записывается в виде бесконечной периодической дроби, да и период ее также отличается необыкновенной правильностью:02439. Нам известно, что 0,(02439)=2439/99999=271/1111 • Итак, мы проследили, что ритм встречается как в музыке, так и в математике.

10. Отражение в музыке • Отражение в музыке Также как и цифры 8 и 0 длительности / и П при отражении совпадают с оригиналом. • Симметричные ритмы не содержат половинных нот. - половинная нота. • Получили - полностью противоречит симметрии. • Совершенно симметричный ритм может состоять из нот следующих трех длительностей: четвертных /, пар восьмых П и целых . / П П /, П // П - ритмы не «переворачивающиеся» при отражении в зеркале.

11. Противоположность в музыке • Очень часто встречаются противоположности в характерах людей: злой - добрый, агрессивный - спокойный и т. д. • Но мы рассмотрим противоположности в музыке и математике. Противоположности в музыке Медленно - быстро. • Характер музыки во многом определяется ее темпом. Музыкальные произведения, будь то народная песня или полифония, нельзя исполнять в произвольном темпе. Неправильно выбранный темп до неузнаваемости исказит характер музыки. Короткое – длинное (произведение). Высокое – низкое. • Высота звука зависит от частоты колебаний: при большой частоте колебаний звук выше, при меньшей – ниже.

12. Противоположности в математике • Отрицательное число – положительное. • Сложение – вычитание. • Четное – нечетное. • Делитель – кратное. • Простое число – составное число. • Плюс – минус. • Умножение – деление. • Прямая – кривая.

13. Упорядочение в математике • Рассмотрим набор вещественных чисел: 12 48 9 1 3 6 10 125 300 • Входящие в него числа не упорядочены. Их можно упорядочить, например, по возрастанию: 1 3 6 9 10 12 48 125 300; или по убыванию: 300 125 48 12 10 9 6

14. Упорядочение в музыке • Упорядочить означает расположить в ряд. Иногда под упорядочением • понимают классификацию, или разбиение на группы, по определенным признакам. Например: классификация народных песен по месту, где они были записаны собирателями, по времени проведения этнографической экспедиции, тональности, ладу, содержанию.

15. Логарифмы в музыке • Музыканты редко увлекаются математикой, большинство из них уважают эту науку, однако стараются держаться от нее подальше. Но все же музыканты соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы. • А.Эйхенвальд в своей статье писал так: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой».

16. Эйхенвальду • Но все же Эйхенвальду удалось доказать своему товарищу, что играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах. И действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях. Оказывается, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков. Можно даже сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве – мантиссу этого логарифма.

17. ХVII век ознаменовался новыми открытиями в области математики. • ХVII век ознаменовался новыми открытиями в области математики. В 1614 году опубликованы таблицы логарифмов. Их автор – шотландец Д.Непер. Он не был математиком по профессии. Получив хорошее образование у себя на родине, Д. Непер занимался астрономией и математикой как любитель и добился некоторых важных открытий. Теперь его именем называют ряд правил и формул сферической геометрии. Впоследствии в предисловии к своему сочинению, посвященному таблицам, он писал: «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способностиотделаться от скуки и трудности вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики».

18. ХVIII век открыл новые страницы в истории музыки. • ХVIII век открыл новые страницы в истории музыки. Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от латинского - соразмерность).

19. История создания • История создания равномерной темперации еще раз свидетельствует о том, как тесно переплетаются судьбы математики и музыки. Рождение нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов и развития алгебры иррациональных величин. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной «алгеброй гармонии», на которой выросла темперация.

20. Органы, настроенные А. Веркмайстером • Органы, настроенные А .Веркмайстером, зазвучали в равномерно – темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорны. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было осуществлять переходы от тональности в тональность. И.С. Бах доказал жизнеспособность новой музыкальной системы, написав «Хорошо темперированный клавир», состоящий из12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших «за» или «против» нового музыкального строя.

21. Анализ гармонии в музыке • Анализ гармонии в музыке не исчерпывается установлением закономерностей звучания в гамме, изучение природы благозвучных аккордов. Интересно было определить природу прекрасного в произведениях великих композиторов, определить, в чем причина их привлекательности, эстетической ценности. • Более 30 лет отдал изучению закономерностей гармонии в музыке и природе композитор М. Марутаев. Он разработал концепцию универсальной гармонии, определяющим элементом которой является выявление единых числовых характеристик – общих как для природы, так и для музыки. М. Марутаев ввел понятие о нарушенной симметрии и получил «основные числа нарушенной симметрии (Sн)»: 0,713; 0,718; 0,729 и т.д. до 0,992. Мерой нарушения симметрии композитор считает величину 2 в степ.5/11 равную 1,37035…, которая, по его мнению, выражает сущность гармонии.

22. Теория«нарушенной симметрии» • Оказалось, что во многих музыкальных произведениях, изученных М. Марутаевым, соотношения частей отвечают числам нарушенной симметрии (Sн), а после их математического преобразования получается величина 1,37 – мера гармонии природы. • Теорию «нарушенной симметрии» М. Марутаев использовал для анализа музыкального темперированного звукоряда, в котором интервал между двумя до разбит на 12 частей. Центром симметрии здесь является корень квадратный из 2. После исключения из ряда числа 2 была получена усредненная величина нарушенной симметрии, равная 1,37. Таким образом, считает М.Марутаев, установлена связь звукоряда с мировой физической константой. Путем математических преобразований композитор установил также связь золотой пропорции со значением малой секунды, равной 2 в степени 1/12 =1,059.

23. Природа формирует свои законы • Таким образом, можно предполагать, что природа формулирует свои законы (если не все, то некоторые), на языке музыки. • В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей • Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина русский музыковед Л. Мозель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, то есть находится в точке золотого сечения. По мнению Л. Мозеля, число подобных восьми тактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико; их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

24. Наиболее обширное исследование • Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л. Сабанеевым. Им было изучено 2000 произведений различных произведений композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают формы целого. Такими вехами могут быть границы изменения структуры мелодии, интонационные кульминационные пункты (как положительные, так и отрицательные), изменения тональности и т.д. Все эти музыкальные события делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

25. наблюдениям Л. Сабане Ева • По наблюдениям Л. Сабане Ева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него «эстетическим событием», а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачек в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

26. Л. Сабанеевым все 27 этюдов Шопена. • Наиболее детально были изучены Л. Сабанеевым все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаютсяпроявления золотой пропорции.

27. этюд Шопена • Интересно, что в этюдах Шопена проявляется не одно выражение золотой пропорции, а целый ряд величин, связанных этим отношением: 0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090; и 0,058; реже встречались 0,854; 0,764 и 0,472. Первый ряд из шести чисел образует геометрическую прогрессию с показателем, равным 1,618, а три других числа являются произведениями золотой пропорции (0,764:0,472=1,618). Мелодия как бы растет и развивается, подчиняясь закону золотой пропорции. • Характерно, отмечает Л. Сабане ев, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторы? И тогда вместо споров о достоинствах той или иной музыки достаточно произвести математический подсчет? И уже не представляется случайным тот факт, что в произведениях композиторов ХХ века золотая пропорция встречается значительно реже, чем у их коллег прошлых веков.

28. гармонии композиции музыкального произведения • Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. Тогда можно предположить, что чем точнее соответствие произведения музыки золотой пропорции, тем выше степень гармонии, а отклонение от золотой пропорции – свидетельство несовершенства музыки. • Но не будем спешить с таким заключением. В искусстве часто отклонения от правила не менее ценны, чем само правило. Не следует забывать, что золотое сечение – иррациональная величина и ее невозможно выразить отношением целых чисел. А ведь мы замеряем размер частей в целом по числу тактов и выражаем их в целых числах.

29. темп музыки • Л. Сабане ев считает, что это противоречие снимается, если учесть, что «живое музыкальное произведение никогда не идет точно метрически, его метрическая координата никогда не «пропорциональна» реальному времени. И темп музыки не является постоянной величиной, а переменной функцией метрического времени». Варьируя нюансами темпа, композитор может добиться точного соответствия структуры музыкального произведения золотой пропорции. • Не в этом ли заключен секрет исполнительского мастерства музыкантов, достижения лишь немногими из них наибольшей выразительности, наибольшей силы эмоционального воздействия при использовании одной и той же нотной записи? Деформируя темп исполнения произведения в его различных частях, исполнитель реализует особенности своего исполнительского мастерства и добивается наивысшего успеха, приближаясь при этом и, в частности, к точному соответствию золотой пропорции.

30. Заключение • Итак, стало очевидным, что многие вопросы, связанные с природой музыки и ее воздействием на человека могут быть описаны языком математики. Так, музыкальные интервалы натурального звукоряда определяются отношениями частот близких натуральных чисел, а образование звука в музыкальных инструментах описывается математическими задачами. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония. А золотое сечение может быть применено к анализу построения музыкальных фрагментов. Искусствоведы создали подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И.С. Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.

31. «28017 — число рациональное. • Дело в том, что есть числа, которые можно записать только приближенно. К примеру, мы не можем точно записать, сколько раз диаметр окружности укладывается в самой окружности. Он укладывается больше, чем 3,14 раза, но меньше, чем 3,15 раза. Точно указать это число невозможно. Такие числа называются иррациональными».Как это невозможно? Даже сильный шестиклассник скажет, что диаметр окружности укладывается в ее длине (так точнее) точно 2П (пи) раз. И будет прав. Ну что, дорогой читатель, вспомнили детство? Надеюсь, вам было легче, вас не учили по «нескучному учебнику». Что же можно понять из приведенного текста, а он еще не закончился — дальше идет речь о числах простых, составных, четных и нечетных и даже совершенных? Да ничего. Этот околоматематический поток сознания навеет скуку и на взрослого человека, который уже вкусил прелестей науки о числе. А что будет с детьми? Известно что — им будет нескучно! Составитель гарантирует.

32. Может быть составителю лучше удаются тексты для старшеклассников? Вовсе нет! Здесь та же чехарда и путаница, как и в тексте для 5 класса. Первый текст для девятиклассников озаглавлен «Зачем мы изучаем алгебру». Здесь тоже не заскучаешь! Перечислим все без исключения вопросы и задания, к которым приведены авторские ответы. 1. Кто ввел термин «комплексное число»? 2. Докажите с помощью алгебры прием возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся пятеркой. 3. Кто впервые открыл математическую теорию музыки? 4. Какая связь существует между логарифмами и музыкой? 5. Какие известные вам явления описываются при помощи показательной функции? 6. Приведите примеры применения квадратичной функции. 7. Какая теорема называется основной теоремой алгебры? 8. Что такое треугольник Паскаля? 9. Что такое схема Горнера? Кто ее изобрел? 10. Где применяются комплексные числа? 11. Для чего нужны в алгебре отрицательные числа? Кто дал имвпервые конкретное истолкование? a

33. Во-первых, составитель так и не объясняет, зачем мы изучаем алгебру. Во-вторых, вопросы демонстрируют полное незнание составителем программы для 9 класса, которая не предусматривает изучение логарифмов, показательной функции, схемы Горнера, биноминальных коэффициентов, которые упоминаются в ответе на вопрос 8, даже в классах с углубленным изучением математики. Зачем же составитель включает все это в свой и без того толстый фолиант? Словами одного из героев А.П.Чехова я бы ответил: «Они ученость свою хочут показать».

34. Любое положительное число, кроме единицы, может служить основанием логарифмов, но, к сожалению, оказывается, что если b и n – рациональные числа, то в редких случаях найдется такое рациональное число l, что bl = n. Однако можно определить иррациональное число l, например, такое, что 10l = 2; это иррациональное число l можно с любой требуемой точностью приблизить рациональными числами. Оказывается, что в приведенном примере l примерно равно 0,3010, и это приближенное значение логарифма по основанию 10 числа 2 можно найти в четырехзначных таблицах десятичных логарифмов. Логарифмы по основанию 10 (или десятичные логарифмы) столь часто используются при вычислениях, что их называют обычными логарифмами и записывают в виде log2 = 0,3010 или lg2 = 0,3010, опуская явное указание основания логарифма. Логарифмы по основанию e, трансцендентному числу, приближенно равному 2,71828, называются натуральными логарифмами.

35. Они встречаются преимущественно в работах по математическому анализу и его приложениям к различным наукам. Натуральные логарифмы также записывают, не указывая явно основание, но используя специальное обозначение ln: например, ln2 = 0,6931, т.к. e0,6931 = 2 • Пользование таблицами обычных логарифмов. Обычный логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить данное число. Так как 100 = 1, 101 = 10 и 102 = 100, мы сразу получаем, что log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т.д. для возрастающих целых степеней 10. Аналогично, 10–1 = 0,1, 10–2 = 0,01 и, следовательно, log0,1 = –1, log0,01 = –2 и т.д. для всех целых отрицательных степеней 10.

36. Обычные логарифмы остальных чисел заключены между логарифмами ближайших к ним целых степеней числа 10; log2 должен быть заключен между 0 и 1, log20 – между 1 и 2, а log0,2 – между -1 и 0. Таким образом, логарифм состоит из двух частей, целого числа и десятичной дроби, заключенной между 0 и 1. Целочисленная часть называется характеристикой логарифма и определяется по самому числу, дробная часть называется мантиссой и может быть найдена из таблиц. Кроме того, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логарифм числа 2 равен 0,3010, поэтому log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Аналогично, log0,2 = log(2¸10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Выполнив вычитание, мы получим log0,2 = – 0,6990. Однако удобнее представить log0,2 в виде 0,3010 – 1 или как 9,3010 – 10; можно сформулировать и общее правило: все числа, получающиеся из данного числа умножением на степень числа 10, имеют одинаковые мантиссы, равные мантиссе заданного числа. В большинстве таблиц приведены мантиссы чисел, лежащих в интервале от 1 до 10, поскольку мантиссы всех остальных чисел могут быть получены из приведенных в таблице.

37. В некоторых таблицах интерполирование облегчается пропорциональными частями, приведенными в последних девяти столбцах в правой части каждой страницы таблиц. Найдем теперь log736,4; число 736,4 лежит между 102 и 103, поэтому характеристика его логарифма равна 2. В таблице находим строку, слева от которой стоит 73 и столбец 6. На пересечении этой строки и этого столбца стоит число 8669. Среди линейных частей находим столбец 4. На пересечении строки 73 и столбца 4 стоит число 2. Прибавив 2 к 8669, получим мантиссу – она равна 8671. Таким образом, log736,4 = 2,8671.

38. Натуральные логарифмы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов аналогичны таблицам и свойствам обычных логарифмов. Основное различие между теми и другими состоит в том, что целочисленная часть натурального логарифма не имеет существенного значения при определении положения десятичной запятой, и поэтому различие между мантиссой и характеристикой не играет особой роли. Натуральные логарифмы чисел 5,432; 54,32 и 543,2 равны, соответственно, 1,6923; 3,9949 и 6,2975. Взаимосвязь между этими логарифмами станет очевидной, если рассмотреть разности между ними: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; последнее число есть не что иное, как натуральный логарифм числа 10 (пишется так: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; последнее число равно 2ln10. Но 543,2 = 1054,32 = 1025,432. Таким образом, по натуральному логарифму данного числа a можно найти натуральные логарифмы чисел, равные произведениям числа a на любые степени n числа 10, если к lna прибавлять ln10, умноженный на n, т.е. ln(a´10n) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. Например, ln0,005432 = ln(5,432´10–3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3´2,3026) = – 5,2155.

39. Поэтому таблицы натуральных логарифмов, как и таблицы обычных логарифмов, обычно содержат только логарифмы чисел от 1 до 10. В системе натуральных логарифмов можно говорить об антилогарифмах, но чаще говорят об экспоненциальной функции или об экспоненте. Если x = lny, то y = ex, и y называется экспонентой от x (для удобства типографского набора часто пишут y = exp x). Экспонента играет роль антилогарифма числа x. • С помощью таблиц десятичных и натуральных логарифмов можно составить таблицы логарифмов по любому основанию, отличному от 10 и e. Если logba = x, то bx = a, и, следовательно, logcbx = logca или xlogcb = logca, или x = logca/logcb = logba. Следовательно, с помощью этой формулы обращения из таблицы логарифмов по основанию c можно построить таблицы логарифмов по любому другому основанию b. Множитель 1/logcb называется модулем перехода от основания c к основанию b. Ничто не мешает, например, пользуясь формулой обращения, или перехода от одной системы логарифмов к другой, найти натуральные логарифмы по таблице обычных логарифмов или совершить обратный переход. Например, log105,432 = loge5,432/loge 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923´0,4343 = 0,7350. Число 0,4343, на которое нужно умножить натуральный логарифм данного числа, чтобы получить обычный логарифм, является модулем перехода к системе обычных логарифмов.

40. Специальные таблицы. • Первоначально логарифмы были изобретены для того, чтобы, пользуясь их свойствами logab = loga + logb и loga/b = loga – logb, превращать произведения в суммы, а частные в разности. Иначе говоря, если loga и logb известны, то с помощью сложения и вычитания мы легко можем найти логарифм произведения и частного. В астрономии, однако, часто по заданным значениям loga и logb требуется найти log(a + b) или log(a – b). Разумеется, можно было бы сначала по таблицам логарифмов найти a и b, затем выполнить указанное сложение или вычитание и, снова обратившись к таблицам, найти требуемые логарифмы, но такая процедура потребовала бы трехкратного обращения к таблицам. З.Леонелли в 1802 опубликовал таблицы т.н. гауссовых логарифмов – логарифмов сложения сумм и разностей – позволявшие ограничиться одним обращением к таблицам.

41. История. • Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древне вавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287–212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:

42. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул типа

43. Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных логарифмов стали связывать с изучением площадей под гиперболой xy = 1 .В 17 в. было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью x и ординатами x = 1 и x = a эта область покрыта более жирными и редкими точками возрастает в арифметической прогрессии, когда a возрастает в геометрической прогрессии. Именно такая зависимость возникает в правилах действий над экспонентами и логарифмами. Это дало основание называть неперовы логарифмы «гиперболическими логарифмами».

44. Логарифмическая функция. Было время, когда логарифмы рассматривались исключительно как средство вычислений, однако в 18 в., главным образом благодаря трудам Эйлера, сформировалась концепция логарифмической функции. График такой функции y = lnx, ординаты которого возрастают в арифметической прогрессии, тогда как абсциссы – в геометрической, представлен на рис. 2,а. График обратной, или показательной (экспоненциальной), функции y = ex, ординаты которого возрастают в геометрической прогрессии, а абсциссы – в арифметической, представлен, соответственно, на рис. 2,б. (Кривые y = logx и y = 10x по форме аналогичны кривым y = lnx и y = ex.) Были предложены также альтернативные определения логарифмической функции

45. Альтернативное определение логарифмической функции дает функциональный анализ. Если f (x) – непрерывная функция действительного числа x, обладающая следующими тремя свойствами: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), то f (x) определяется как логарифм числа x по основанию b. Это определение обладает рядом преимуществ перед определением, приведенным в начале этой статьи.

46. Приложения. • Логарифмы первоначально использовались исключительно для упрощения вычислений, и это их приложение до сих пор остается одним из самых главных. Вычисление произведений, частных, степеней и корней облегчается не только благодаря широкой доступности опубликованных таблиц логарифмов, но и благодаря использованию т.н. логарифмической линейки – вычислительного инструмента, принцип работы которого основан на свойствах логарифмов. Линейка снабжена логарифмическими шкалами, т.е. расстояние от числа 1 до любого числа x выбрано равным log x; сдвигая одну шкалу относительно другой, можно откладывать суммы или разности логарифмов, что дает возможность считывать непосредственно со шкалы произведения или частные соответствующих чисел.

47. ЛОГАРИФМЫ   И   ИХ   ПРИМЕНЕНИЯ. • § 1. Общие свойства логарифмов. • Два равенства у = ах и х = loga y ( или х = Lga y ) выражают одну и ту же зависимость чисел. Отыскание y по первому из них составляет действие возведение в степень или потенцирование, отыскание х по второму составляет вычисление показателя или логарифмирование. Когда рассматривается последнеедействие, то у называется числом, а основанием системы логарифмов и х логарифмом числа у при основании а.

48. Логарифмом называется показатель степени • Логарифмом называется показатель степени, в которую нужно возвести основание для составления числа. 1. Какое число имеет логарифм 3 при основании 2?2. Какое число имеет логарифм 2 при основания 3?3. Какое число имеет логарифм  1/2 при основании 9?4. Какое число имеет логарифм 1/3 при основании 8?5.  При каком основании число 32 имеет логарифм 5?6.  При каком основании число  81 имеет логарифм 4?7.  При каком основании число  4 имеет логарифм  1/38.  При каком основании число  9 имеет логарифм 5?9.  Чему равен логарифм числа 16, когда основание равно 2?

49. Если. некоторое число составляется по данным числам посредством действий умножения, деления , возведения в степень и извлечения корня, то логарифм этого числа составляется по логарифмам данных чисел посредством действий низшего порядка —сложения, вычитания, умножения и деления. • Составление логарифма по данному выражению числа называется логарифмированием. Действие логарифмирования производится на основании следующих  теорем: • Логарифм произведения равен сумме логарифмов производителей. • Логарифм частного равен разности между логарифмами делимого и делителя. • Логарифм степени равен логарифму числа, возводимого в степень, умноженному на показатель степени. • Логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

50. Могущественная математика , Логарифмы • На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчетов.   Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчетах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.