על מושג המספר בגן

1. על מושג המספר בגן יום עיון המספרים של הטבע גן התעשייה תפן 2.7.06 לקראת הרצאה בכינוס העולמי למתמטיקה באוגוסט במדריד דורון שדמי, משה קליין גן אדם בע"מ

2. המספר כמונה וכסודר • במהלך השנה למדנו את החשיבות של ראיית המספר כמונה וכסודר. • באמצעות פעילות עם ילדי הגן אנו לומדים להתבונן עליהם ולראות את אופן החשיבה שלהם.

3. על תפיסת הקו הניסיון שלנו הראה כי ילדי הגן תופסים את הקו כשלמות אחת. אנו מציעים מרחב חקירה חדש, בו מניחים כי הנקודה והקו הם אטומים נפרדים שלא ניתן לגזרם זה מזה. בתפיסה זו , נקודה היא אלמנט מקומי וקו הוא אלמנט לא מקומי

4. תגובות ילדים • עפרי-הנקודות והקוויםרצו לשחק בתופסת, בסוף הם החליטו לשחק תופסת גובה, הם הקוים היו גבוהים והנקודה לאיכלה לתפוס אותם. • עפרי מבינה כי נקודה (אלמנט מקומי) אינה יכולה להשיג (לתפוס בשפתה) קו (אלמנט לא-מקומי). ניתן להכליל הבנה זו לכדי עצמאות-הדדית בין קו (ייצוג של אלמנט לא-מקומי) לנקודה (ייצוג של אלמנט מקומי). מכאן ניתן להסיק כי כדי לשחק תופסת (לגשר) בין נקודות (אלמנטים מקומיים) לקווים (אלמנטים לא-מקומיים) יש להמציא/לגלות את מרחב הגישור (מרחב המשחק) ביניהם.

5. המשך • סיון-למדתי מהסיפורשכדאי להיות חברים. כשמשחקים לבד זה לא נעים, הקו והנקודה לא שיחקו ביחד בהתחלה ולאהיו צורות, רק בסוף הם היו חברים והיו צורות חדשות. הצורות הגיעו מהקו והנקודה כיהם הזדווגו. • סיון מבין את הקו והנקודה כאלמנטים עצמאיים-הדדית (שאינם נגזרים זה מזה), ולכן כדי ליצור/לגלות דבר חדש, יש להמציא/למצוא את הגשר ביניהם (להמציא/למצוא את הדרך לשחק ביחד). יש לשים לב לערך המוסף של תובנה רגשית של חיברות בין עצמאיים-הדדית, המאפשרת הזדווגות (גישור) לשם יצירת צורות חדשות, כאשר החידוש הינו חריגה מעבר לקיום הנפרד של הקו (הלא-מקומי) והנקודה (המקומי

6. המשך • טהר-אם הם לא יהיוחברים, הם יהיו מעטים מאוד. בגלל שהם לא ייצרו צורות אחרות. הם יכולים להתמזגולעשות כל מיני צורות אחרות, למשל כמו מעויין. נקודה ושני קווים יוצאים ועוד נקודותבצדדים ושני קוים ויוצא מזה מעויין. • טהר מבין שללא גישור בין אלמנטים יסודיים, אין אפשרות לקיומן של ישויות החורגות מעבר לישויות היסוד. • סיון-קוראים לסיפורהצורות שבדמיון, זה צורה שמדמיינים אותה, צורה שחושבים ואין אותה ואז עושים אותה. אנחנו מציירים אותה, כי רואים אותהבלב. • סיון מבחין בין המרחב הפוטנציאלי לבין המרחב הקיים זה מכבר. החדש "נובע מהלב", כדבריו. לעניות דעתנו, יש לטפח תובנה זו כבסיס מכונן לפיתוח קישורי שפה בכלל, וקישורי שפת-מתמטיקה בפרט.

7. ספר היסודות באמצעות 13 ספרים סיכם אוקלידס את הידע המתמטי של היוונים. הספר הראשון עסק בביסוס הגיאומטריה באמצעות 5 אכסיומות יסודיות. ספר היסודות מהווה עד היום מודל מכונן לאופן בו מפתחים ומציגים תורה מתמטית.

8. 23 הבעיות של הילברט בשנת 1900 הציג הילברט בכינוס השני של ICM רשימה של 23 בעיות מתמטיות ללא פתרון, שהיוו אתגר לקהילה המתמטית. עד היום נפתרו 20 בעיות ונותרו עדיין ללא פתרון הבעיה השישית, השמינית והשש עשרה.

9. הבעיה הסמויה בסיום הרצאתו הציג הילברט את הבעיה ה-24 הסמויה, כחשש לאיבוד האינהרנטיות האורגאנית של שפת המתמטיקה. בחזונו קיווה הילברט כי הסתעפות המתמטיקה לענפים ולענפי ענפים, לא תאפיל על מבנה-העל האורגאני של שפה זו.

10. ההנחה הסמויה על פי התפיסה המקובלת במתמטיקה, מקבלים הקו והנקודה את משמעותם בהתאם למערכת האכסיומות אליה הם משתייכים. דורון שדמי משתמש בקו כייצוג לאי-המקומיות( __ ) המאפשרת גישור בין נקודות (.....) המייצגות מערכות אכסיומטיות מקומיות. בכך נפתחת הדרך למימוש החזון האורגאני של הילברט.

11. דואליות ושייכות כאשר מניחים שהנקודה והקו הם שני אטומים נפרדים שלא נגזרים זה מזה, ניתן להגדיר את מושג השייכות באופן דואלי. נקודה יכולה להיות שייכת לקו וקו יכול להיות שייך לנקודה. אך קיים הבדל מהותי בין להיות שייך לבין להיות מרכיב.

12. על מקומיות נקודה שייכת או לא שייכת לקו ולכן היא אלמנט מקומי: קו יכול להיות שייך ולא שייך בו- זמנית לנקודה ולכן הוא נחשב לאלמנט לא-מקומי: . . .

13. חשיבה מקבילית וחשיבה סדרתית ב-20 השנים האחרונות מצטברות עדויות מחקריות הקושרות את שפת המתמטיקה עם מבנה ופעילות המוח, ומאפשרות הבחנה בין תהליכי חשיבה מקביליים לתהליכי חשיבה סדרתיים . מתוך מחקרים אלו עולה כי המתמטיקה דהיום הינה בעיקר ביטוי של חשיבה סדרתית, שבה התוצאה מושגת בשיטת צעד אחר צעד, כאשר כל צעד נסמך על צעד קודם. חניכה מתוך עירות לקיומן של לפחות שתי צורות חשיבה, מאפשרת לילד הרך לגשר בטבעיות בין חשיבה אינטואיטיבית (כוללנית-מקבילית) לחשיבה אנליטית (פרטנית-סדרתית) . אנו מעריכים כי פיתוח כישורי הגישור בין האינטואיטיבי לאנליטי מאפשרים שינוי משמעותי ביחסו ובכישוריו של הילד בתחום המדעים והמתמטיקה.

14. לסיכום אנו מציעים דרכים לחקירת הכישורים המולדים באדם, תוך בחינה מחדש של מושגי-יסוד במתמטיקה, טרם השפעותיו של ידע נרכש על כישורים אלה, ושימוש בתובנות הנובעות מהכישורים המולדים, כבסיס מפרה לפיתוח שפת המתמטיקה (תוך שילובן המושכל עם שיטות החניכה עפ"י ידע נרכש). בחינת מושגי היסוד מבוססת על הפדגוגיה של הלא-נודע, בה המבוגר והילדים מתנסים בתהליך חקירה אמיתי, שבו התשובות אינן ידועות מראש. בנוסף לכך נבחנות תובנות אלה כבסיס אפשרי לפיתוח מרחבי מחקר חדשים, המבוססים על הרחבת מושג המספר, המובן עתה כמודל המכונן את הגשר בין חשיבה מקבילית לחשיבה סדרתית. תודה רבה