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十一章 複因子試驗

十一章 複因子試驗. Factorial Design : 研究因子超過一個，在設計上 安排因子 水準間之每一組合至少有一組觀察值，且實驗順序隨機。 特點： (1) 可同時試驗幾種因子自身的效應 (2) 可求因子間相互的影響 (3) 增加各因子重複次數，減少試驗誤差. Main Effect ( 主效應) : 對某一因子，因子水準的變換對觀察值 的影響。 Interaction ( 交互作用，交感效應) : 一因子對另一因子變化的影響力。

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十一章 複因子試驗

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  1. 十一章 複因子試驗 • Factorial Design : 研究因子超過一個，在設計上安排因子 • 水準間之每一組合至少有一組觀察值，且實驗順序隨機。 • 特點： • (1) 可同時試驗幾種因子自身的效應 • (2) 可求因子間相互的影響 • (3) 增加各因子重複次數，減少試驗誤差

  2. Main Effect (主效應) : 對某一因子，因子水準的變換對觀察值 • 的影響。 • Interaction (交互作用，交感效應) : • 一因子對另一因子變化的影響力。 • 某因子在不同水準下，另一因子之變化並不一致，此時稱 • 二因子間有交互作用。 30 52 40 12 Factor B Factor B 20 40 20 50 Factor A Factor A No interaction with interaction

  3. 2-factor factorial Design 設計 依實驗材質選擇 CRD, RCBD 或 LSD. • 研究問題 • Is any interaction between the two factors? • Is there any main effect? • If the effect is significant, what is the situation? • Which treatment combination will has the most effort? 註: 若二 factors 為quantitative，則可用迴歸分析尋求 觀察值對各 factor 之關係式；如：求 response surface， 進而得到最大或最小值。

  4. Model (2-factor Complete Randomized Factorial Design ) Yijk = μ + αi +βj+ (αβ)ij + εijk , i= 1,...,a, j= 1,…,b μ 整體實驗的共同影響 αi 因子 A 第 i 項水準的影響力 βj 因子 B 第 j 項水準的影響力 (αβ) 交互作用力

  5. 若 pAB< 0.05，則AB交互作用顯著 若 pA< 0.05，則因子A的影響顯著 若 pB< 0.05，則因子 B的影響顯著 Multiple Comparisons A. No interaction 方法如 1-factor experiment. B. Interaction is significant 1. 作圖，觀察交互作用。 2. 所有因子 A 與 因子 B 的組合間，互作比較。 3. 固定某一因子，對另一因子分析。

  6. 一般 factorial design，SPSS之初步執行指令 SPSS: 分析 → 一般線性模式 → 單變量 模式 ：使用標準式，不需自訂 圖形 ：某一因子為 X-軸，另一因子為個別線 Post Hoc 檢定：只有 2 levels 之因子不必作對對比較 比對 ：針對數量型因子，選擇線性及二次關係之檢定。 儲存 ：殘差標準化 選項 ：同質性檢定 效果項大小估計值 常態性檢定：分析 → 統計值 → 預檢資料 統計圖v 常態機率圖附檢定 若交互作用顯著，則應進行資料分組之分析。

  7. SAS Enterprise Guide --- 複因子資料 • 輸入資料：Insert • 每一因子佔一行，測值或觀察資料佔一行。 • 分析：Analysis → ANOVA → Linear Models • Columns：指定 Dependent variables • Classification variables • Model Builder： Effects 含主效應及交互作用項 • Model Options：ˇTYPE III • Post-Hoc tests： → Least Squares→ Add Effects • Effects 選欲比較的效應項 • Comparisons 選擇方法

  8. Plots： Predictions：Data to predict ˇoriginal sample Additional Statistics ˇResiduals Save output data ˇPredictions • 檢查誤差的常態性：選擇 prediction 資料 • Analysis → Descriptive → Distribution Analysis • Columns ：選擇 student_ 為分析變數 • Distribution ： ˇNormal • Plots ：ˇProbability plot • Results ： → Add New Table • 加入 Test for normality • 刪除其他 • 若交互作用顯著時，可增加比較交互作用項。 • Post-Hoc tests： →Least Squares→ Add Effects

  9. EXAMPLE (3x2 factorial design) IRS 研究表格複雜程度與交表時間對所得稅作業時間的影響 Factors：複雜程度(3 levels)，交表時間(2 levels) 3 samples at each of these 6 treatment conditions Data :

  10. 1. 圖形 Graph of the average 2. 變異數同質性檢定 各組資料變異數相同。

  11. 3. Normality 資料未違背常態性假設

  12. 4. ANOVA 依據 ANOVA , 1. 無証據顯示有交互作用存在。 2. 交表時間與表格複雜程度對平均作業時間有顯著影響。

  13. 5. 對對比較 (for the complexity) 3 種 levels 中任二種間皆有顯著差異。

  14. 1. COMPX 2. SUBTIME 依變數: PTIME 依變數: PTIME 3. COMPX * SUBTIME 95% 信賴區間 95% 信賴區間 依變數: PTIME COMPX 平均數 標準誤 下限 上限 SUBTIME 平均數 標準誤 下限 上限 hcomp 75.000 3.064 68.324 81.676 95% 信賴區間 early 48.333 2.502 42.882 53.784 scomp 62.500 3.064 55.824 69.176 COMPX SUBTIME 平均數 標準誤 下限 上限 ontim 69.333 2.502 63.882 74.784 simpl hcomp early 39.000 3.064 32.324 45.676 65.000 4.333 55.558 74.442 ontim 85.000 4.333 75.558 94.442 scomp early 50.000 4.333 40.558 59.442 ontim 75.000 4.333 65.558 84.442 simpl early 30.000 4.333 20.558 39.442 ontim 48.000 4.333 38.558 57.442 6. 平均質估計

  15. 7. 總結： (1)繳表時間與表格之複雜度對其填表之費時無交互作用。 (2)在不同時間繳交稅表，其填表之費時有顯著不同，提早繳表者 其填表之費時較短，均值分別為48.3及67.3。 (3)三種表格之複雜度對其填表之費時皆有顯著不同，愈複雜費時 愈多，均值分別為39，62.5及75。 (4)提早繳表使用簡單格式者，費時最少，平均費時30 及時繳表使用高度複雜格式者，費時最多，平均費時85 各狀況之平均費時及標準差估計如下

  16. EXAMPLE (factorial design) 設下列資料為老鼠在不同時間及餵食維他命 B1不同劑量所得 之增重結果，問(1)老鼠在不同時間餵以B1有否不同反應， (2)B1劑量不同對其增加重量有無效果，(3)不同時間餵以不 同量之B1，是否得到不同的效果，(4)若時間與B1劑量間有 交互作用，以何時何量最為適當。 Factors :維他命劑量(3 levels)，餵食時間(2 levels)

  17. 資料圖形

  18. Output from SAS time 及 amount 的主效應顯著，二因子的交互作用也顯著。

  19. 資料未違背常態性假設

  20. 因交互作用力顯著，可選擇： (一)針對六組合處理做對對比較

  21. 六組合處理對對比較的 p-值

  22. 因交互作用顯著，可選擇： (二)尋求上午及下午時，劑量的影響，使用迴歸分析 SAS 步驟：Analysis → Regression → Linear Columns：指定 Dependent variables Explainatory variables Group SPSS：資料 → 分割檔案 分析 → 迴歸方法 → 線性 time=a

  23. gain = 1.23 + 0.139 (amount) time=b gain = 1.23 + 0.0863 (amount)

  24. 依據 ANOVA 1. The interacting effect is significant at α=0.05. 2. The effects of the vitamin B1 and the feeding time are both significant. 觀察平均數的圖形 1. 增重與 B1攝取量有直線關係。 2. 早上與下午得到的直線趨勢並不平行，故在ANOVA上， 顯示 interacting effect 3. 如果接受交互作用存在，可找出二條關係直線，得到 B1攝取量影響程度的差異。

  25. 總結： (1)餵食時間對增重有顯著影響。早上餵食效果較佳。 (2)B1劑量對增重有顯著影響。多量比少量的效果佳。 (3)在α=0.05，交互作用存在，不同時間餵以不同量之B1，效果不同。 (4)時間與B1劑量間有交互作用，上午餵食 30μg 效果最佳。 (5)在認定交互作用存在之情況， 對早上8am餵食， 增重 = 1.23 + 0.139(劑量)，R2 = 0.923 對下午5pm餵食， 增重 = 1.23 + 0.0863(劑量)，R2 = 0.879 早上每一μgB1 的效果估計為0.139，下午則為0.0863。 (6) 六組合比較結果：早上餵10μg 與下午餵10μg的效果無差異， 早上餵10μg 與下午餵20μg的效果無差異， 早上餵20μg 與下午餵30μg的效果無差異， 其餘各組間有顯著差異。

  26. 隨機完全區集複因子試驗 Model (2-factor Randomize Complete Block Factorial Design ) Yijk = μ + αi +βj+ (αβ)ij +γk + εijk , i= 1,...,a, j= 1,…,b k = 1,…,c μ 整體實驗的共同影響 αi 因子 A 第 i 項水準的效應力 βj 因子 B 第 j 項水準的效應力 (αβ) 交感效應力 γ 區集效應力

  27. 若 pAB< 0.05，則AB交感效應力顯著 若 pA< 0.05，則因子A的影響顯著 若 pB< 0.05，則因子 B的影響顯著

  28. EXAMPLE 11.2(randomized complete block 3x2 factorial design) 研究水稻品種與氮肥對產量的影響，選擇水稻二品種，氮肥三種份量，分四區集試驗，每一區集以隨機方式安排此6個處方。 Factors：水稻品種(2 levels)，氮肥(3 levels) 4 blocks Data :

  29. 1.資料分布 2.均值分布

  30. 3. Normality Tests for Normality Test --Statistic--- -----p Value------ Shapiro-Wilk W 0.962919 Pr < W 0.4998 Kolmogorov-Smirnov D 0.156039 Pr > D 0.1330 Cramer-von Mises W-Sq 0.067884 Pr > W-Sq >0.2500 Anderson-Darling A-Sq 0.399561 Pr > A-Sq >0.2500 資料未違背常態性假設

  31. 4. ANOVA Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F vari 1 0.6666667 0.6666667 0.38 0.5470 nitro 2 165.0833333 82.5416667 47.02 <.0001 vari*nitro 2 40.5833333 20.2916667 11.56 0.0009 block 3 6.6666667 2.2222222 1.27 0.3217 • From the results of the ANOVA table, • 水稻品種與氮肥對產量的影響有顯著的交感效應。(p=0.0009) • 氮肥對產量的影響是顯著的。(p<0.0001) • 由於交感效應，在變方分析中無法檢定出品種對產量的影響的顯著性。 • 由均值圖看出氮肥對產量的影響是先上升再下降，不同品種對氮肥的反應不同，氮肥量=120時，V2下降較快。

  32. 5. 平均值估計 Level of Level of ------------yield------------ vari nitro N Mean Std Dev V1 80 4 7.5000000 1.29099445 V1 100 4 13.2500000 0.95742711 V1 120 4 10.2500000 1.50000000 V2 80 4 9.2500000 1.70782513 V2 100 4 14.5000000 1.29099445 V2 120 4 6.2500000 1.25830574

  33. 6. nitrigen 對產量的二次關係 V1 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept 1 -103.00000 19.05001 -5.41 0.0004 nitro 1 2.25625 0.38929 5.80 0.0003 nisq 1 -0.01094 0.00194 -5.63 0.0003 V2 Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept 1 -146.75000 21.51776 -6.82 <.0001 nitro 1 3.30000 0.43972 7.50 <.0001 nisq 1 -0.01688 0.00219 -7.69 <.000

  34. 7. 總結： (1)氮肥用量對水稻收成量的影響是一曲線關係。 (2)V1與V2二品種對氮肥的反應不同，V1為較耐肥品種，V2則為不耐肥品種。 (3)若以二次曲線估計水稻收成量，得到 V1： 收成量 = -103 + 2.26(氮肥量)-0.011(氮肥量)2， R2=0.82 估計在氮肥量 =102.7 時，收成量最佳。 V2： 收成量 = -147 + 3.30(氮肥量)-0.017(氮肥量)2， R2=0.88 估計在氮肥量 =97.0 時，收成量最佳。

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