Acerca de la Desigualdad de Chebyshev

1. Acerca de la Desigualdad de Chebyshev Ricardo Ñanculef Alegría Universidad Técnica Federico Santa María

2. Para entender bien este resultado necesitamos saber de variables aleatorias y probabilidades. Sin embargo, trataremos de explicar su sentido - y su uso - de la forma más intuitiva posible, sin entrar en detalles técnicos. Desigualdad de Chebyshev

3. Variable Aletoria. Una variable aleatoria es una variable que puede tomar diferentes resultados con cierta “probabilidad” • Probabilidad. Pensemos en la probabilidad de un resultado como la frecuencia con que ocurre el resultado si repetieramos el experimento muchas veces. • Por ejemplo, si tiramos una moneda muchas veces, la mitad de las veces debieramos obtener cara y la otra mitad sello. La variable es “lado de la moneda”. El resultado ‘cara’ tiene una probabilidad 0.5 (50% de las veces) y el resultado ‘sello’ 0.5. Desigualdad de Chebyshev

4. Pensemos ahora que una variable X puede tomar valores en los números reales, por ejemplo, el tiempo nos tardamos en llegar a la casa. Tomar una muestra de X es medir el tiempo en diferentes ocasiones. • Esperanza. Pensemos en la esperanza de la variable aleatoria X como el promedio que mediríamos si tomamos una muestra muy grande de la variable. • Varianza. Pensemos en la varianza de la variable aleatoria X como la varianza que mediríamos si tomamos una muestra muy grande de la variable. Desigualdad de Chebyshev

5. La Desigualdad de Chebychev: • Por ejemplo, la probabilidad de que la variable se aleje más que 2 desviaciones estándar de su valor esperado es menor que 1/4 = 0.25 • La probabilidad de que se aleje más de 3 desviaciones estándar es menor que 1/9 = 0.11 Desigualdad de Chebyshev

6. La Desigualdad de Chebychev pone un máximo a la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor que se aleja de su valor esperado por más de cierto valor. • Más precisamente (P denota probabilidad de ... ) • Donde es la esperanza de la variable aleatoria, es su desviación estándar (la raíz de su varianza) y k es un número real positivo cualquiera. Desigualdad de Chebyshev

7. Notemos que esto se puede reescribir como • O sea un intervalo en que encontramos el valor de X en al menos el 75% de las veces es • Usando Desigualdad de Chebyshev

8. En la práctica no conocemos la esperanza y la varianza (o desviación estándar) de X, pero como bueno ingenieros podemos reemplazar la esperanza por el promedio y la desviación por la desviación estándar muestral. Desigualdad de Chebyshev

9. La Desigualdad de Chebychev es un caso especial de la desigualdad de Markov Desigualdad de Chebyshev